Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ITIS0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

3.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

линейным однородным уравнением: y a(x)y . Это уравнение уравнением с разделяющимися переменными и имеет решение y C

является


e	a(x)dx	.
e		.

Теперь мы будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде

y C(x) e

a(x)dx

Найдем

неизвестный множитель C(x) , подставив

y в

указанном

виде

заданное

уравнение.

Мы

получим

C (x) e

a(x)dx

C(x) a(x)e

a(x)dx

C(x) a(x)e

a(x)dx

b(x) .

После

взаимного

уничтожения

одинаковых

слагаемых

в левой и

правой

частях

придем к

соотношению

C (x) e

a(x)dx

b(x) . Отсюда

мы

найдем

C (x) ,

затем

C(x)

с точностью

до

произвольного

постоянного

слагаемого.

П р и м е р. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина

постоянная, равная 3a2 .

Решение. Высота трапеции равна абсциссе точки основание трапеции отличается от меньшего, равного

касания

x . Большее

y , на величину x y .

Выражая площадь трапеции, получим		соотношение			2y xy			x 3a	2	, откуда
						2

выведем линейное уравнение	y 2 y 6a2 .			Найдем			сначала		решение
	x	x2
соответствующего однородного уравнения y			2	y . Это		y(x) C x			2	. Теперь

			x

подставим выражение y(x) C(x) x2		в линейное неоднородное уравнение.

Мы получим соотношение

подставить выражение			C(
решение y(x)	2a2	Cx2 .
	x

C ( x)

x) x	2	6a		2
		6a			, откуда

		x	2
			2

в представление						y(x)

C(x) 2ax2 C . Осталось

. В результате получим

Уравнение Бернулли

К решению линейного уравнения сводится решение уравнения Бернулли

y a(x)y b(x)y	n	, где	n 1	. Действительно, если разделить обе части

уравнения на	y	n	, то становится очевидной необходимость замены					1	z .

							y	n 1


Действительно,			уравнение принимает		вид z a(x)(1 n)z b(x)(1 n) и
оказывается	линейным			уравнением.	Решив его и найдя	z(x) ,			мы
возвращаемся к функции				y(x) в соответствии с приведенной формулой.

П р и м е р. Решить уравнение xy 2y x5 y3ex 0. Введем новую функцию

1
z(x) y2 (x)	. Тогда исходное уравнение сводится к линейному уравнению

Решая соответствующее однородное уравнение, получим

z Cx

следовательно,

решение

неоднородного

линейного

уравнения

следует

искать

в виде

z C(x) x

. Подставив

в уравнение,

получим

C (x) 2ex или C(x) 2ex C . В итоге, восстановив

z(x) и перейдя к y(x) ,

получим

y2 (x)

2x4ex Cx4

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное

уравнение

y (x) f (x, y(x))

начальным

условием

y(x

) y , причем

функция

f (x, y)

определена

некоторой

области, содержащей точку (x

, y

) , и удовлетворяет в этой области условию

Липшица

по

переменной

y :

f (x, y ) f (x, y

) | M | y y

Тогда на

некотором отрезке	\| x x	\| d	существует единственное решение исходного
	0

уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

Доказательство. Заданное дифференциальное уравнение

условием равносильно интегральному уравнению	y(x) y
	0

с		начальным
	x
		f (t, y(t))dt .
		f (t, y(t))dt .
	x
	0

Предложим построить решение интегрального уравнения методом итераций:

пусть

y (x) y

f (t, y

)dt ,

y (x) y

f (t, y (t))dt ,…..,

yn (x) y0

f (t, yn 1(t))dt ,….

Предложенный

процесс

итераций

бесконечен. Покажем, что получаемая последовательность функций

yn (x),

n N ,

сходится

на некотором

отрезке

(x) yn (x)

f (t, yn (t)) f (t, y

(t))

dt .

n 1

\| x x		\| d . Рассмотрим
0
В	соответствии		с

интегральными			неравенствами					и
\| y	(x) y (x) \| \| x x				\| max		f (t, y	(t))
n 1	n			0	\|t x \| \|x x \|		n
					0	0
\| x x \| M		max		y	(t) y	(t) .
	0	\|t x \| \|x x \|		n	n 1
		0	0
Выберем положительное число						d	так, чтобы

условием

f (x, y	n 1	(t))
	n 1

d M q 1.

