Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ITIS0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

3.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

	y (x ) .....			y	(x )
	1	0		n		0
		...............				.
y	(n 1)	(x )... y		(n 1)		(x )
y		(x )... y				(x )
1		0	n			0

а) Простой вещественный корень. Простому вещественному корню

характеристического уравнения соответствует частное решение y1 (x) ek1x .

Если все корни характеристического уравнения простые и вещественные, определитель Вронского примет вид

k x

.....

1 .....

(k ... k

...............

n 1

k x

... k

n 1

e 1

e n

... k

П р	и м е	р. Решить	однородное	дифференциальное уравнение
y 5y 6y 0		. Построим характеристическое уравнение k				3	5k	2	6k 0 .

Это	характеристическое		уравнение	имеет три	простых				корня:
k 0,k 2,k 3.		Поэтому общим решение исходного			дифференциального

уравнение является функция

y(x) C C e2x
1	2

C3e3x

б) Вещественный корень кратности

характеристического уравнения имеет кратность

можем использовать

одинаковых частных

m . Если корень

m , то, естественно, мы не

решений вида	y(x) e	k x	,
		0

соответствующих этому корню, так как определитель Вронского будет иметь одинаковые столбцы и, следовательно, обратится в ноль. В указанном виде

мы сможем взять только одно из m			частных решений. Можно показать, что
все	m	частных решений,	соответствующих данному корню

характеристического уравнения, имеют вид

y		(x) x	j 1	k x	,
y	j	(x) x	e	0	,
				0

1,..,m

, то

есть функции

j 1

k x

, j 1,..,m , удовлетворяют исходному

однородному

дифференциальному уравнению.

Заметим прежде всего, что если k

– корень

уравнения

a k

n 1

a k

n 2

... an 0

кратности

m , то

– корень

любого из уравнений (kn a kn 1

a kn 2 ... a )( j) 0,

j 1,...,m 1.

Покажем, как проводится доказательство того, что

xek0x

(случай j 2 )

удовлетворяет исходному однородному уравнению. Подставим	k x
удовлетворяет исходному однородному уравнению. Подставим	xe
	0

левую часть исходного однородного дифференциального уравнения получим

xek0xkn	nek0xkn 1 a [xek0xkn 1			(n 1)ek0xk n 2		] ... a [xek0xk		0	ek0x ]
0	0	1	0		0	n 1		0
a xek0x xek0x[kn a kn 1			... a		] ek0x[nk n 1	(n 1)k n 2	... a			] 0.
n	0	1 0		n	0	0			n 1

Первое выражение в квадратных скобках обращается в ноль, так как	k	0	–
		0

корень характеристического уравнения, второе выражение в квадратных

скобках

обращается в

ноль,

так

как

– корень

уравнения

a k

n 1

a k

n 2

0. Подобным же образом можно показать, что

... an )

функции

x j 1ek0x ,

j 3,..,m ,

удовлетворяют

исходному

однородному

дифференциальному уравнению.

р.

Решить

однородное

дифференциальное уравнение

(6)

(5)

(4)

0 .

Характеристическое

уравнение

имеет

вид

следовательно,

имеет корни

(кратности

четыре)

и 1

(кратности два). Поэтому общим решением исходного дифференциального

уравнения является функция y(x) C C x C x			2	3	x	(C	C x) .
уравнения является функция y(x) C C x C x				C x	e	(C	C x) .
1	2	3		4		5	6

в) Простой комплексный корень. При решении алгебраического уравнения

с вещественными коэффициентами	наличие комплексного корня i
обеспечивает наличие комплексно	сопряженного корня i . Поэтому

можно было бы в качестве частных решений, соответствующих этой паре

корней, взять функции	( i )x	( i )x	. Однако для того, чтобы не
	e	и e

привлекать комплексные числа для решения дифференциальных уравнений с


вещественными		коэффициентами,	используя	формулу	Эйлера
i x	cos x isin x , в качестве		частных решений берут		функции
e	cos x isin x , в качестве		частных решений берут		функции

x	cos x
e

e x

sin

П р и м е р. Решить	дифференциальное		уравнение				y(4) 4y 0.
Характеристическим уравнением является уравнение k				4	4k	2	0. Корнями

