Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ITIS0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

3.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

полицейских следует

x 0 .

| cos x 1| 0

при

. Следовательно,

cos x 1

при

Первый замечательный предел

Докажем, что справедлива формула:	lim	sin
		x
	x 0
заметим, что вследствие нечетности функции		sin

	x
	1. Прежде
	x отношение	sin
	x отношение	x
		x

всего,

x	при

x , близком к 0,	положительно	при любом знаке	x . Достаточно
предположить, что	x приближается к 0, оставаясь положительным. В
противном случае мы сменим знак		x , что не повлияет на результат.

Используем геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса 1 с углом при вершине, равным x . BM – дуга граничной окружности сектора, A – его вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке B. BC – перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.

В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM, сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место между площадями этих фигур:

S ABM SсектABM S ABD . Имеем

Поэтому получаем неравенство части этого неравенства на sin x

S	ABM	1 sin x, S	сектABM	1 x, S	ABD	1 tg x .
		2		2		2

	sin x x tg x .		Если мы поделим все
,	то в силу предположения о знаке x

знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем						1	x	1	. А
знаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем						1	sin x	cos x	. А
							sin x	cos x
теперь устремим x		к нулю и применим теорему о двух полицейских.
Мы получим	lim	x	1. Осталось применить			свойство		4) для


	x 0 sin x
получения предела обратной величины: lim				sin x	1.
получения предела обратной величины: lim				x	1.
			x 0	x

Второй замечательный предел и его следствия

Докажем, что справедлива формула

lim(1	1	)	x

	x
x

. Но прежде изменим

определение Коши с учетом того, что переменная x стремится не к конечному значению a , когда для попадания x в окрестность a следует

выполнить неравенство

| x a |

при достаточно малом

, а к

бесконечности. Переменная

окажется в окрестности бесконечности,

если окажется по модулю больше достаточно большой величины. Таким

образом,	определение Коши в			случае x будет выглядеть так:
b lim f (x) , если для		любого		0	существует число	M M ( ) 0
x
такое, что для любого числа			x X , удовлетворяющего условию \| x \| M ,
выполняется неравенство \| f (x) b \| .
Пусть	x 0, то	есть	x .		Рассмотрим	неравенство

(1			1	[x] 1			(1				1	)	1	(1				1	[ x]		(1		1	)	x	(1
(1				)			(1					)		(1					)		(1		x	)		(1
		[x] 1								[x] 1							[x] 1						x
	(1		1	[x]	(1				1		)
	(1		[x]	)	(1			[x]			)
			[x]					[x]
Очевидно,						что					lim (1				1	[x]		e ,		так		как				при
																)
															[x]	)
											x				[x]

1	[ x] 1
[x]	)
[x]

x 1

. (*)

величина

[x]

–

натуральное число – и мы имеем последовательность, участвующую в

определении числа										e	. Аналогично, lim (1										1			[x] 1		e . Теперь остается
																							)
																	x			[x] 1
применить неравенство (*) и теорему о двух милиционерах.
Для				случая							x 0				сделаем						замену					x y	.	Тогда

(1	1	)	x	(1	1	)	y	(	y 1			y	(	y	)	y	(1	1	)		y 1	(1		1		) .
	x				y					y	)													y
														y 1				y 1							1
При x имеем:										y . Поэтому можно применить уже доказанную

формулу для положительной переменной

Доказательство

завершено.
Прологарифмируем			обе	части второго замечательного предела			–
получим	lim(x ln(1	1	)) 1.	Если теперь заменить	1	переменной	t ,
		x			x
	x

которая стремится к нулю при стремлении x к бесконечности, получим следствие из второго замечательного предела

1) lim ln(1 t) 1.

t 0 t

Другим следствие второго замечательного предела является предел, получаемый из предыдущего заменой z ln(1 t) :

2) lim ez 1 1.

z 0 z

Рассмотрим теперь предел

lim

(1 x)

. Сделаем замену

(1 x)

x 0

При такой замене

x 0

тогда и только тогда, когда

z 0

Получим

z /

lim

(1 x) 1

lim

(Во

втором

z /

x 0

z 0 e

z 0

z 0 e

выражении равенства числитель и знаменатель умножены на

и сделан

переход к пределу в соответствии со вторым следствием. )

Таким образом,

третьим следствием второго замечательного предела

является


3)	lim	(1 x)
3)	lim	x
	x 0	x

1

Односторонние пределы
Число b называется левым пределом функции	f x	при	x a

(пределом слева), если для любой последовательности значений

аргумента

xn , стремящейся к

слева

xn a

соответствующая ей

функциональная последовательность		f xn	сходится к	b . Обозначение
lim	f x b .
x a 0

(|f

Соответствующее		определение
0 ( ) 0	такое, что		для
(x) b \| ) .