Липшица

Тогда

max

| y

(x) y

(x)| q max

| y

(x) y

(x)| ... qn

max

| y (x) y

|x x

| d

n 1

|x x | d

n 1

|x x | d

Пользуясь свойством модуля суммы, получим

max

| y

(x) y

(x) | max | y

(x) y

n k 1

(x) ... y

(x) |

|x x | d

n k

|x x | d

n k

n k 1

max

| y

(x) y

(x) | max

| y

(x) y

(x) | ...

|x x

| d

n k

n k 1

|x x

| d

n k 1

n k 2

max

| y

(x) y (x) | (qn k 1

... qn )

max

| y (x) y

|x x

| d

n 1

|x x

| d

| y (x) y

max

1 q

|x x

| d

Вследствие того, что

, значение

q	n			\| y (x) y
q		max				\|
1 q		max				\|
		\|x x	\| d	1	0
		0

можно сделать

сколь угодно малым при достаточно большом значении n .	Следовательно,
при любом значении x, \| x x0 \| d, последовательность	yn (x), n N ,

удовлетворяет критерию Коши сходимости числовой последовательности, и

значит,	имеет		предел.	Следовательно,	существует
lim yn (x) y(x),		\| x x	\| d .
n		0

Единственность итерационного решения доказывается подобным способом: предположим, что существуют два решения исходного дифференциального уравнения (они же – решения приведенного интегрального уравнения) y(x)

и y(x) . Следовательно,

x
y(x) y(x)
y(x) y(x)
x
0

f (t, y(t))

(t, y(t)) dt

Отсюда

согласно условию Липшица

max \| y(x) y(x)\| q max \| y(x) y(
\|x x0\| d	\|x x0\| d

возможно только в том случае, когда

ивыбору

x)|. Последнее

max		\| y(x) y(
\|x x	\| d
0

числа	d	получим
в силу того,		что q 1,
x)\| 0 , что и доказывает

единственность решения на выбранном отрезке.

Применение пакета программ MAXIMA для решения дифференциального уравнения первого порядка и задачи Коши

Для решения дифференциальных уравнений и задач Коши удобно применять пакет математических программ MAXIMA.

Рассмотрим следующую задачу Коши. Найти решение дифференциального

уравнения (1 e	x	)y ye	x	, удовлетворяющее условию	y(0) 2 .

Аналитическое решение. Представим производную в уравнении в виде

отношения дифференциалов и разделим переменные:

. Интегрируя

1 e

обе части,

получим

ln y ln(1 ex ) lnC

или

y C(ex 1) .

Подставляя в

полученное

решение

уравнения значения

x 0

y 2

получим

C 1.

Поэтому решением поставленной задачи Коши является

y (e

1) .

Решим задачу Коши, рассмотренную в предыдущем примере, с помощью компьютера. Для этого введем в память компьютера дифференциальное уравнение: (1+%e^x)*‘diff(y,x)=y*%e^x и нажмем Shift+Enter. На следующей строчке появится введенное уравнение. Заметим, что перед командой diff(y,x) обязательно должен стоять апостроф ‘, иначе компьютер продифференцирует y по x и выдаст 0.

Теперь для того, чтобы решить введенное дифференциальное уравнение (не выше второго порядка), посмотрим, под каким номером (например, (%o1)) запомнил компьютер введенное уравнение, этот номер стоит перед дифференциальным уравнением, выведенным компьютером на экран. Компьютер решит дифференциальное уравнение по команде ode2(%o1,y,x) и Shift+Enter и выведет на экран y=%c*(%e^x+1). Решение уравнения получено. Роль C в компьютерной записи выполняет %c. Теперь используем начальное условие. Для этого посмотрим номер, под которым компьютер вывел на экран решение уравнения (например, %o2). Введем команду ic1(%o2,x=0,y=2) и нажмем Shift+Enter. Мы получим решение задачи Коши y=%e^x+1.

