Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мат.Анализ1 / АнчиковМатанализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

363 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Так как аргумент комплексного числа ' определяется с точ- ностью до 2¼k; (k = 0; §1; §2; :::) òî

Ln z = ln r + i(' + 2¼k) = ln z + i2¼k:

(30)

Пользуясь этой формулой можно вычислить логарифм любого отрицательного числа. Например, Ln(¡5) = ln 5 + i(¼ +

2¼k); k = 0; §1; §2; ::: òàê êàê j¡5j = 5; arg(¡5) = ' = ¼:

Б. Контрольные вопросы и задания.

1.Дайте геометрическую интерпретацию комплексному числу z; ; сопряженному по отношению к комплексному числу z:

2.Покажите, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равно нулю сопряженное к нему число.

3.Покажите, что частное двух комплексных чисел z1 è z2

можно получить, если числитель и знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное к знаменателю.

4. Сколько различных значений можно получить при извле- чении корня n степени из комплексного числа z ? Положите,

âчастности z = ¡1; n = 2:

5.Покажите, что правила сложения и вычитания комплексных чисел идентичны правилам сложения и вычитания векторов.

6.Пользуясь интерпретацией комплексного числа как вектора на комплексной плоскости, докажите неравенства: jz1 + z2j ·

jz1j + jz2j ; jz1 ¡ z2j ¸ jz1j ¡ jz2j :

7. Покажите, что модуль разности комплексных чисел имеет геометрический смысл расстояния между соответствующими точками на комплексной плоскости.

8. Покажите, что

		' + 2¼k		' + 2¼k
wk = pz = pr(cos		' + 2¼k	+ i sin	' + 2¼k	); k = 0; n ¡ 1;
wk = pz = pr(cos		n	+ i sin	n	); k = 0; n ¡ 1;
n	n

расположены в вершинах правильнîго многоугольника, вписан-

ного в окружность радиуса ½ = n r с центром в начале коор-

динат.

9. Покажите, что ez

не обращается в нуль ни в одной точке

комплексной плоскости

10. Покажите, что если

z1 = r1ei'1 ; z2 = r2ei'2 ;

r2 6= 0; òî

i('1+'2)

i('1¡'2)

n in'

z1z2 = r1r2e

;

; z

= r

e :

11.Покажите, что ei2¼k = 1; (k = 0; §1; §2; :::):

12.Покажите, что формула умножения комплексных чисел

z1 è z2	получается, если формально перемножить двучлены
x1+i y1	è x1+i y2	по обычному правилу умножения двучленов,
а затем заменить		i2 íà ¡1:

В. Примеры решения задач.

Пример 8. Найти сумму и произведение комплексных чисел

z1 = ¡2 + 3i; z2 = 7 ¡ 8i:

Решение. z1 +z2 = (¡2+7)+(3¡8)i = 5¡5i: Произведение

находим формальным перемножением двучленов (¡2 + 3i) è

(7 ¡ 8i) : z1 ¢ z2 = (¡2 + 3i) ¢ (7 ¡ 8i) = 14 + 16i + 21i ¡ 24i2 =

10 + 37i:
Пример 9. Даны комплексные числа	z1 = ¡1 + 6i è z2 =
2 + 5i: Найти разность z2 ¡ z1 и частное	z2	:
2 + 5i: Найти разность z2 ¡ z1 и частное	z1	:
22

Решение. z2 ¡ z1 = (2 + 5i) ¡ (¡1 + 6i) = 3 ¡ i: Частное

находим по формуле (23):

2 + 5i

(¡1) ¢ 5 ¡ 2 ¢ 6

¡1 + 6i

(¡1)2 + (6)2


Пример 10. Выполнить действия					3+i			:
				(1+i)(1¡2i)
Решение. Перемножив числа, стоящие в знаменателе, по-
лучим	3 + i		3 + i		3		+ i

		=			=				:
	(1 + i)(1 ¡ 2i)		1 ¡ 2i + i + 2			3	¡ i

Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, тогда

(3 + i)(3 + i)	=	9 + 6i ¡ 1	=	4	+ i	3	:

(3 ¡ i)(3 + i)		9 + 1		5		5

Пример 11. Найти модуль и аргумент комплексного числа

z = ¡p3 + i и записать его в тригонометрической форме.

Решение.

