Мат.Анализ1 / АнчиковМатанализ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

А.М. Анчиков, Р.Л. Валиуллин, Р.А. Даишев

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ.

Казань 2006

ÓÄÊ 517.5

Печатается по решению Редакционно-издательского совета физического факультета

Казанского государственного университета

Рецензент к.ф.-м.н., доцент М.П. Желифонов

А.М. Анчиков, Р.Л. Валиуллин, Р.А. Даишев. Введение в математический анализ в вопросах и задачах.Казань, 2006.

Данное пособие предназначено для студентов 1-го курса физического факультета. Оно призвано помочь студентам, только что поступившим на первый курс физического факультета Казанского государственного университета, преодолеть барьер между школьной и вузовской математикой, между способами изучения математики в средней школе и на физиче- ском факультете университета. В н¼м кратко излагаются основные понятия, определения и теоремы по методам математической индукции, теории числовых последовательностей, функций одного аргумента, их пределов и непрерывности. В каждом параграфе предлагаются контрольные вопросы и задания, приводятся решения множества примеров и задач, а также приводятся задачи и упражнения, предназначенные для самостоятельной работы. Приводятся ответы и указания к решению наиболее трудных задач.

°c Казанский государственный университет, 2006.

Указатель основных обозначений.

N - множество натуральных чисел, Z - множество целых чисел,

R - множество вещественных чисел,

C - множество комплексных чисел, [ a; b ] - сегмент, (отрезок),

[ a; 1 ); ( a; 1 ); ( ¡1; a ]; ( ¡1; a ) - полупрямая, 9 x - существует такое x ,

8 x - для любого x,

x 2 X - число x принадлежит множеству X,

""- окрестность" точки a ¡ на числовой оси - интервал

(a ¡ "; a + ") ;

на комплексной плоскости - открытый круг jz ¡ aj < ²; n" 2 N - натуральное число, зависящее от " > 0;

nM - натуральное число, зависящее от M(M может быть сколь угодно большим).

3

Ÿ1. Метод математической индукции.

А. Основные понятия и теоремы.

Доказательство верности гипотез в науке осуществляется экспериментальным, индуктивным или дедуктивным методами.

Дедуктивный метод - переход от общих утверждений к частным.

Индуктивный метод - метод рассуждения, при котором на основе рассмотрения нескольких частных предложений делается заключение об общем.

Полная индукция. Рассмотрим следующее утверждение. "Каждое четное натуральное число ... в пределах от 1 до 100 представимо в виде суммы двух простых чисел." Для этого перебираются все такие числа и выписываются соответствующие разложения:

4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 5+3; ::::::; 98 = 93+5; 100 = 97+3:

Эти 49 равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представимо в виде суммы двух простых чисел. Общее утверждение доказано здесь перебором всех возможных частных случаев.

Такой метод перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Этот метод имеет весьма ограниченную область применимости в математике.

Неполная индукция. Иногда общий результат удается предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев. Здесь мы имеем неполную индукцию. Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако,

4

лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Неполная индукция может привести к ошибке.

Рассмотрим пример. Двухчлен xn ¡ 1; ãäå

ное число, разложим на множители с целыми коэффициентами. Рассмотрим эти разложения при многих частных значениях n:

Все коэффициенты разложения по абсолютной величине не превосходят единицы В самом деле,

(x ¡ 1) = x ¡ 1;

(x2 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x + 1);

(x3 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x2 + x + 1);

(x4 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x + 1)(x2 + 1);

(x5 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1);

(x6 ¡ 1) = (x ¡ 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 ¡ x + 1);

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Попытки доказать этот факт для всякого n успеха не име-

ли. Оказалось, что указанным свойством обладают все двухчлены xn ¡1; степень которых меньше 105. Двухчлен x105 ¡1 имеет

один из множителей, равный x48 + x47 + x46 ¡ x43 ¡ x42 ¡ 2x41 ¡

x40 ¡x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 ¡x28 ¡x26 ¡x22 ¡x20 + x17 +x16 +x15 +x14 +x13 +x12 ¡x9 ¡x8 ¡2x7 ¡x6 ¡x5 ¡x2 +x+1;

который не обладает указанным выше свойством.

Можно привести множество других примеров, которые позволяют сделать простой и в то же время важный вывод.

5

Утверждение может быть справедливым в целом ряде слу- чаев и в то же время несправедливым вообще.

Теперь возникает вопрос. Имеется утверждение, справедливое в нескольких частных случаях. Все частные случаи рассмотреть невозможно. Как же узнать, справедливо ли утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции.

В основе этого метода лежит принцип, заключающийся в следующем:

Пусть A(n) - предложение (утверждение), зависящее от натурального числа n: Тогда, если 1±: A(n) справедливо при

не меньшее n0 (это индукционный шаг).

Б. Контрольные вопросы и задания.

1. Приведите примеры дедуктивного и индуктивного рассуждений.

2. Что называется полной индукцией? Привести пример.

3. Приведите пример неполной индукции, которая приводит к ошибочным выводам.

6

4.В чем состоит метод математической индукции? Из каких этапов он состоит?

5.В чем принципиальные различия между рассуждением, опирающимся на неполную индукцию, и методом математиче- ской индукции?

6.Что общего у всех задач, которые решаются методом математической индукции?

В. Примеры решения задач.

Пример 1. Доказать, что при 8n 2 N справедливо равенство

Решение. Сначала вычислим последовательные суммы нечет-

ных чисел: 1 = 12; 1 + 3 = 4 = 22; 1 + 3 + 5 = 9 = 32; 1 + 3 = 5 =

7 = 16 = 42: Можно ожидать, что прибавив к предыдущей сум-

ме следующее нечетное число 9, получим квадрат числа 5, т.е. 25. И действительно, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52: После этого мы

выдвигаем гипотезу, что имеет место утверждение (1). Первая часть математической индукции справедлива. Теперь проверим

выполнение второй части, т.е. если для 8k имеет место

то будет выполнено равенство

7

Для доказательства к обеим частям (2) прибавим (2k + 1) :

[1 + 3 + 5 + ::: + (2k ¡ 1)] + (2k + 1) = k2 + (2k + 1): Íî, ïî

предположению, выражение в квадратных скобках равно k2: В результате получим тождество k2 + 2k + 1 = (k + 1)2:

Итак, (1) справедливо при n = 1; а из его справедливости при n = k вытекает справедливость и при n = k + 1: Тогда из справедливости при n = 1 следует, что оно справедливо и при n = 1 + 1 = 2; а тогда оно справедливо и при n = 2 + 1 = 3; è

à ïðè x = 0 справедливо равенство.

Решение. Ïðè n = 1 соотношение (4) справедливо, по-

скольку обращается в верное равенство. Далее предположим, что соотношение (4) справедливо для натурального числа k è

x > ¡1 :

Òàê êàê x > ¡1; òî 1 + x > 0: Умножим неравенство (5) на положительное число 1 + x :

(1 + x)k+1 ¸ 1 + kx + x + kx2:

Отбрасывая неотрицательное число kx2 в правой части, полу- чаем неравенство

(1 + x)k+1 ¸ 1 + (k + 1)x:

8