Понижение порядка дифференциального уравнения

До сих порядка. которые

порядка. решения

пор мы решали только дифференциальные уравнения первого Существуют дифференциальные уравнения высших порядков, сводятся к решению дифференциальных уравнений первого

Простейший пример:	y e	2x	. Очевидно, что для получения

y(x) достаточно дважды проинтегрировать правую часть. Заметим,

что при первом интегрировании мы получаем постоянную интегрирования

y	1	e	2x	C	. При втором интегрирование мы снова получаем постоянную


	2			1

интегрирования – уже другую:	y	1	e	2x	C x C		. Таким образом, решение
				2x

		4			1	2
		4

дифференциального второго порядка содержит уже две произвольные

постоянные. Очевидно,	что решая подобное простейшее уравнение n -го
порядка, мы получим n	произвольных постоянных. Следовательно, что для

получения частного решения дифференциального уравнения	n -го порядка
следует задавать n дополнительных условий.

1.Уравнение вида F(x, y , y ) 0. В этом случае следует взять за неизвестную функцию z(x) y . Найдя z , мы определим y интегрированием.

П р и м е р. Решить уравнение x2 y y 2 . Введем функцию z y и решим уравнение с разделяющимися переменными x2 z z2 . Получив его решение

z	x	, найдем исходную функцию	y :	y(x)	x	1		ln \|1 C x \| C .
z	1 C x	, найдем исходную функцию	y :	y(x)			2	ln \|1 C x \| C .
	1 C x				C	C	2	1	2
	1				1	1
						1

Для выделения из множества решений единственного решения можно

задать условия: y(x ) y ,

y (x ) y . Например,

y(1) 0,

y (1) 2 .

Из

последнего

условия

мы

получим

то

есть

y(x) 2x 4ln |1 x / 2| C .

C 2 4ln 2.

Из

первого условия

получим

Теперь

частное

решение,

удовлетворяющее двум дополнительным условиям, имеет вид

y(x) 2(1 x) 4ln | 2 x | .

2. Уравнение

замену

z( y)

вида F(y, y , y ) 0 . В этом случае целесообразно сделать y . Заметим, что переменной во введенной функции является

не

– как в предыдущем случае, а

. Теперь

y (x)	dy	dy	dy
	dx	dy	dx

z z

Уравнение становится дифференциальным уравнением первого порядка.


Решив его, то есть, найдя		z( y) , мы получим y(x)			как решение уравнения с
разделяющимися переменными y z( y) .
П р и м е р. Решить уравнение			y y 2 2e y .	Сделаем замену		z( y) y и
запишем уравнение в	виде		z z (y) z2 2e y .		Очевидно,	что здесь
целесообразна еще одна		замена: z2 (y) p(y) .		Уравнение принимает вид

линейного уравнения первого порядка: 12 p ( y) p( y) 2e y . Решаем сначала соответствующее однородное ( p(y) Ce 2 y ), а затем ищем решение

неоднородного уравнения в виде

получим	C (y) 4e	y	, и значит,

p(y) C(y)
p(y) 4e	y

e	2 y	.

C e
	1

Подставляя в уравнение,2 y . Следовательно, для

определения функции	y(x)	мы имеем уравнения	dy	4e	y	C e	2 y	. Это
определения функции	y(x)	мы имеем уравнения		4e		C e		. Это
			dx			1
			dx

уравнения с разделяющимися уравнениями, и мы должны восстановить

				y		dy
первообразные по дифференциалам:				e		dy		dx . В результате получим
первообразные по дифференциалам:				4e	y		C	dx . В результате получим
					y

							1
решение: 4e	y	C	2x C .
решение: 4e		C	2x C .
		1	2

Для того, чтобы конкретизировать данное решение, то есть, определить

значения	C и C		, недостаточно одного начального условия при решении
	1	2

задачи Коши. В случае дифференциального уравнения второго порядка

задача Коши имеет два начальных условия: y(x ) y										и y (x ) y .
								0	0	0	1
Для		данного	примера	зададим				следующие		начальные условия:
y(0) 0, y (0) 0			. Тогда	получим			C	=-4, C 0 .	И	решение	примет вид
							1	2
e	y	1 x или	y(x) ln(1 x		2	) .
e		1 x или	y(x) ln(1 x			) .

