ITIS0

функции. Если брать частную сумму с большим количеством членов, то график частной суммы будет теснее приближаться к исходной функции во

будет тем же из-за разрыва исходной функции при периодическом продолжении.

то ряд Фурье, построенный для этой функции, автоматически продолжает

следует применить разложение в ряд Фурье по косинусам или по синусам,

соответственно.

Разложим функцию в ряд по косинусам с помощью MAXIM-ы. Для этого применим команду load(fourie); fourcos (x, x, %pi). Мы получим

sum((2*(cos(%pi*n)/n^2-1/n^2))/%pi*cos(n*x),n,1,10),[x,-%pi,%pi]).

4

fun1 x

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

x

Здесь синяя линия – ряд Фурье по косинусам, красная – исходная функция.

Разложим функцию в ряд по синусам по команде load(fourie);

что частные суммы соответствующего ряда сходятся медленнее, чем частные

Здесь синяя линия – ряд Фурье по синусам, красная – исходная функция.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальным уравнением называется соотношение вида

определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. То есть решение простейшего дифференциального уравнения содержит произвольную постоянную. Решения более сложных дифференциальных уравнений также находятся с точностью до произвольных постоянных. Конкретная функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется частным решением дифференциального уравнения. Множество всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения содержит все произвольные константы, получающиеся вследствие интегрирования.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком входящих в него производных. Поэтому дифференциальное

уравнением n -го порядка.

Так же, как не любая функция может быть проинтегрирована, и представлена в виде элементарных функций, так и не любое дифференциальное уравнение имеет решение, выражающееся через элементарные функции. Класс дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах, узок. Мы изучим несколько классов дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах, а также рассмотрим некоторые приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Кроме того, мы рассмотрим некоторые задачи, связанные с применением дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

П р и м е р. В соответствии с законом радиоактивного распада вещества скорость распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества.

получим ln m t lnC . Здесь произвольное постоянное слагаемое мы представили в виде логарифма положительной постоянной величины для

Проанализируем полученное решение. Оно содержит постоянные (эта постоянная зависит от вида радиоактивного вещества – стронций, радий, уран….) и С – постоянную интегрирования. Предположим, что мы

Как выбрать единственное? В данном случае, чтобы узнать, какое количество радиоактивного вещества останется по прошествии определенного времени, необходимо знать, сколько его было в начальный

конкретные задачи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями, необходимо не только само уравнение, но и дополнительные данные, количество которых определяется порядком дифференциального уравнения. Для решения задачи, поставленной для дифференциального уравнения первого порядка, необходимо задать начальное условие y(t0 ) y0 . Уравнение вкупе с начальным условием называется задачей

Коши.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

П р и м е р. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. Выбрать среди кривых ту, которая проходит через точку (2,1).

и возвращаясь к старой функции по формуле y(x) xp(x) , получим

y C(x2 y2 ) . Семейство кривых мы построили. Теперь нужно выбрать ту кривую, которая проходит через точку (2,1). Подставляя координаты точки в

Пример анализа решений дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Это пример связан с применением дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными в экологии.

Логистическая кривая.

Рассмотрим уравнение роста популяции за счет размножения. Пусть какая-то популяция, например, популяция рыб, запущенных в пруд, растет вследствие хороших условий из-за естественного прироста количества особей. Первое время, пока рыб немного, скорость прироста пропорциональна количеству

размножения рыб. Однако бесконечно количество особей увеличиваться не может вследствие ограниченности водоема, количества кислорода в нем и корма. При определенном количестве рыб начинаются болезни, кислородное голодание, и увеличивается смертность. Поэтому коэффициент k является не

Заменим дифференциальное уравнение роста популяции дифференциальным

к значению k / a с ростом t .

Квоты отлова.

Продолжая тему исследования популяции рыб в водоеме, предположим, что во избежание вымирания лишних рыб следует отрегулировать регулярный отлов части рыбы. Предположим, что скорость отлова задана и равна b . Тогда дифференциальное уравнение примет вид y (k a y) y b .

зависит от дискриминанта квадратного трехчлена в знаменателе.

того, сколько ее запустить вначале.

На соответствующем графике (в так называемой фазовой плоскости) прямые

голубым цветом.

Уравнение в полных дифференциалах и приводимое к нему

и эти функции непрерывны. Это означает, что существует такая функция

Иногда удается найти для произвольного дифференциального уравнения

части уравнения на эту функцию, мы превращаем его в уравнение в полных дифференциалах, так как ( M )y ( N)x . Такой сомножитель называется

интегрирующим множителем.

П р и м е р. Решить уравнение (x2 y2 x)dx ydy 0. Сгруппируем члены уравнения следующим образом: (x2 y2 )dx (xdx ydy) 0. Мы видим, что вторая скобка представляет собой d(x2 y2 )/ 2 . Разделим обе части

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Так называется дифференциальное уравнение вида y a(x)y b(x) . Здесь

сама функция и ее производная связаны линейно. Решать уравнение будем методом вариации произвольной постоянной. Для этого сначала решим соответствующее уравнение с нулевым свободным членом, называемое