этого уравнения являются	k 0 (кратности 2) и комплексные корни							i2 .
Поэтому общее решение имеет вид y(x) C C x C cos2x C sin 2x .
	1	2	3				4

г) Комплексные корни кратности

m . В случае, когда характеристическое

уравнение имеет два комплексно сопряженных корня i кратности

m ,

соответствующие этим корням частные решения соответствующего

однородного	дифференциального	уравнения	имеют	вид
x j 1e x cos x, j 1,..,m , и x j 1e x sin x, j 1,..,m.

П		р и м е р.
y	(4)	4y 14y 20y 25y 0
	(4)

Решить дифференциальное уравнение

. Характеристическое уравнение можно

представить	в	виде	(k2 2k 5)2 0 ,	следовательно,		корнями
характеристического уравнения являются 1 2i (кратности					2)	и 1 2i
(кратности	2).	Поэтому	общим решение	заданного	однородного

дифференциального				уравнения
y(x) e	x	(C cos2x C xcos2x C sin 2x
y(x) e		(C cos2x C xcos2x C sin 2x
		1	2	3

C4xsin

будет функция

x) .

Решение неоднородного уравнения. Мы уже знаем, как найти общее решение однородного уравнения. Чтобы найти общее решение неоднородного уравнения, нужно найти частное решение неоднородного уравнения и прибавить к нему уже найденное общее решение

соответствующего однородного уравнения.

Действительно,

пусть y (x)

–

общее решение однородного уравнения

(n)

a y

(n 1)

a y

(n 2)

... an y 0 ,

содержащее n произвольных постоянных C1,...Cn . Если y(x)

удовлетворяет

неоднородному

уравнению

(n)

a y

(n 1)

a y

(n 2)

... an y f (x) ,

то

функция y(x) y

(x) удовлетворяет тому же неоднородному уравнению и

содержит произвольные постоянные C ,...,C .

Таким образом, вопрос о нахождении общего решения неоднородного уравнения сводится к вопросу о нахождении частного решения неоднородного уравнения. Существуют разные методы построения такого решения. Рассмотрим метод вариации произвольной постоянной, который позволяет сразу получить общее решение неоднородного уравнения.

Суть этого метода в том, что, получив решение соответствующего

однородного уравнения в виде y	(x) C y (x) ... Cn yn (x) , мы ищем общее
0	1	1
решение неоднородного уравнения в виде			y(x) C (x)y (x) ... Cn(x) yn(x)
			1	1
и подбираем такие неизвестные функции			C1(x),...,Cn (x) , чтобы функция
y(x) удовлетворяла неоднородному уравнению. Оказывается, что для этого

достаточно, чтобы эти производные этих неизвестных функций удовлетворяли системе

	C (x) y (x) ... C (x) y					n	(x) 0,
		1	1		n	n
		1	1	(x) ... C (x) y		(x) 0,
	C		(x) y	(x) ... C (x) y		(x) 0,
		1	1		n	n
	........................................................ 0,
	........................................................ 0,

			(n 1) (x) ... C (x) y (n 1) (x) f (x).
C (x) y			(n 1) (x) ... C (x) y (n 1) (x) f (x).
	1	1		n	n
	1	1
Докажем это	для	случая n 2 .			Пусть необходимо решить уравнение
y ay by f (x) .			Решение однородного уравнения имеет вид

(x) C y (x) C y

(x) , причем

1 1

2 2

решение неоднородного уравнения в виде

y(x) C (

подставим в неоднородное уравнение. Мы получим:

1,2	. Возьмем общее

x)y (x) C		(x)y	(x)	и
1	2	2

C1 y1 2C1 y1 C1 y1 C2 y2 2C2 y2 C2 y2 a(C1 y1 C1 y1

C2 y2 C2 y2 ) b(C1 y1 C2 y2 ) f (x).