ïðè

= x

= ¡p3 ;

= jzj = 3 + 1 = 2; tg'

нахождении '

учтем, что комплексное число

z = ¡p

+ i

расположено во втором квадранте. Следовательно, ' =

¼ +

2¼k; (k = 0; §1; §2; :::): z = 2(cos 65 ¼ + i sin 65 ¼):

Пример 12. Найти произведение чисел

z1 = p

2(cos

¼ +

i sin 11 ¼) è z2 = p

8(cos 3

¼ + i sin 3 ¼):

Решение. Для решения поñтавленной зада÷и воспользуемся

формулой (25).

r1 = jz1j = p2; r2 = jz2j = p8;

r = r1r2 = 4:

Аргумент произведения

z1z2 есть сумма '1 + '2 = 11 ¼ + 3

¼ =

89 ¼ + 2¼: Следовательно,

z1 ¢ z2 = 4(cos 89 ¼ + i sin 89 ¼):

Пример 13. Записать в тригонометрической форме ком-

плексное число

(cos ¼3 ¡ i sin ¼3 )(p

+ i)

z =

i ¡ 1

Решение. Число z1 = (cos ¼3 ¡i sin

¼3 ) имеет модуль, равный

1 и аргумент

'1 = ¡¼3 : Число z2 = p

+ i

имеет модуль

и аргумент

'2 = ¡43 :

Число z3 = i ¡ 1

имеет модуль p

аргумент

3¼

Поэтому

jz1j jz2j

1 ¢ 2

= p

; ' = '

2 ¡

¼ =

+ '

6 ¡ 4

¡1211 ¼: Следовательно, z = p

2(cos 1211 ¼ ¡ i sin 1211 ¼):

Ïðèìåð 14. Возвести в девятую степень комплексное число

z = p3 ¡ i:

Решение. r = jzj = 2; ' = ¡¼6 :

( 3¡i)

= 2

[cos(¡

¢9)+i sin(¡

¢9)] = 2 [cos

¼¡i sin

¼] = 512i:

Пример 15. Найти все значения

¡16

Решение. Запишем число z = ¡16 в тригонометрической форме: z = ¡16 = 16(cos ¼ + i sin ¼): Согласно формулам (28) получаем:

) = p

+ ip

;

w0 = 2(cos

+ i sin

3¼

= 2(cos

+ i sin

) = ¡ 2 + i

5¼

= 2(cos

+ i sin

) = ¡ 2 ¡ i

	7¼		7¼	p		p

w3 = 2(cos		+ i sin		) =	2 ¡ i 2:
	4		4

Пример 16p.3

ное число z =

Представить в показательной форме комплекс-

¡ i8 :

(ò.ê. z находится в

z =

4 e¡

Решение. jzj = r =

= 41 :

tg' = ¡31

;¼

' = ¡¼6

четвертом квадранте),

Пример 17. Записать все значения корня

+ i

â ïî-

казательной форме.

Решениå.

q4 p3 + i = p4 2ei¼/6 = p4 2 ¢ ei 1224k+1 ¼; k = 0; 1; 2; 3:

òû.Г. Задачи и упражнения для самостоятельной рабо-

1. Найти сумму и произведение комплексных чисел

z1 è

z2;

åñëè

a) z1 = 4 + 5i; z2 = 3 ¡ 2i;

[7 + 3i; 22 + 7i]:

b) z1 = 2 ¡ 3i; z2 = 2 + 3i; [2 2 ; 5]:

2. Найти разность

z2 ¡ z1

и частное

z2/z1

комплексных

чисел z1

è z2; åñëè

a) z1 = 3 + 4i; z2 = 0; 4 ¡ 0; 2i; [¡2; 6 ¡ 4; 2i]:

b) z1 = p

¡ i; z2 = p

¡ 2i; [¡i; 7/6 ¡ ip

.6]:

3. Выполнèть действиÿ:

2i(

i)(

i);

[ 2i] :

1 + i

1 ¡ i

;

[0] :

¡2

1 + i

(1 + i)

+ i)(1 + ip

;

[

(1 ¡ i)] :

Найти координаты точки

M; изображающей комплекс-

ное число z =

5i ¡ 2

+ i +

8i ¡ 3

[ M(

1; 5;

4; 7) ]

3i + 1

Найти действительные части комплексных чисел:

a) z =

(2 ¡ i)3

; [ Rez =

1; 52 ]: b) z =

(1 + i)3

;

3 + 4i

i10

[ Rez = ¡3 ]:

i13 ¡ i14

Выполнить действия:

+ i10;

[

1 + i ]:

1 + i15

(1 + 2i)2 ¡ (1 ¡ i)3

;

[

i ]:

(3 + 2i)3 ¡ (2 + i)2

159 ¡ 318

При каких действительных значениях

комплексное

число z = (1 ¡ ai)3 ¡ (2 + ai)2

является : a)

действительным,

b) чисто мнимым?

