Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5275 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Казанский федеральный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

ITIS0

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
3.31 Mб
Скачать
☆

суммах, такой предел называют интегралом Римана соответствующей кратности по заданной области.

Вычисляют кратный интеграл Римана, сводя его к последовательности вычислений интегралов Римана по отрезку.

П р и м е р. Вычислить

(x D

y)dxdy

, где область

D

– прямоугольник

[1,3] [ 2, 7]

. Перейдем от двойного интеграла к повторному, расставив

пределы интегрирования по отрезкам в соответствии с изменением координат в прямоугольнике. При этом выбор последовательности интегралов не имеет значения:

 

 

3

7

3

7

 

3

y

2

 

7

 

 

 

 

(x y)dxdy dx

(x y)dy

 

 

 

 

 

)

dx

 

(x y)dy dx (xy

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

D

 

1

1

 

1

 

 

 

3

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9x

)dx 81.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Числовые ряды

Понятие предела последовательности дает возможность ввести понятие

числового ряда – бесконечной суммы вида

ak k 1

, где

ak

– общий член

ряда. На первый взгляд бесконечное суммирование невозможно уже хотя бы в силу конечности жизни любого, кто занимается суммированием. Выход из положения следующий: бесконечная сумма

понимается как

предел последовательности

sn

–

конечных

n ных

 

 

 

n

 

 

 

 

 

частных сумм

s

a

 

 

ряда

 

a

n

 

k . Таким образом, суммой

k будем

 

 

 

k 1

 

 

 

k 1

 

называть число

 

n

s lim

k

a

n

k 1

 

.

Ряд называется сходящимся, если для него существует конечная сумма. Ряд называется расходящимся, если соответствующий предел частных сумм не существует или бесконечен.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р 1.

Сосчитаем сумму ряда

 

q

,

| q | 1

. Имеем согласно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формуле

суммы геометрической прогрессии

n

k

 

qn 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sn q

 

q

q 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при n , получим

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

q

n

 

 

k

=

 

 

 

.

 

 

 

 

0

 

1 q

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что при

| q | 1 соответствующий ряд расходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р 2.

Сосчитаем сумму ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

s

 

 

1

 

1

 

...

 

1

 

2 1

 

3 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1 2

 

2 3

 

 

n(n 1)

 

 

1 2

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

1

...

1

 

1

 

1

 

1

 

 

,

2

2

3

n

n 1

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно,

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k(k

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

1 (k

...

1)

. Имеем

 

 

n 1 n

n(n 1)

 

 

Необходимым

 

признаком

сходимости

числового

ряда

является

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условие:

 

n

0

. Доказывается это легко: пусть ряд k сходится, то

 

lim a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

есть существует

lim s

s .

При

n справедливо:

n 1 .

 

 

 

 

 

n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

lim s

s .

Поскольку

s

s

 

a

из 1-го и 2-го

n

n 1

 

n , то

 

 

 

n n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

свойств пределов

 

последовательностей имеем:

lim an lim(sn sn 1) 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

что и требовалось доказать.

Заметим, что необходимое условие сходимости не является достаточным. То есть, стремление к нулю общего члена ряда не обеспечивает его сходимость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

К

о

н т р п р

и

м е р.

Покажем,

что

ряд

 

,

называемый

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гармоническим

рядом,

расходится.

Для

этого

 

рассмотрим

последовательность

частных

сумм

s2n ,

то

есть частные суммы

s

, s

, s ,.... . При

 

суммировании

членов

конечной

суммы

s

n

2

4

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

сгруппируем рядом стоящие члены суммы, начиная от

 

1

до

1

,

l

1

l 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

при всех l 1,...,n 1:

s n

1

1

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

1

1

2

2

 

 

 

 

Таким образом,

(

1

 

1

) (

1

...

3

4

5

 

 

 

 

1 4 1 ... 2n 1 4 8

lim s2n , и n

1

)

... (

 

 

1

 

...

1

)

8

2

n 1

1

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1 n

1

.

 

 

 

 

 

2

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значит, предел последовательности

частных сумм не может быть конечным.

Свойства числовых рядов

Следующие свойства сходящихся рядов очевидным образом следуют из свойств пределов последовательностей.

1. Пусть ряды

 

 

Тогда ряд

(

 

k 1

 

 

 

k

 

a

k 1

 

a

 

k

 

 

 

 

 

 

 

и

 

b

сходятся,

причем

 

k

 

 

k 1

 

 

 

b )

также сходится, причем

k

 

 

 

 

 

 

 

 

( a

b ) s

.