Выражения,								имеющие сомножителями C									и C обращаются в ноль, поэтому
																1		2
имеем:
C	y 2C					y		C y 2C					y a(C y C y ) f (x).
1			1		1		1			2	2	2	2		1	1	2	2
Пусть C					y		C y 0 . Взяв производные от обеих частей этого равенства,
				1		1			2	2
получим C y C y C y C y 0. Поэтому для того, чтобы																				функция
						1			1	1	1	2	2	2	2
y(x) была								решением				неоднородного					уравнения, остается			положить
C		y		C		y			f (x).
1		1		2		2
																			y 2y y		e	x
П		р		и	м			е р.			Решить		дифференциальное уравнение								e		.
П		р		и	м			е р.			Решить		дифференциальное уравнение								x		.
																					x

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного

уравнения

имеет

вид

k2 2k 1 0 .

Следовательно,

общее

решение

однородного

уравнения

–

функция

(x) C e

C xe

Поэтому

общее

решение неоднородного уравнение ищем в виде

y(x) C (x)e

(x)xe

Для определения

неизвестных функций

C (x),C (x)

составим

систему

относительно их производных

C e

C (xex ex ) e

C ex

Сокращая уравнения на

, мы получим систему с главным определителем,

равным 1. Решая систему и интегрируя, получим

C (x) x C ,

C (x) ln | x | C . Общее решение исходного уравнения запишется теперь в

виде y(x) e

( x

C xln | x | C x) .

Заметим, что в силу произвольности

константы

выражение x C x

можно заменить

выражением C x .

Поэтому решение можно записать в виде

y(x) e

(C xln | x | C x) .

Применение пакета программ MAXIMA для решения линейных дифференциальных уравнений высших порядков

Для дифференциальных уравнений порядка выше, чем 2, команда ode2 уже неприменима. Такие уравнения решаются MAXIM-ой операционным методом. При этом начальные условия следует задавать до решения дифференциального уравнения с помощью команды atvalue. Заметим, что и сами дифференциальные уравнения записываются несколько по-другому. Так, в уравнении обязательно указывать функцию, зависящей от аргумента. Само решение дифференциального уравнения происходит по команде desolve.

Пусть, например, следует решить уравнение

y(4) 4y 14y 20y 25y x2

с начальными условиями		y(0) 5, y (0) 1, y (0) 0, y (0) 1.
Сначала	введем	дифференциальное	уравнение:

'diff(y(x),x,4)+4*'diff(y(x),x,3)+14*diff(y(x),x,2)+20*diff(y(x),x)+25*y(x)=x^2;.

Предположим, что дифференциальное уравнение записано под номером %o1. Теперь введем начальные условия: atvalue(y(x),x=0,5);atvalue('diff(y(x),x),x=0,-1); atvalue('diff(y(x),x,2),x=0,0);atvalue('diff(y(x),x,3),x=0,1);.

И наконец, решаем дифференциальное уравнение под номером %o1: desolve(%o1,y(x));.

Компьютер запишет решение: y(x)=%e^(-x)*((32273*sin(2*x))/10000+(3121*cos(2*x))/625)+(2877*x*%e^(- x)*sin(2*x))/500-(2397*x*%e^(-x)*cos(2*x))/1000+x^2/25-(8*x)/125+4/625

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные системы. Решение

найти	n функций	y (x), y		(x),..., yn
		1	2

системы предполагает, что мы должны (x) , удовлетворяющих уравнениям

	y
	1

y
	2


y
	n

a11

a21

an1

y1 y1

(x) a	y	(x) ... a	y			(x),
12	2	1n		n
(x) a	y	(x) ... a		y			(x),
22	2	2n		n
....................
(x) a	y	(x) ... a		y	n		(x).
n2	2	nn			n

Заметим, что в системах мы будем рассматривать только дифференциальные уравнения первого порядка. В противном случае, если в системе появляется,

например,	производная			y	, мы вводим новую	функцию	y	y		,
				j			n 1			j
обозначаем	y	y	и добавляем еще одно уравнение системы: y				y		.
	j	n 1				j		n 1
Для упрощения выкладок мы исследуем случай						n 2 . Полученные
результаты легко обобщаются на случай произвольного						n . Введенную выше