Коши

x, 0<a

имеет

x ,

вид: для справедливо

Число

называется правым пределом функции f x при

x a

(пределом справа), если для	любой последовательности значений
аргумента xn , стремящейся к	a	справа xn a соответствующая ей

функциональная последовательность		f xn	сходится к	b . Обозначение
lim	f x b .
x a 0

Соответствующее определение

0 ( ) 0	такое, что	для
(\| f (x) b \| ) .

Коши имеет	вид: для
x, 0<x a ,	справедливо

Существование предела в точке означает, что пределы слева и справа существуют и равны.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция x

называется бесконечно малой функцией

(бесконечно малой) при

x x

, если

lim x 0 .

x x

A x

Определение

Функция

называется бесконечно

большой

функцией (бесконечно большой) при x x , если

lim A x .

x x

Следствие. Функция

при

x x

бесконечно малая, а

A x

бесконечно большая.

Определение 3. Если

lim

(x)

K ,

причем

0 |K | , функции x

(x)

x x

и x называется бесконечно малыми одного порядка малости при

x x .

– бесконечно малые величины одного

П р и м е р. Функции (1 x) 1

порядка малости при

x 0.

Определение

Функции

называется

эквивалентными

бесконечно малыми при

x x

, если

lim

0 x

x x

П р и м е р. Функции

и sin x

– эквивалентные бесконечно малые величины

при x 0.

Определение

Функция

называется

бесконечно малой более

высокого порядка малости, чем

x , при x x , если lim

0 .

x x

П р и м е р. Функция

x2 – бесконечно малая величина более высокого

порядка малости, чем sin x при

x 0.

Известны следующие свойства бесконечно малых.

1)Сумма конечного числа бесконечно малых – бесконечно малая.

2)Произведение бесконечно малой и ограниченной величины – величина бесконечно малая.

Функция, непрерывная в точке
Пусть функция	y f (x) задана на множестве	X R и a X . Если
lim f (x) f (a),	то говорят, что эта функция непрерывна в точке a .
x a

По-другому можно записать свойство непрерывности так:

lim f (x) f (lim x) .		Свойство	непрерывности функций				передается
x a	x a
суперпозиции этих функций: если				y f (x) непрерывна в точке a , а
функция	z g( y)	непрерывна	в	точке	b f (a) ,	то	функция
z h(x) g( f (x)) непрерывна в точке a .
Функция, непрерывная в каждой точке множества						X ,	называется
непрерывной на		множестве	X .	График	непрерывной функции

представляет собой непрерывную кривую. Все известные из школьного

математического

курса

функции

непрерывны

в областях,

где

они

заданы: многочлены,

ln x

при

x 0,

sin x ,

cos x ,

tg x

при

k, k Z ,

ctg x при x k, k

Z .

Пример разрывной функции – функция

y sgn x

1, x 0,1, x 0.

Доказать, что она имеет разрыв в точке

x 0

можно с применением

определения Гейне. Зададим последовательность

	( 1)	n
x	( 1)
x
n	n
	n

. Очевидно,

что общий член последовательности стремится к нулю с ростом номера,

причем четные члены последовательности –						положительные числа,
нечетные –	отрицательные. Нетрудно			заметить,			что	f (xn ) ( 1)		n	.

Поскольку	последовательность	( 1)	n	не		имеет	предела, то			в

соответствии с определением Гейне функция					y	sgn x	не имеет предела

в точке x 0	, и поэтому не может быть непрерывной в этой точке,								как
бы мы ее в этой точке ни определяли.

Приведенный пример точки разрыва – точка разрыва первого рода. В соответствии с определением точки разрыва первого рода функция должна иметь пределы при x , стремящимся к точке разрыва слева и при x , стремящимся к точке разрыва справа, только эти пределы не совпадают. В случае функции y sgn x предел слева в точке разрыва x 0 равен -1, предел справа равен 1.

Точкой разрыва второго рода функции f (x) называется такая

предельная точка множества X , на котором задана функция, что хотя бы один из пределов (слева или справа) функции в этой точке не

существует или бесконечен. В качестве примера можно привести

функцию

y tg x . В точке

x / 2

функция не определена, но эта точка

является предельной для множества определения функции. При

стремлении	x к / 2 слева значения функции, постоянно увеличиваясь,
стремятся к	. При стремлении	x к / 2 справа, значения функции,
уменьшаясь, стремятся к .

Функция, непрерывная в каждой точки множества X , называется непрерывной на множестве X .

