ITIS0

и y 9 x2 , x [ 3,3].

График первой функции представляет верхнюю

полуокружность, график

второй –

нижнюю

ее часть. Если не требовать

непрерывности, то из соотношения

x

2

y

2

9

можно получить бесчисленное

Кроме того,

возможно параметрическое задание

функции

x t

,

y t

когда вводится

дополнительный параметр

t [t0

,T ]. Примером является

параметрическое

уравнение той же,

что

и

выше окружности

чисел

xn , n N . Последовательность

также можно

рассматривать как

функцию, заданную на множестве

N. Число xn

называют членом

последовательности, n – номером этого члена последовательности.

Примеры. 1) 1 ,n N , 2) 3n, n N , 3)1 ( 1)n , n N , 4)

( 1)n, n N .

n

n

2

Элементарные свойства пределов

1. Предел единственен.

Доказательство . Пусть a lim xn и

b lim xn . Для

0

найдем N ( )

n

n

1

такое, что | xn a |

при n N1( )

и найдем N2 ( )

такое,

что | xn b |

2

2

при

n N2 ( ) .

Тогда

при

n max{N1( ), N2 ( )}

получим

| b a | | b xn xn a | | b xn | |

xn a | . Из произвольности

получаем:

расстояние между числами a и

b может быть сделано сколь угодно малым.

Это означает, что a b .

Следовательно, n 1

n(n 1)

2

или y

2

. Из соотношения 0 y

2

,

2

yn

n

n

n

n

применяя теорему о двух полицейских, получим

lim yn 0, откуда следует

n

1

1.

lim nn

n

3. Пусть xn 0

при

n N . Если

lim xn a , то a 0 .

n

Доказательство

от противного. Пусть a 0 . В соответствии с определением

предела при

a

найдем

N0 N такое, что

n N0 (| xn a |

a

). То

2

2

есть a x a a

при

n N

0

. Из правого неравенства следует

x

a ,

2

n

2

n

2

Определение

1. Последовательность

xn , n N , называется

ограниченной,

если M 0

тчо | xn | M , n N .

Определение 2. Последовательность

xn , n N , называется бесконечно малой

величиной (б.м.в.), если lim xn 0.

n

5. Если последовательность xn , n N , сходится, то есть,

lim xn a , то

n

такое

N N ,

что | x a | 1

при n N

. Следовательно, в соответствии с

1

n

1

неравенством,

полученным

выше,

|| xn

| | a || 1

при

n N

. Отсюда

1

6. Пусть

xn , n N , – ограниченная

величина,

yn , n N ,– б.м.в. Тогда

zn xn yn, n N , – б.м.в.

Доказательство. Найдем

для

0

такое

N( ) N

,

что

n N( )

(| yn |

). Тогда для n N( ) выполняется неравенство

| zn | | xn yn | , то

M

есть lim zn 0 .

n

7. Пусть xn , n N , – б.м.в.,

yn , n N ,– б.м.в. Тогда zn xn yn, n N , б.м.в.

Доказательство. Найдем

для

0

такое

N1

( ) N

,

что

n N1( )

(| xn |

)

и такое

N2 ( ) N ,

что n N2

( )

(| yn |

) .

Тогда при

2

2

больших значениях n N . Имеем

1

1

1

. Пусть

| x a |

| ( x ) a |

|| a | | x ||

n

n

n

Определение.

Последовательность

xn

, k N ,

называется

k

подпоследовательностью последовательности

xn , n N , если

n

, k N , –

k

x

, x

, x

,..., x

k 1 ,....

– подпоследовательность последовательности

3

7

23

3 4 16 ... 4

x , x

, x

, x

,....., xn,... .

1

2

3

4

1.Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся

подпоследовательность.

Доказательство. Любая последовательность

xn , n N , содержит бесконечное

(счетное) множество

членов, однако значения некоторых из них могут

совпадать, например,

в случае последовательности

( 1)

n

, n N . Обозначим

последовательности в порядке возрастания номеров

xn

, k N , мы получим

k

предельной точкой

a . Согласно определению предельной

точки в

проколотой окрестности U1(a) содержится хотя бы одна точка из

множества

номерами от

первого

до

n .

Отбрасывание конечного числа членов не

1

сделает A

конечным,

кроме того, точка

a будет предельной точкой и для

1

множества

A

. Поэтому в проколотой окрестности

U1

(a)

найдется число,

1

2

значение которого принимает член последовательности

xn

,

причем n n .

2

1

2

Теперь отбросим из множества A

те числа, значения которых принимают

1

все

члены

последовательности

xn с

номерами от

n 1

до

n . Получим

1

2

множество

A

2

, бесконечное и с предельной точкой

a . Теперь в проколотой

окрестности

U1 (a) найдется число,

значение которого

принимает

член

3

последовательности x

, причем

n n

….. Таким образом, мы построили

n3

2

3

подпоследовательность

xn

, k N

, последовательности

xn , n N , такую что

k

| xn

a |

1

.