линейную однородную систему можно свести к линейному однородному дифференциальному уравнению высокого порядка с постоянными

коэффициентами.				Покажем, как это делается для случая	n 2	. Пусть нам
нужно решить систему
	y ay (x) by			(x),
	y ay (x) by		2	(x),
	1	1	2

y cy (x) dy				(x).
	2	1	2

Продифференцируем первое уравнение и выразим в полученной правой части y2 (x) через правую часть второго уравнения. Мы получим

b(cy dy

) . А

теперь

входящую

полученную

правую часть

функцию

by (x)

заменим ее выражением из первого уравнения исходной

системы:

ay .

Мы

получили

линейное

однородное

дифференциальное

уравнение

второго

порядка

постоянными

коэффициентами относительно функции y (x) :

(a b)y (bc ad)y 0 .

Если решить это линейное уравнение 2-го порядка с постоянными

коэффициентами и определить функцию	y (x) , то функцию	y	(x)	легко
	1	2

найти из первого уравнения исходной системы.

Мы знаем, что решение линейного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами представляет собой линейную комбинацию частных решений, которые строятся с помощью корней характеристического уравнения. Поэтому общее решение заданной системы из двух уравнений с двумя неизвестными функциями, не приводя ее к решению линейного

уравнения второго порядка,						будем искать в виде линейной комбинации
функций вида e	kx		. Представим искомые функции, дающие частное решение

системы, в виде		y (x) Le		kx	, y (x) Me				kx	. Подставим эти функции в систему

			1			2
и сократим оба уравнения на						e	kx	. Мы получим алгебраическую систему из

двух уравнений

  

L(a k) Mb 0, Lc M (d k) 0,

относительно неизвестных констант	L и M . Как известно из курса алгебры,
однородная линейная алгебраическая система имеет только нулевые
решения, если главный определитель системы отличен от нуля.
Следовательно, чтобы получить	нетривиальные решения, мы должны

приравнять определитель этой системы нулю. Таким образом, число	k
должно быть корнем уравнения

		(a k)	b		0 ,
		(a k)	b
		c	d k
называемого характеристическим уравнением системы
	y ay (x) by			(x),
	y ay (x) by			(x),
	1	1	2

y cy (x) dy				(x).
	2	1	2

Нетрудно заметить, что число k				является собственным числом матрицы
a	b	, а искомые константы	L и	M являются компонентами собственного
		, а искомые константы	L и	M являются компонентами собственного
c	d

вектора, соответствующего собственному числу k .

П р и м е р. Решить систему

	y 2y		y ,
	y 2y		y ,
	1	1	2

y 3y 4y .
	2	1	2

Решим характеристическое

уравнение

2 k

Оно

имеет

два

4 k

различных корня: k 1, k 5 .

При

k 1 мы имеем следующую связь между

L и

M :

L M 0 . Значит,

соответствующее

частное

решение системы

–

функции

y (x) e

При

k 5

получим:

3L M 0

. Значит, второе частное решение системы –

функции y (x) e5x ,

y (x) 3e5x .

Взяв

линейную

комбинацию

частных решений

произвольными

коэффициентами

и C , мы получим общее решение:

y (x) C e

C e

y	(x) C ex
2	1

3C2e5x

Возникает вопрос: в каком виде брать решение, если характеристическое уравнение имеет либо кратные, либо комплексные корни? Руководствуясь тем, что решение системы равносильно решению линейного однородного уравнения второго порядка, возьмем частные решения для первой функции в соответствующем виде. Так, в случае, когда мы получим единственный

корень		k	0	кратности два,				функция	y (x), дающая решение системы примет
			0						1
вид	y (x) C e				k x	C xe	k x	, а в случае, когда корнями характеристического
вид	y (x) C e				0	C xe	0	, а в случае, когда корнями характеристического
	1			1	0	2	0
	1			1		2

уравнения являются комплексные числа i , первая функция примет вид

	x	x	sin x .	Вторую	функцию	y	(x) ,
y (x) C e		cos x C e
1	1	2				2

удовлетворяющую системе, найдем из первого уравнения системы.