Применение пакета программ MAXIMA для решения задачи Коши в случае дифференциального уравнения второго порядка

Команда ode2 применяется и для решения дифференциальных уравнений второго порядка. В частности, для того, чтобы решить задачу Коши в предпоследнем примере, введем сначала дифференциальное уравнение: x^2*‘diff(y,x,2)= (‘diff(y,x))^2. Записав его (например, под номером %o1),

решим его по команде ode2(%o1,y,x). В данном случае мы задаем два начальных условия, поэтому следующая команда содержит 2 вместо 1. То есть, если решение имеет номер %o2, используем начальные условия по команде ic2(%o2,x=1,y=0,’diff(y,x)=2). Решение задачи Коши будет построено.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения, имеющие вид y			(n)	a y	(n 1)		a y	(n 2)	... an y f (x) ,
Это уравнения, имеющие вид y				a y			a y		... an y f (x) ,
				1			2
где a ,a ,...,an – постоянные коэффициенты.
1	2
Однородным линейным уравнением					n	-го порядка называются уравнения
вида y(n) a y(n 1)		a y(n 2) ... a y 0 .
	1	2		n

Связь между линейным уравнением и системой линейных уравнений 1- го порядка.

Введем			новые	функции
y (x) y(x), y		(x) y (x), y	(x) y (x),..., y	(x) y(n 1)(x).
1	2	3	n

Теперь исходное линейное дифференциальное уравнение представляется в виде системы

			y	y	,
			1	2
			y	y	,
			y	y	,
			2	3
				...
				...
		f (x) a	y	a		y	... a y .
y		f (x) a	y	a		y	... a y .
	n	n	1	n 1		2	1 n

Если ввести вектор-функцию

уравнения первого порядка:

y (x),
	1
	y (x),
Y (x)	y (x),	,
Y (x)	2	,
...
	y (x)
	y (x)
	n
Y A Y F

систему легко записать в виде

		y (x),
			1
			y (x),
	Y (x)		y (x),
(x) , где			2	,
(x) , где		...		,
		...
			y (x)
			y (x)
			n

	0	1	0...
	0	0	1...
	0	0	1...
A
	...	...	...
	...	...	...
	a	a	...
	a	a	...
	n	n 1

	0
	0
	0
	...
	...
	a
	a
	1

 F(x)

0 0 ... f (x)

     

Если для вектор-функции

Y (x)

y10

задать начальное условие: Y (x0 ) Y0 y20 ,

...

yn0

для полученного векторного дифференциального уравнения первого порядка с заданным начальным условием нетрудно доказать теорему существования и единственности решения соответствующей задачи Коши. Это решение так же, как в случае обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, может быть построено с помощью итераций интегрального

уравнения

0	x
0
Y (x) Y		[A Y (t) F(t)]dt
	x
	0

в окрестности точки x0 . Здесь

интеграл от вектор-функции представляет собой новый вектор, каждая координата которого является интегралом соответствующей координаты исходной вектор-функции:

								1				x	2
								1					2
								y	0				y	(t)dt
												x
												x
y (x)												0
												0
												x
	1							y	0				y	(t)dt
	y		(x)						0
	y	2	(x)
		2						2					3
		...										x
		...										0
												...
			(x)
y			(x)
	n					x
				y0			[ a y (t) a			y		(t) ... a y			n
					n		1 1		2		2			n	n
						x
						0

Применим итерационную процедуру интегральному уравнению:

     . (t) f (t)]dt

к полученному векторному

yk 1(t)dt

(x)

k 1

(t)dt

(x)

...

