Тервер,лекция, домашка / 1 Комбинаторика

Теория вероятности

В окружающем нас мире мы наблюдаем различные события, сталкиваемся с результатами многочисленных опытов и наблюдений. Раздел математики, называемый теорией вероятностей, занимается изучением закономерности в случайных событиях.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр. Это происходило в 16-17 веках в Европе. В это время богатые люди увлекались игрой в карты, в кости и т.п.

Одним из создателей теории вероятности был Блез Паскаль (1623 – 1662). Он пришел к своим выводам, решая задачи о стратегии игр в кости. Паскаль писал о теории вероятностей:

«Это учение, объединяющее точность математических доказательств с неопределенностью случая и примиряющее эти казалось бы противоречивые элементы, с полным правом может претендовать на титул математики случайного».

Почти за 100 лет до Паскаля итальянец Дж.Кардано (математик, врач) написал книгу, которая называлась «Книга об игре в кости».

Сочинения по этому вопросу есть и у Г.Галилей.

Первое теоретическое обоснование накопленным ранее знаниям дал Яков Бернулли (1654 – 1703). Он доказал «Закон больших чисел», о котором мы будем говорить позже.

Прежде, чем переходить к изучению теории вероятностей, рассмотрим раздел математики, который называется комбинаторика.

Комбинаторика

Комбинаторика – раздел математики, в котором рассматриваются различные комбинации элементов множества (или множеств), а так же способы подсчета их числа.

Например: из чисел 2,5,7 составить все возможные двухзначные числа и подсчитать их количество.

Основные понятия комбинаторики

1. Правило суммы для выбора 2-х объектов. Если объект А можно выбрать n способами, а объект В - другими m способами, то выбор “или A, или B” можно осуществить n+m способами.

Замечание. Множество способов выбора объекта А и множество способов выбора объект B не должно иметь общей части.

Пример: В одном ящике n шариков, а в другом – k шариков. Произвольно из любого ящика вынимают шарик. Сколько способов вынуть шарик?

Решение: n+k .

2. Правило суммы для выбора m объектов. Если объект А₁ можно выбрать n₁ способами, объект А₂ - другими n₂ способами,…, объект А_m - n_m способами, отличных от всех предыдущих, то выбор “или A₁, или A₂ , … или A_m ” можно осуществить n₁+n₂+…+n_m способами.

3. Правило произведения для выбора 2-х объектов. Если объект А можно выбрать n способами после этого при любом выборе объекта А объект В можно выбрать другими m способами, то выбор пары“ A и B” можно осуществить nm способами.

Пример: Во взводе 25 курсантов. Сколько существует способов назначения командира и его заместителя?

Решение: Число способов выбора командира равно 25. Остается 24 курсанта, из которых выбираем заместителя – 24 способа. Значит, всего 25 24 = 600 способов.

4. Правило произведения для выбора m объектов. Если объект А₁ можно выбрать n₁ способами, объект А₂ - другими n₂ способами,…, объект А_m - n_m способами, отличных от всех предыдущих, то выбор всех элементов “ A₁ , и A₂ , и A_m ” можно осуществить n₁n₂…n_m способами.

5. Перестановка. Перестановкой из n элементов называется некоторое расположение этих n элементов на n местах.

Пример: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3.

Решение: 123 312 213

132 321 231

Число возможных перестановок вычисляется

(P – от французского слова permutation – перестановка)

6. Размещение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов, взятых по m, отличающиеся порядком и составом.

(A – от французского слова arrangement –размещения)

Пример: a). Пусть в группе 20 человек. Нужно выбрать старосту, спроторга, культорга.

б). Сколько сигналов можно составить из 6 флажков разного цвета, взятых по 2.

.

7. Сочетания. Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов, взятых по m, отличающиеся только составом, а порядок не важен.

.

Пример: a). Пусть в группе 20 человек. Нужно выбрать трех делегатов на конференцию.

б). Сколькими способами из шести различных коробок конфет можно выбрать 2.

Замечание. Существует две схемы выбора элементов – без возращения и с возвращением. Был рассмотрен выбор элементов без возвращения каждого в совокупность. Если элементы возвращаются в совокупность (повторяются), то

Перестановки с повторами :

где

Размещения с повторами:

Сочетания с повторами:

Примеры:

1. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Сколько неудачных попыток может быть сделано.

_{Значит, неудачных попыток может быть сделано}

Если мы знаем, что все цифры номера телефона различны, то

2. Сколькими способами из цифр 1,2,3 можно составить двухзначные числа

• Цифры не повторяются

• Цифры повторяются

_{12 13 23}

_{21 31 32}

_{11 22 33}

3. Сколько слов можно составить из букв

а) А з я д Р

б) М М А А Л Р Е Д

4) Имеется 12 видов сувениров. Сколькими способами можно поздравить 6 человек.

А) если сувениры не повторяются, то

Б) если сувениры повторяются