[ a) ïðè a = ¡p

;

a = p

ни при каком a ].

a = 0;

7; b)

Определить, при каких действительных значениях x è

y комплексные числа z1 = y2 ¡7y + 9xi

è z2 = ¡12 + 20i + x2i

равны. [ 4; 3 ]:

Решить уравнения:

(1 + 2i)(z ¡ i) + (4i ¡ 3)(1 ¡ iz) + 1 + 7i = 0;

[¡1 ¡ i]:

b) z2 + z = 0;

[0; ¡1;

i]:

10. Решить систему уравнений:

8 z1 + 2z2 = 1 + i;

[ z1 = 1

i; z2 = i ]:

< 3z1 + iz2 = 2

3i:

11. Доказать равенства:

a) z1 § z2 = z1 § z2 ; b) (z1/z2) = z1/z2 ;

c) z1 ¢ z2 = z1 ¢ z2 ; d) (zn) = (z)n:

12. Доказать равенства:

jz1 ¢ z2j = jz1j ¢ jz2j ;	¯z2		¯ = jz2j		:
	¯	z1	¯	z1
	¯		¯	j j
	¯		¯
13. На комплексной плоскости даны¯			¯точки		z2; z2; z3; ÿâëÿ-

ющиеся тремя последовательными вершинами параллелограм-

ма. Найти четвертую вершину.

[z1 + z3 ¡ z2 ]:

14. Найти множество точек комплексной плоскости, задан-

ное условием:

a) jz + 1j = 1; b) jz + 2i ¡ 1j · 2;

c) jz ¡ 2j2 + jz + 2j2 = 26;

d) sin jzj > 0:

[ а) Окружность R = 1; центр в точке z = ¡1:

b) Êðóã ñ

границей,

R = 2;

центр в точке

z = 1 ¡ 2i:

c) Окружность,

R = 3;

центр в точке z = 0:

d) Система концентрических

полей. ]

15. Представить комплексное число z

в тригонометриче-

ской форме:

a) z = ¡ 3 + i;

b) z = ¡1; c)z = i;

d) z = ¡ cos

¡ i sin

[ a)

2(cos 5 ¼ + i sin 5 ¼);

cos ¼ + i sin ¼;

c) cos ¼

+ i sin ¼ ;

d) cos 13 ¼ + i sin

13 ¼: ]

16. Записать комплексное число

z в алгебраической и три-

гонометрической формах:

a) z =

cos 5¼/3 + i sin 5¼/3

;

cos ¼/6 + i sin ¼/6

b) z = 1/(cos 4¼/3 ¡ i sin 4¼/3);

c) z =

(1 + i)2

b) z = ¡

¡i

4¼

[ a)

z = 1 = cos 0+i sin 0;

= cos

+i sin

;

c) z = 1

= 1

(cos 0 + i sin 0) ]:

17. Записать комплексное число

в алгебраической форме:

)12;

z = (cos 310 + i sin 310)¡10:

z = (

[ a)

(cos 500 + i sin 500) ]:

18. Записать комплексное число

в тригонометрической

i+1 6

форме:

100

a) z = ( 3 ¡ i)

;

b) z = (

)

i¡1

[ a)

2100 (cos

4¼

+ i sin

4¼

) ;

8 (cos

3¼

+ i sin

3¼

) ]:

19. При каких целых значениях

справедливо равенство

(1 + i)n = (1 ¡ i)n ?

[ n = 4k;

k = 0; 1; 2; ::: ]:

20. Найти все значения

pz;

åñëè:

a) z = ¡1;

n = 3;

b) z = 8i; n = 3; c) z = 1; n = 5:

[ a)

2 + i

; ¡1;

2 ¡ i

;

b) 3 + i; ¡ 3 + i; ¡2i ;

cos 2¼k/5 + i sin 2¼k/5;

k = 0; 1; 2; 3; 4: ]

21. Извлечь корни из комплексных чисел:

[ 2; 5 + 2; 5 ¢ p

¢ i;

¡5;

2; 5 ¡ 2; 5 ¢ p

¢ i ];

¡125;

; [ p

+ 3i; ¡p

¡ 3i ];

¡6 + 6p

c) p6

[ p

+ i; 2i; ¡p

+ i; ¡p

¡ i;

¡2i;

¡ i ]:

¡64;

22.