П р и м е р. Решить систему

	y y		3y ,
	y y		3y ,
	1	1		2
		3y y .
y		3y y .
	2		1	2

Характеристическим уравнением

системы		является уравнение			1 k	3	0	. Корни характеристического
системы		является уравнение			3	1 k	0	. Корни характеристического
					3	1 k
уравнения: 1 3i . Поэтому				y (x) C ex cos3x C ex sin3x . Теперь из первого
				1	1			2
уравнения				системы				найдем
y (x) 1		( y (x) y (x)) C ex cos3x C ex sin3x .
2	3	1	1	2		1
	3

П р и м е р. Решить систему

	y 2y		y	,
	y 2y		y	,
	1	1	2
		y	4y .
y		y	4y .
	2	1		2

Характеристическим уравнением этой системы будет

2 k1

1 4 k

Корнем этого уравнения кратности два является число 3. Поэтому мы решение запишем в виде y1(x) C1e3x C2xe3x Используем первое уравнение

системы для получения y (x) y (x) 2y (x) (C				C )e3x C xe3x .
2	1	1	1	2	2

Решение однородных систем дифференциальных уравнений первого порядка с числом искомых функций, большим двух, будем искать подобным образом.

Общее решение будем искать в виде линейной комбинации y (x) Le

(x) Me

….,

yn (x) Pe

где

–

собственное значение

a ...

матрицы

, в том

случае,

когда

– простой корень

.. ...

...

характеристического уравнения, а	(L, M ,..., P)	–	соответствующий	k
собственный вектор. В случае, когда корень		k	характеристического

уравнения имеет большую кратность или является комплексным, вид соответствующего частного решения системы изменится аналогично частному решению линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

П р и м е р. Решить систему

Характеристическое

3 k	4	2
3 k	4	2
1	k	1	(1 k)(k
6	6	5 k

y 3y 4y				2y	,
	1	1	2	3
		y y y ,
		y y y ,
		2	1	3
	y	6y	6y	5y .
	3	1	2	3
		уравнение			имеет	вид
1)(k 2) , и следовательно, корни – это -1, 1 и 2.

Собственному числу -1 соответствует следующая связь между

коэффициентами собственного вектора:

 

2L 4M 2P 0, L M P 0.

Поэтому	частное		решение, соответствующее корню -1,		имеет вид:
y (x) e x ,		y (x) 0 ,		y (x) e x .
1		2		3

Собственному числу 1 соответствует

4L
коэффициентами собственного вектора:	L

следующая связь между

4M 2P 0,

M P 0.

Поэтому частное решение, соответствующее корню 1, имеет вид:		y (
		1
y (x) ex ,	y (x) 0.
2	3

Собственному числу 2 соответствует следующая связь

x) e	x	,

между

коэффициентами собственного вектора:

 

5L 4M 2P 0, L 2M P 0.

Поэтому частное решение, соответствующее корню 2,

(x) e

y (x) 2e

итоге

общим

решением

системы будет

(x) C e

C e

y (x) C e

2C e

имеет вид:	y (x) 0	,
	1

y1(x) C1e x C2ex ,

Неоднородные системы. В случае неоднородной системы в правой части каждого из уравнений системы появляется произвольная функция:

y a

y (x) a

(x) ... a

(x) f

(x),

y (x) a

(x) ... a

(x) f

(x),

y a

....................

y (x) a

(x) ... a

(x) f

y a

(x).

Очевидно, что для получения общего решения неоднородной системы достаточно найти частное решение неоднородной системы и сложить его с общим решением соответствующей однородной системы. Мы будем искать решение неоднородной системы методом вариации произвольной постоянной на примере системы из двух уравнений с двумя неизвестными функциями.