(x)

...

[ a yk 1(t) a

yk 1(t) ... a

yk 1(t) f (t)]dt

1 1

следовательно,

	yk 1(x)
		1
	yk 1(x)
		2
		...
		...

	yk 1(x)
		n

Поэтому



y		(x)
y	k	(x)
1
y	k	(x)
2
2

yk
yk		(x)
n

x	1
	1
	[ a
x
0

при

	x	2	2
		2	2	1(t))dt
		( yk (t) yk		1(t))dt
	x
	x
	0
	0
	x
		3	3
		3	3
		( yk	(t) yk 1(t))dt
	x
	0
			...
			...

( yk (t) yk 1(t)) ... a					( yk (t) yk 1(t))]dt
1	1			n	n	n


					\| x x	\| d
					0

имеем

max max		\|
1 j n \|x x	\| d
0

		n
			\| a \|	max max		\|
yk 1(x) yk (x) \| d max 1,			\| a \|	max max		\|
j	j		i	1 j n \|x x	\| d
		i 1		1 j n \|x x	\| d
		i 1		0

yk j

(x)

y	k 1	(x)
	j

Выбрав число d так, что

	n
		i
		i
d max 1,		\| a

	i 1



\|

, нетрудно так же, как для

случая дифференциального уравнения 1-го порядка, доказать, что при

каждом j, 1 j n , \| x x \| d , последовательность	yk (x), k N , сходится.
0	j

Кроме того, легко доказать, что решение единственно.

Поэтому система дифференциальных уравнений первого порядка, к которой мы свели дифференциальное уравнение n-го порядка, при непрерывной

функции

f (x)

разрешима и имеет единственное решение при любых

начальных данных.

Из справедливости теоремы существования и единственности для системы дифференциальных уравнений 1-го порядка следует справедливость

теоремы существования и единственности для исходного линейного дифференциального уравнения n-го порядка: дифференциальное уравнение

y(n) a y(n 1) a y(n 2)

... a y f (x)

начальными

условиями

y(x

) y

, y (x

) y

y (x ) y

,..., y

(n 1)

имеет

единственное

) yn

решение в окрестности точки

x .

Решение однородного уравнения.

Вследствие линейности дифференциального уравнения легко доказывается

утверждение: если

y (x)

(x)

– два

частных решение уравнения

(n)

a y

(n 1)

a y

(n 2)

... an y 0 , то y (x) y

(x) при любых

–

также решение этого уравнения.

Мы должны в виде общего решения однородного уравнения получить такую

линейную комбинацию частных решений	y(x) C y (x) ... Cn yn(x) ,
	1	1

чтобы было возможно получить решение соответствующей задачи Коши при

любом наборе начальных условий							y(x	) y	0	, y (x	0	, ..., y	(n 1)	(x	0
любом наборе начальных условий							y(x	) y		, y (x	) y	, ..., y		(x	) yn .
							0	1		0	2			0
Это означает, что система
					0
	C1 y1(x0 ) ... Cn yn(x0 ) y1					,
			...............
			...............
C y (n 1)		(x ) ... C		y (n 1)	(x ) y0
	1	0	n	n	0	n
1		0	n	n	0	n

должна быть разрешима относительно набора констант C1,...Cn при любой правой части, и значит, главный определитель системы отличен от нуля.

			y1(x)		y2 (x) ...
		W (x)	y (x)		y (x) ...
Рассмотрим	определитель		1		2
Рассмотрим	определитель		...		...	...
			...		...	...
			y (n 1)	(x)	y (n 1)	(x) ...
			1		2

называемый определителем Вронского. Именно условие
позволяет удовлетворить заданным начальным условиям в точке	x
	0

yn (x)

y (x)

n ,

...

yn(n 1) (x)

W (x0 ) 0 .