Найти действительное число

b из условия, что точки,

изображающие комплексные числа

3 ¡ 5i;

1 ¡ i

è ¡2 + bi;

лежат на одной прямой. [ b = 5 ]

23.

Дано комплексное число z

= p

¡ i: Найти все ком-

плексные числа

z; такие, что jzj = 2 jzj ; à

jarg z ¡ arg zj = 3 :

+ 2i ]:

[

= ¡4 ;

= b

24.

Решитьb

уравнения:

a) z2 + 3 jzj = 0; [ z1 = 0; z2 = 3i; z3 = ¡3i ]:

b) z2 ¡ 3z = 0; [ z1 = 0; z2 = 3 ]:

25.

Найти

z6; åñëè 3z ¡ z = ¡4 + 8i; [ 512 i ]

26.

Решить уравнения:

a) z4 + 1 = 0;

b) z2 = z3:

[ a)

(§1 § i); b) 0; cos 2¼k/5 + i sin 2¼k/5; k = 0; 1; 2; 3; 4: ]

27.

Решить уравнения:

z2 ¡ 4iz + 6(2 ¡ 5i) = 0;

[ z1 = 3 + 7i;

z2 = ¡3 ¡ 3i ]:

b) z2 ¡ (5 + 2i)z + 9 + 7i = 0; [ z1 = 2 + 3i; z2 = 3 ¡ i ]:

c) jzj z + az + i = 0; a ¸ 0;

[ z = 21 (a ¡ p

a2 + 4)i ]:

d) z2 ¡ 5z + 7 ¡ i = 0;

[ z1 = 3 + i; z2 = 2 ¡ i ]:

e) z2 ¡ (4 + i)z + 10 + 2i = 0; [ z1 = 2 + 3i; z2 = 2 ¡ 2i ]:

f) (z+1)4 = (z¡1)4;

[ z1 = ¡21 +

; z2 = 0;

z3 = ¡1+i ]:

g) jzj + z = 2 + i;

[ 43 + i ]:

k=0

h an+1

28. Вычислить:

a) 1 + z + z

+ ::: + z

;

åñëè z =

1+i

;

sin x + a sin 2x + ::: + an¡1 sin nx;

C1 sin x + C2 sin 2x + ::: + Cn sin nx;

100 k

;

P C100(

3i)

[ 1 + (1 + p2) i ]:

sin nx+an sin(n+1)x¡sin x i : a2¡2a cos x+1

[ 2n ¢cosn x2 ¢sin nx2 ]: [ ¡299 ¢ (1 + ip3) ]:

29. Возвести в степень:

(1+cos '+i sin ')n;

[ 2n cosn '

(cos n'

+i sin n' ) ]:

(1¡cos '+i sin ')n; [ 2n sinn '2 (cos n(¼2 ¡ '2 )+i sin n(¼2 ¡ '2 ) ]:

30. Представить в алгебраической форме:

a) z = e2¡i;

b) z = e¡3¼i/2+12¼i

c) z = ii:

[ a)

e2(cos 1

i sin 1); b) i; c)

e¡(¼/2+2¼k);

k = 0;

2; ::: ]:

31. Представить в показательной форме комплексные числа:

a) z = ¡p

¡ 2i; b) z = ¡ cos ¼/7 + i sin ¼/7:

[ a) 4e7¼i/6;

b) e6¼i/7 ]:

pz :

32. Записать в показательной форме все значения

a) z = 1; n = 3; b) z = ¡1; n = 5; c) z = ¡4 + p48i; n = 3; d) z = ¡1 ¡ p3i; n = 4:


[ a) e2¼ki/3;	k = 0; 1; 2; b) e¼(2k+1)i/5; k =
						0; 4; c) 2e2(3k+1)¼i/9;
	d) p4		e¼(3k+2)i/6; k =		]:
k = 0; 1; 2;		2
				0; 3

33. Вычислить логарифмы следующих комплексных чисел:

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Мат.Анализ1

#
10.02.2015363 Кб51АнчиковМатанализ.pdf
#
10.02.2015236.64 Кб49Практ.зан.Мат.анализ.Компл.числ.Предел.pdf