Пусть нам нужно решить систему

	y ay (x) by			(x) f		(x),
	y ay (x) by			(x) f	1	(x),
	1	1	2		1
				(x) f
y cy (x) dy				(x) f	2		(x).
	2	1	2		2

Общим решением соответствующей однородной системы являются функции

y (x) C yˆ (x) C yˆ (x),						y (x) D yˆ (x) D yˆ (x) , причем					D	j	линейно
1	1	1	2	2		2	1	1	2	2

выражаются через C j ,					j 1,2. Заметим, что справедливы соотношения

								(x) C yˆ (x)) b(D yˆ (x) D yˆ (x)),
C yˆ C yˆ a(C yˆ								(x) C yˆ (x)) b(D yˆ (x) D yˆ (x)),
	1	1	2	2	1		1			1		1		1	1		1	1
	1	1	2	2	1		1			1		1		1	1		1	1
								(x) C yˆ				(x)) d (D yˆ (x) D yˆ
D yˆ D yˆ c(C yˆ								(x) C yˆ				(x)) d (D yˆ (x) D yˆ							(x)).
	1	1	1	1	1	1				1	1			1	1		1	1
	1		1		1					1				1			1
Ищем решение неоднородной системы в виде
					ˆ				ˆ				y			ˆ				ˆ		(x) . Подставим
y (x) C (x)y (x) C									(x)y (x),				y	(x) D (x)y (x) D (x) y								(x) . Подставим
	1		1		1			2		2			2		1	1			2		2

эти функцию в неоднородную систему и воспользуемся предыдущей системой, тогда получим систему

C yˆ

(x),

D yˆ

(x),

в которой

Dj линейно выражены через

C j (x)

j 1,2

. Таким образом, мы

получаем

линейную систему

относительно

(x) ,

j 1,2. Восстановив

функции

C j (x) ,

j 1,2, с

точностью

до

произвольных слагаемых, мы

получим требуемое решение.

П р и м е р. Решить систему

y 5y (x) 3y (x) 2e3x ,
	1	1	2
		y1(x) y2	(x) 5e	x	.
	y2	y1(x) y2	(x) 5e		.

Решим характеристическое уравнение

5 k	3	0	. Корнями этого уравнения
5 k	3
1	1 k
1	1 k

для однородной системы:

являются числа k1 2,k2 4 .

Поэтому	за	общее	решение однородной			системы можно взять функции
y (x) C e2x 3C e4x , y (x) C e2x C e4x
1	1	2	2	1	2
Теперь общее решение неоднородной системы возьмем в виде
y (x) C (x)e2x 3C (x)e4x,				y (x) C (x)e2x C (x)e4x . Для определения
1	1		2	2	1	2
функций C		(x) , j 1,2, решим систему
	j

C (x)e2x 3C (x)e4x 2e3x ,
	1	2	(x)e4x 5e x.
	C (x)e2x C		(x)e4x 5e x.
	1	2

Получим	C (x) ex 15 e 3x ,			C (x) e x 5 e 5x .		В итоге получим общее
	1	2		2	2
		2			2
решение				неоднородной			системы:
y (x) 4e3x e x C e2x			3C e4x , y (x) 2e3x 2e x C e2x C e4x .
1		1	2	2		1	2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.202570.66 Кб0istoria_zad_otv.doc
#
03.08.2019189.95 Кб14Istoria_zarubezhnoy_literatury_18_veka.doc
#
01.03.202593.11 Кб0Istorii_tamozhennogo_dela_i_tamozhennoy_politik...docx
#
10.02.2015587.33 Кб41istoriya_i_filosofiya_nauki.pdf
#
01.04.202529.52 Кб1ISTORIYa_PEDAGOGIKI_OZO_PSIKh_OBRAZOV.docx
#
10.02.20153.31 Mб21ITIS0.pdf
#
22.04.2019744.45 Кб11itogovaya_baza_testov_po_GMU.doc
#
01.04.2025123.9 Кб0itog_test.doc
#
14.08.20194.53 Mб34ivashkevich_v_b_buhgalterskiy_upravlencheskiy_u...doc
#
22.08.201979.36 Кб6IVF_-_KK_-_Glava_III_-_UDEL_N_J_PERIOD_ROSSIJSK...doc
#
22.08.2019115.2 Кб3IVF_-_KK_-_Glava_IV_-_MOSKOVSKIJ_PERIOD_ROSSIJS...doc