Из первого

следствия

Принципа Архимеда

следует,

что

k

k

lim xn a

. Итак, сходящаяся подпоследовательность построена.

k

k

Доказательство. Пусть последовательность

xn , n N , неубывающая, то есть,

супремума для 0 x

такое, что x

. В силу монотонности

N

N ( )

для

n N( ) ( x

xn ) .

Следовательно,

для

N ( )

n N( ) (| xn | ) ,

что

согласно определению

предела

доказывает:

lim xn .

n

3. Лемма о вложенных отрезках.

Пусть

an ,n N, и bn ,n N, – последовательности концов последовательно

a ). Согласно второму основному свойству lim a

a и lim b

b . Имеем

1

n

n

n

n

b lim b lim(b a

a ) lim(b a ) lim a

a .

Таким

образом,

n n

n n n

n

n n

n

n n

x 2

1

1

...

1

2 1

1

1

...

1

n

2! 3!

n!

2

2 2 23

2n 1

2

1

1 (1/ 2)n 1

2

1 3.

2

1 1/ 2

этой последовательности, который принято обозначать

e . Это число

Определение предела

последовательности предполагает известным предел

последовательности

( a ), с которым сравнивается общий член

Критерий Коши.

Последовательность xn, n N, сходится тогда и только

тогда,

когда

для

0 N N( ) N, такое

что

для

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть

lim xn a , то есть, последовательность сходится.

n

Докажем ее фундаментальность. В соответствии с определением предела для

0 N( ) N

тчо

для

n N( ) (| xn a |

).

Возьмем

любые

2

m,n N( ). Тогда

| xn xm | | xn a a xm | | xn a | | xm a |

. То

2

2

есть из сходимости следует фундаментальность.

2. Достаточность.

Пусть

последовательность

xn, n N,

фундаментальна.

условии фундаментальности примем 1

и найдем

N N

такое, что

m,n N (| xn xm | 1) .

Следовательно,

при

m N 1

имеем:

(| x

xn | ) при n N . Из неравенства

|| xn | | x

|| | x

xn | 1 при

N 1

N 1

N 1

n N получим неравенство: | xn | 1 | xN 1 |

при n N . Следовательно,

последовательности и

выберем из ограниченной последовательности

xn, n N, сходящуюся

подпоследовательность xn , k N, где

lim xn

a .

k

k

k

Взяв теперь в условии фундаментальности m nk

при достаточно больших

значениях

k K( ) N ,

получим

k K( ), n N( ) (| xn xn | ) .

k

Переходя

к пределу

при

k в

последнем

неравенстве, получим

n N( ) (| xn a | ) .

В силу произвольности

выполнение последнего

неравенства обеспечивает то, что lim xn a .

n

2 1. Пусть справедливы условия второго определения и пусть

lim xn a .

n

Из определения предела числовой последовательности для любого

0 и

определенного в соответствии с условием второго предела значения

( ) 0

найдем

такое

значение

N N( ( )) N( ) N ,

что

| xn a | ( )

для

любого

n N( ) . Следовательно, в соответствии с условием определения 2

| f (xn ) b | при n N( ) . Последнее является установлением того факта,

что

lim f (xn ) b .

То есть выполнение условий второго

определения

n

обеспечивает выполнение условий первого определения.

1 2

доказывается

от противного. Пусть выполняются

условия

первого

определения, но условия второго определения нарушаются, то есть,

0

0

такое, что для 0

x

такое,

что

| x

a | и

(| f (x

) b |

0

)

. В силу

0

0

0

произвольности

0

возьмем

1

и найдем при каждом значении n N

n

такое значение

x , что | x a | 1

и (| f (xn) b|

0

) . Мы видим,

что нашли

n

n

n

xn, n N ,

lim xn a

lim f (xn ) b .

последовательность

такую,

что

и

n

n

сектора радиуса 1 раствора

x

и вписанного в него равнобедренного

треугольника с той

же

вершиной,

представленных

на

рисунке.

Площадь

треугольника

равна

sin x

,

2

площадь

сектора

равна

x

.

2

Треугольник вписан в сектор, значит

площадь

треугольника

меньше

площади сектора. Следовательно, sin x x для любого x 0.

Пользуясь

нечетностью функции

sin x , получим

sin x x для любого

x 0 .

Таким

образом, | sin x | | x |

для x 0 . Для 0 ( )

такое что |sin x |

при

| x | ( ) .

Таким

образом,

limsin x 0

в соответствии с

x 0

П р и м е р. Покажем, что

limcos x 1.

Воспользуемся полученной выше

x 0

оценкой в неравенстве 0 | cos x 1| 2sin2

x

x2

. Теперь из теоремы о двух

2

2