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Пусть функция	f (x)	непрерывна на		отрезке [a,b].		Тогда	справедливы
следующие свойства.
1. Функция	f (x) ограничена на [a,b].
Доказательство	(от противного). Предположим,				что	f (x)	не	является
ограниченной,	то есть, для		n N	xn [a,b]	такое, что		\|	f (xn ) \| n .
Выберем из ограниченной			последовательности		xn , n N ,		сходящуюся

подпоследовательность	xn	, k N	такую, что	lim xn		x	. Точка	x	является
	k			k	k	0		0

предельной для отрезка [a,b], и в силу замкнутости отрезка принадлежит

этому

отрезку.

В силу

непрерывности функции

f (x)

точке

lim

f (xn

) f (x

) .

Это

противоречит тому,

что

| f (x

) | n ,

причем

lim n

Если

M sup

f (x), m inf f (x) , то

xM , xm [a,b]

такие,

что

x [a,b]

f (x

) M ,

f (xm) m .

Доказательство. Из свойств супремума для n N

xn [a,b]

такое,

что

f (xn ) M . Из ограниченной последовательности xn ,

n N , выберем

, k N

сходящуюся подпоследовательность x

такую, что

lim xn

. В

силу замкнутости отрезка [a,b] имеем:

xM [a,b] . В силу непрерывности

функции	lim	f (xn	) f (x	) . А так как	M	1	f
функции	lim	f (xn	) f (x	) . А так как	M	n	f
	k	k	M			n
						k

f (x	) M .
M
Для инфимума доказательство аналогично.
3.	Если	f (a) f (b) 0 (значения на концах отрезка имеют
	то x	[a,b] такое, что f (x ) 0 .
	0	0

(xn	) M , то
k

разные знаки),

Доказательство. Для доказательства мы воспользуемся леммой о вложенных

отрезках. Разделим отрезок [a,b] пополам и проверим значение								f
Если	f (	a b	) 0	, то	x	a b	и теорема доказана. В противном

		2			0	2

(	a b	) .
	2

случае

выберем ту половину отрезка, на границах которой функция имеет разные знаки. Разделим этот новый отрезок пополам и проверим значение функции в этой середине…. Продолжая указанный процесс, мы либо получим значение 0 у функции в одной из середин получаемых отрезков, либо получим

последовательность вложенных отрезков				[an,bn ], n N , обладающих
свойствами:	[an,bn ] [a	,b	], bn an 0	при n и f (an ) f (bn ) 0 . В
	n 1 n 1

соответствии с леммой о вложенных отрезках lim an lim bn c [a,b]. В
		n	n
силу непрерывности функции на отрезке	lim	f (an ) lim		f (bn ) f (c) . В
	n		n

силу того, что знаки

f (a	)
n

f (b	)
n

разные,

(c)

. Следовательно,

Следствиями 3-го свойства являются следующие свойства:

3-а. Функция f (x) принимает все промежуточные значения между

f (a)

f (b) . (Для доказательства следует
f	(x) f (x) k	для любого значения k
1

применить между f (a

свойство 3 к функции

) и

f (b) ).

3-б. Функция

f (x)

принимает все промежуточные значения между

m ,

где M	и m из свойства 2. (Для доказательства следует применить свойство
3-а для функции f (x) на отрезке [xm, x		]).
	M

Условие дифференцируемости функции в точке

Условию

следующее

x x a

непрерывности	функции
определение:	lim f
	x 0

называется приращением

f (x) в точке	a	можно
lim ( f (a x) f (a)) 0 ,
x 0
аргумента, а	f f (x)

дать

где

f (a)

называется соответствующим приращением функции. В связи с этим

возникает вопрос о сравнении малых величин x	и	f	при стремлении
x к нулю.

Функция

f (x)

называется дифференцируемой в точке

если

существует такая константа		A , что f
значениях x , где	– величина более
сравнению с x .

A x	при достаточно малых

высокого порядка малости по

Из определения следует, что функция, дифференцируемая в точке, является непрерывной в этой точке. Более того, следует, что величина

не может быть величиной большего порядка малости, чем

f , в

противном случае величина величиной.

была бы не константой, а бесконечной

В случае

константа
функции	f

(

дифференцируемости функции

A	имеет	свое название: она
x)	в точке	a и обозначается f (

в точке соответствующая называется производной a) . Из определения также

очевидно, что производная определяется с помощью предельного перехода следующим образом:

f (a) lim	f	lim	f (x) f (a)	.
	x		x a
x 0		x a

Условие дифференцируемости имеет важные геометрический и физический смыслы.

