ITIS0

f

f

2

f

,

1 1

1

,...

левом верхнем углу матрицы:

x x

x x

1 1

1

2

f

f

x x

2

1

2

x

2

x

x

x

f

...

f

x1x1

x1xn

n ... ...

...

. Минимум в критической точке M

будет тогда и только

fxn x1 ...

fxn xn

тогда, когда

0,

2

0,..., n 0.

Максимум

в критической точке M

1

функции нескольких переменных

f (x , x ,..., xn )

при

условии, что

1

2

переменные

x1, x2,..., xn

связаны

соотношениями

(условиями)

g (x , x ,..., xn ) 0,..., gm (x , x

,..., xn ) 0,

m n .

1

1

2

1

2

через остальные n-m

переменные,

задача

сведется

к

нахождению

экстремумов функции n-m переменных.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x

2

y

2

при

условии

x

2

3y

2

1.

Из условия получим x

2

1 3y

2

, поэтому исследуемая функция принимает

вид z 1 2y

2

.

Очевидно,

что условие диктует и ограничения на область

определения

новой функции:

1

y

1

. Очевидно,

что

наибольшее

3

3

значение функция

z 1 2y

2

принимает при y 0

( z 1), а наименьшее при

y

1

( z

1 ).

Возвращаясь

к

исходной

функции двух

переменных,

3

3

получаем: наибольшее значение функция z x

2

y

2

при условии

x

2

3y

2

1

принимает в точках (-1,0) и (1,0), а наименьшее в точках (

1

,0) и (

1

,0) .

3

3

F(x , x

,..., x , ,...,

) f (x , x

,..., x

)

g (x , x

,..., x

) ...

1

2

n

1

m

1

2

n

1

1 1

2

n

g

m

(x , x

,..., x

).

m

1

2

n

Ищется критическая точка новой функции, то есть решение системы

f

(x , x ,..., x

) g

(x , x ,..., x

) ...

g

(x , x ,..., x ) 0,

x1

1 2

n

1 1 x1

1 2

n

m

m x1

1 2

n

…………………………………………..

f

(x , x

,..., x )

g

x

(x , x

,..., x

) ...

g

(x , x

,..., x ) 0,

x

1

2

n

1

1

1

2

n

m

m x

1 2

n

n

n

n

g (x , x

,..., x

) 0,

1

1 2

n

……………………

g

m

(x , x

,..., x

) 0.

1

2

n

Найденное

значение

(x

0

, x

0

0

,

0

0

)

подставляется

в

,..., xn

,..., m

1

2

1

d

2

F(x , x ,..., xn, ,..., m )

и

проверяется

знак

полученного выражения.

1

2

1

2x (2x y) 0,

2y (2y x) 0,

x

2

y

2

xy 1.

переменные x и

y

не могут быть одновременно нулями. Следовательно,

2(1 )

3 2

8 4 0 .

2(1 )

Подставляя

в первое уравнение системы, получим связь между

x

и

y :

1

x y . Теперь из третьего уравнения системы найдем y

1,

x

1.

1,2

1,2

Подставляя

в первое уравнение системы, получим связь между

x

и

y :

2

x y . Теперь из третьего уравнения системы найдем y

1

, x

1

.

3,4

3

3,4

3

Итак, у нас 4 точки (xk , yk ), k 1,2,3,4. Можно подставить их координаты в

d 2F (2 2 )(dx2 dy2

dxdy) 2d [(2x y)dx (2y x)dy].

1

Следовательно,

d

2

F (2 2 )(dx

2

dy

2

dxdy) .

Дискриминант

1

квадратного трехчлена (2 2 )(t2 1

t)

равен нулю,

и значит, знак

1

(2 2 ) . Таким образом, в

трехчлена определяется знаком коэффициента

Определение. Первообразной функции

f (x) называется функция F x ,

производная которой равна

f x , т.е. F ' x

f x .

Поскольку

F x C ' f x ,

где

C постоянная, первообразных

функции f x бесчисленное множество.

Теорема. Любые две первообразные функции

f x

могут отличаться

только на

постоянную.

Другими

словами,

если

F ' x f x и

неопределенным интегралом этой функции и обозначается

f

x dx ,

причем

f ( x)

называется

подынтегральной

функцией,

f (x)dx подынтегральным

выражением.

Очевидно,

что

если

F '(x)

f (x) ,

то

f x dx

F

x dx F (x) С ,

где

С произвольная постоянная интегрирования, то есть постоянная может

принимать любые значения.

1 cos2 x sin2 x .

Тогда получим

dx

1

cos

2

x sin

2

x

dx

dx

2

2

2

2

dx

2

dx

sin

x cos

x

sin

x cos

x

sin

x cos

2

x

sin

2

x

cos

2

x

ctgx tgx C.

x (t)

f ( (t)) '(t)dt.

f (x)dx

dx '(t)dt

перейти от новой переменной интегрирования

t

назад к старой

u (ln x)2,u

2ln x

1

,

x

(ln x)

2

x (ln x)

2

2 ln x

dx x (ln x)

2

dx

v 1,v x

x

x

1

x

u ln x,u

x (ln x)

2

2(x ln x

dx)

2 ln xdx

v 1,v x

x

x

x (ln x)

2

2x ln x 2x C.