Назовем систему частных решений			y1(x), y2(x),..., yn (x) уравнения
y(n) a y(n 1)	a y(n 2)	... a y 0	линейно зависимой, если существуют
1	2	n

такие числа 1, 2,..., n , причем хотя бы одно из них отлично от нуля, что

	y (x)	2	y (x) ...	n	y	(x) 0
1	1	2	1	n	n

при всех значениях переменной x. В

противном случае систему частных решений назовем линейно независимой. Очевидно, что определитель Вронского, составленный для линейно зависимой системы частных решений, тождественно равен нулю.

Утверждение. Если решения	y (x), y		(x),..., yn (x)	линейно независимы, то
	1	2
определитель Вронского W (x) , составленный для соответствующей системы

частных решений, отличен от нуля при любых x.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть найдется точка										x
				W (x ) 0.						0
такая,			что	W (x ) 0.		Это	означает,	что	система
					0
	C y (x ) ... C			y	(x ) 0,
	1 1	0	n	n	0
			...............
			...............
		(x ) ... C		y	(n1) (x ) 0
C y (n 1)		(x ) ... C		y	(n1) (x ) 0
	1 1	0	n	n	0
		0	n	n	0

имеет нетривиальное решение C1,...,Cn . Следовательно, ненулевое решение

исходного		дифференциального				уравнения	n-го	порядка
y(x) C y (x) C y (x) ... Cn yn (x)						удовлетворяет	начальным	условиям
1	1	2	2
y(x ) 0,	y (x	) 0,..., y		(n1)	(x ) 0 .	Но при этом	существует	еще и
y(x ) 0,	y (x	) 0,..., y			(x ) 0 .	Но при этом	существует	еще и
0	0				0

тривиальное решение, удовлетворяющее тем же начальным условиям. Это противоречит теореме единственности.

Для того, чтобы получить систему линейно независимых решений, искать частное решение однородного уравнения будем в виде y(x) ekx . Подставив

y(x)			в	указанном			виде			в
(k	n	a k	n1	a k	n2	... an )e		kx	0 .
(k		a k		a k		... an )e			0 .
		1		2
сомножителя k					мы найдем,					если
степени

однородное уравнение, получим Следовательно, неизвестное значение

решим алгебраическое уравнение

n -й

kn a1kn 1 a2kn 2 ... an 0 ,

называемое характеристическим уравнением.

В соответствии с основной теоремой алгебры характеристическое уравнение имеет ровно n корней, считая все вещественные и комплексные корни с учетом их кратности.

Рассмотрим все случаи корней характеристического уравнения и определим вид частного решения так, чтобы все частные решения были

линейно-независимыми. Получив

n линейно-независимых частных решений,

мы сможем построить	общее решение	однородного уравнения
y(x) C1 y1(x) ... Cn yn(x) ,	содержащее n	произвольных постоянных и

позволяющее решать любую задачу Коши с любыми начальными данными, сводя решение этой задачи Коши к системе с ненулевым главным определителем

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.08.2019189.95 Кб13Istoria_zarubezhnoy_literatury_18_veka.doc
#
01.03.202593.11 Кб0Istorii_tamozhennogo_dela_i_tamozhennoy_politik...docx
#
01.04.2025372.37 Кб0Istorija_tamozhennogo_dela_i_tamozhennoj_politi...docx
#
10.02.2015587.33 Кб39istoriya_i_filosofiya_nauki.pdf
#
01.04.202529.52 Кб1ISTORIYa_PEDAGOGIKI_OZO_PSIKh_OBRAZOV.docx
#
10.02.20153.31 Mб21ITIS0.pdf
#
22.04.2019744.45 Кб11itogovaya_baza_testov_po_GMU.doc
#
01.04.2025123.9 Кб0itog_test.doc
#
14.08.20194.53 Mб33ivashkevich_v_b_buhgalterskiy_upravlencheskiy_u...doc
#
22.08.201979.36 Кб5IVF_-_KK_-_Glava_III_-_UDEL_N_J_PERIOD_ROSSIJSK...doc
#
22.08.2019115.2 Кб3IVF_-_KK_-_Glava_IV_-_MOSKOVSKIJ_PERIOD_ROSSIJS...doc