Задача о проведении касательной к кривой

Пусть заданная кривая является графиком непрерывной функции y f (x), x [a,b]. Требуется провести касательную к этой кривой в точке

c (a,b) . Заметим, что касательная – это прямая, получающаяся в пределе из хорд, проходящих через точки (c, f (c)) и (c x, f (c x)) , когда

x 0. Уравнение	хорды –	прямой,	проходящей
различные точки,	– имеет	вид:	x c
			(c x) c

через две заданные

	y f (c)	или

	f (c x) f (c)
	f (c x) f (c)

y f (c)	f (c x) f (c)	(x c) . Делая предельный переход при	x 0	,
	x

получим предельное значение углового коэффициента хорд – угловой

коэффициент касательной: k lim	f (c x) f (c)		. На рисунке касательная

x 0	x
представлена пунктиром. Итак,	k tg , где	– угол, образованный
касательной с положительным направлением оси		OX .

Таким образом, уравнение касательной в точке

y f (c) f (c)(x c) .

(c, f (c))

имеет вид

Очевидно, что существуют непрерывные кривые, в некоторых точках которых провести касательную невозможно.

Возникает вопрос: какое условие нужно наложить на функцию

f (x)

окрестности точки

c , чтобы в соответствующей точке можно было провести

касательную к графику этой	функции.		Существование		касательной
означает, что равны пределы отношения		f (c x) f (c)		при	x 0 0 ,
			x

то есть, что существует

	lim	f (c x) f (c)
		x
	x 0

(c)

Это значит, что

f (c x) f (c)

, где a 0 при x 0. Следовательно,

x a – величина более высокого порядка малости по сравнению с

x .

Таким образом, для того, чтобы можно было провести касательную к кривой

y f (x), x [a,b] в точке

(c, f (c))

необходимо и достаточно, чтобы

функция

f (x)

была дифференцируема в точке c.

Задача о вычислении мгновенной скорости

Предположим, что мы следим за прямолинейным движением точки, пройденный путь которой в зависимости от времени выражается формулой S(t) . Чтобы вычислить среднюю скорость движения точки на участке

[t	,t
0	0

достаточно получить значение

S(t0

t) S(t0 )

. Если теперь

устремить

скорость по

к нулю, мы получим, что отрезок выродится в точку, а средняя

отрезку при существовании предела	lim	S(t0	t) S(t0 )
			t
	t 0

превратится в мгновенную скорость в точке	t	0	. Таким образом, производная
		0

функции S(t) , представляющей зависимость пути от времени, представляет мгновенную скорость в соответствующей точке.

Итак, геометрическим смыслом производной f (x					) является тангенс
				0
угла наклона касательной к кривой y f (x)		в точке (x	,	f (x )) ,
		0			0
физическим смыслом производной	f (x	) является		скорость в момент
	0
x x , когда зависимость длины пути	y от скорости		x		задается функцией
0
y f (x) .

Дифференциал

Как было сказано выше, в случае дифференцируемости функции в точке

второе слагаемое	в выражении приращения функции	f	f (x	) x –
			0
величина более	высокого порядка малости, чем	величина		x , а

следовательно – в случае, когда	f (x	) 0	, – и чем величина	f		x		x	.
	0					0

Другими словами, первое слагаемое в выражении приращения функции

представляет основную часть приращения функции. Называют его
дифференциалом	функции	y f x	в точке	x	и обозначают
				0
df (x0 ) f x0 x.	В целях единообразия и для того, чтобы подчеркнуть, что

x – бесконечно малая величина, приращение аргумента x в этой формуле
обозначают	dx . Тогда		df f x dx , откуда следует второе обозначение
производной	f x	df	. Связь между приращением функции и	ее
		dx

дифференциалом изображена на рисунке 1.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 164 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.08.2019189.95 Кб14Istoria_zarubezhnoy_literatury_18_veka.doc
#
01.03.202593.11 Кб0Istorii_tamozhennogo_dela_i_tamozhennoy_politik...docx
#
10.02.2015587.33 Кб43istoriya_i_filosofiya_nauki.pdf
#
01.04.202529.52 Кб4ISTORIYa_PEDAGOGIKI_OZO_PSIKh_OBRAZOV.docx
#
01.07.2025196.04 Кб2ist_tat.docx
#
10.02.20153.31 Mб21ITIS0.pdf
#
22.04.2019744.45 Кб11itogovaya_baza_testov_po_GMU.doc
#
01.07.2025747.64 Кб0itogovaya_k.r._istoriya_8_klass.docx
#
01.04.2025123.9 Кб0itog_test.doc
#
14.08.20194.53 Mб35ivashkevich_v_b_buhgalterskiy_upravlencheskiy_u...doc
#
22.08.201979.36 Кб6IVF_-_KK_-_Glava_III_-_UDEL_N_J_PERIOD_ROSSIJSK...doc