Diskretka2

Графическая интерпретация булевых функций Монотонные функции

Сокращенная ДНФ монотонных функций

Теорема. Сокращенная ДНФ монотонной функции является тупиковой (и, следовательно, минимальной).

Графическая интерпретация булевых функций Монотонные функции

Сокращенная ДНФ монотонных функций

Теорема. Сокращенная ДНФ монотонной функции является тупиковой (и, следовательно, минимальной).

Доказательство. Пусть K = x1 & : : : & xk простой импликант f (x1; x2; : : : ; xn), k n, f = K _ f 0, где f 0 дизъюнкция всех простых импликантов f , кроме K .

Докажем, что f 6= f 0.

Графическая интерпретация булевых функций Монотонные функции

Сокращенная ДНФ монотонных функций

Теорема. Сокращенная ДНФ монотонной функции является тупиковой (и, следовательно, минимальной).

Доказательство. Пусть K = x1 & : : : & xk простой импликант f (x1; x2; : : : ; xn), k n, f = K _ f 0, где f 0 дизъюнкция всех простых импликантов f , кроме K .

Докажем, что f 6= f 0. Заметим, что каждый импликант K 0 6= K должен содержать литерал xi , i > k, так как K простой.

Графическая интерпретация булевых функций Монотонные функции

Сокращенная ДНФ монотонных функций

Теорема. Сокращенная ДНФ монотонной функции является тупиковой (и, следовательно, минимальной).

Доказательство. Пусть K = x1 & : : : & xk простой импликант f (x1; x2; : : : ; xn), k n, f = K _ f 0, где f 0 дизъюнкция всех простых импликантов f , кроме K .

Докажем, что f 6= f 0. Заметим, что каждый импликант K 0 6= K должен содержать литерал xi , i > k, так как K простой. Поэтому, при

x1 = 1; : : : ; xk = 1; xk+1 = 0; : : : ; xn = 0

имеем

f (x1; : : : ; xn) = 1 6= 0 = f 0(x1; : : : ; xn):

Значит, f 6= f 0: