Metodichka fizach-mexanika

Для этого выделим малый промежуток dM, на котором для заданного M можно приближенно считать L постоянной. Тогда для малого участка dM исходное соотношение примет вид:

dK L(M)dM

Используя принцип суперпозиции, получим значение величины K в виде

M2

K L(M )dM ,

M1

где M1 и M2 – начальное и конечное значения величины M. Таким образом метод Д-И состоит из двух частей:

1.в начале необходимо представить исходное соотношение в дифференциальной форме;

2.во второй части метода производят суммирование (интегрирование). Наиболее трудными моментами во второй части являются: выбор переменной интегрирования и определение пределов интегрирования (пределов применимости исходного закона). Для этого выбирают наиболее существенную переменную и определяют функцию L(M). После этого определяют пределы интегрирования и вычисляют искомый интеграл.

Пример. Какова связь между пройденным путем S(t) и величиной модуля скорости v(t) для произвольного момента времени?

Из курса школьной физики известно, что при равномерном и прямолинейном движении связь между физическими величинами S и v имеет вид S vt

Для некоторого малого интервала времени dt, в пределах которого можно считать v(t) const, эта связь сохраняется.

dS v(t)dt

Отсюда для произвольного интервала времени и произвольного закона v(t) связь между пройденным путём и скоростью выразится в виде интеграла

t

S(t) v(t)dt

0

Аналогичные формулы можно получить для работы в случае переменной силы. Метод Д-И целесообразно применять для задач, где приходится иметь дело с распределением масс, скоростей, сил и т.п. в зависимости от времени или координаты.

9

Вычитание векторов А–В

сводится к сложению вектора А и –В:

А – В А (–В) (1.3)

Выражения в прямоугольных декартовых координатах для суммы и разности двух векторов, а также для произведения вектора на число получите самостоятельно на основе (1.1).

Скалярное произведение А В

(другие обозначения (A,B), или (АВ) двух векторов А и В с углом между ними в результате даёт скаляр, определяемый следующим образом:

Два ненулевых вектора А и В взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда АВ 0.

Свойства скалярного произведения.

Если С А – В, то С2 А2 В2 – 2АВ (теорема косинусов). Выражение скалярного произведения в прямоугольных декартовых координатах.

Угол между двумя векторами

может быть выражен через их координаты:

Векторное произведение А В

(другое обозначение [A,B]) двух векторов есть вектор, модуль которого равен

(совпадает с площадью параллелограмма, построенного на векторах А и В). Его направление перпендикулярно к обоим векторам А и В и совпадает с направлением правого винта при его повороте от А к В на угол меньший .

Два вектора параллельны или антипараллельны друг другу тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

11

1.2 Дифференцирование скалярных и векторных функций

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента.

Обратные гиперболические функции

выражаются через логарифмическую функцию следующим образом :

13

1.3 Интегрирование элементарных функций. Среднее значение физической величины

Для расчёта определённого интеграла удобно пользоваться основной теоремой интегрального исчисления

При этом f(x) называют подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, a и b – нижним и верхним пределами интегрирования. F(x) – первообразной функции f(x). По определению F (x) f (x) .

Необходимо помнить, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями в смысле нижеприведённых формул:

15

Среднее значение

некоторой функции в интервале [a,b] определяется формулой:

1.4 Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка

При решении задач по механике вам придется столкнуться с простейшими дифференциальными уравнениями. Общая теория и методы решения дифференциальных уравнений излагаются на втором курсе, поэтому здесь мы изло-

жим только метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и с постоянными коэффициентами.

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Общая структура дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными имеет вид

dydx F ( y) f (x) .

Известны начальные условия, т.е. при x x0 y y0. Требуется найти функцию y(x), удовлетворяющую этому уравнению.

Разделим переменные x, y друг от друга. Для этого перенесём функцию F(y) в левую часть равенства под дифференциал dy, а дифференциал dx в правую часть этого уравнения. Тогда получим

dy f (x)dx . F ( y)

После разделения (знаком равенства) переменных x, y можно проинтегрировать обе части равенства с учётом начальных условий

Последнее равенство представляет собой решение исходного дифференциального уравнения. Далее необходимо проинтегрировать обе части этого равенства и выразить (если это удается) неизвестную y как функцию x.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения dydx (ax b)m (c2 y2 ) .

Известно, что при x 0 у 0. m –1.

17