 

k

k

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

k

s,

k

 

a

b

.

k 1

 

k 1

 

2. Ряды

причем

 

 

k

a

 

k 1

 

 

 

a

 

k N

 

k 1

 

и

ak k 1

ak N k 1

sN .

сходятся или расходятся одновременно,

Ряды с положительными членами

 

 

Л е м м а. Ряд с положительными членами

 

 

k 1

тогда, когда все его частные суммы ограничены.

ak

сходится тогда и только

Доказательство следует

из того факта, что частные суммы рядов

с

 

n

 

 

положительными членами

sn ak монотонно возрастают с ростом

n ,

и

 

k 1

 

 

значит, имеют предел тогда и только тогда, когда они ограничены сверху.

Теорема сравнения 1.

следует сходимость ряда

 

 

расходимость ряда

b

k .

 

k 1

Пусть

ak k 1

0

ak

ииз

b

. Тогда из сходимости

k

 

 

 

 

 

расходимости ряда

 

 

 

k 1

 

 

 

ряда

b

k

 

 

k 1

a

следует

k

Доказательство. Обозначая следует из доказанной леммы.

n

n

 

k

 

a

s

,

k 1

 

 

n bk k 1

 

n

,

 

 

имеем:

sn

n

. Остальное

Теорема сравнения 2.

 

a

K( 0)

 

lim

n

. Тогда ряды

n b

 

 

 

n

 

 

одновременно.

Пусть

ak k 1

ak

и

0,

b

 

k

 

 

k

 

b

k 1

 

0,

причем

сходятся или

существует

расходятся

Доказательство. Из определения предела при

 

K

найдем

N

такое, что

2

 

 

 

 

 

 

a

K |

K

 

n N . Следовательно,

an

3

K bn ,

bn

2

an

 

|

n

 

при любом

 

 

при

b

2

2

K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

и

b

 

 

 

 

n N . Согласно теореме сравнения 1 ряды k N

k N сходятся или

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

k 1

 

 

 

 

расходятся одновременно. Согласно свойству 2 сходящихся рядов теорема доказана.

 

 

3k

7

8

 

 

 

П р и м е р. Числовой ряд

 

 

 

сходится, так как его можно

10k

9

6k

3

4

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

сравнить со сходящимся

рядом

 

 

 

 

 

 

, рассмотренным выше.

 

 

k(k 1)

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно, существует

 

(3n

7

8)n(n 1)

lim

 

 

 

9

3

4)

 

 

 

n (10n

6n

 

3

10

 

, и можно применить

теорему сравнения 2.

Два следующих достаточных условия сходимости числовых рядов с положительными членами, называются признаками сходимости.

 

 

a

 

Признак Даламбера. Пусть существует

lim

n 1

a

 

n

 

 

 

n

 

ak сходится, если p 1, то этот ряд расходится.

k 1

p

. Если

p 1, то ряд

Доказательство. 1) Пусть

p 1. Выберем 0

такое, что

p 1

и найдем

номер N N( )

 

 

 

 

a

p |

для n N( ) . Это значит,

 

 

такой, что |

n 1

что

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

p 1

 

 

 

 

 

 

n N .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

для

 

 

 

 

Следовательно,

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

( p )a

,

a

 

( p )a

 

( p )2 a

,...,

a

( p )k a

,....

N 2

 

N 1

 

N 3

 

N 2

 

N 1

N k 1

 

 

 

 

N 1

 

Это

значит,

что

знакоположительный

ряд

a

a

..... a

 

....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N 2

N 3

 

 

 

N k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится по

теореме

сравнения 1,

так

как сходится ряд

 

a

 

 

( p )

k

N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

(сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем

p 1).

Согласно второму свойству числовых рядов исходный ряд также сходится.

 

2) Пусть p 1. Выберем 0

такое, что

p 1

и найдем номер

N N( )

 

 

 

a

такой, что

|

n 1

a

 

 

 

 

 

 

n

n N .

 

 

a

( p )a

N 2

 

 

N

p |

1

, a

N 3

 

n N( ) . Это значит, что

a

 

p 1

 

для

n 1

для

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

( p )a

( p )2 a

,..., a

N k 1

( p )k a

,....

 

N 2

N 1

 

N 1

Это значит, что знакоположительный ряд aN 2 aN 3

..... aN k ....

 

 

 

 

 

 

 

расходится по теореме сравнения 1, так как расходится ряд

 

a

 

 

( p )

k

N 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

(сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем

p 1).

Согласно второму свойству числовых рядов исходный ряд также расходится.

П р и м е р. Исследуем сходимость ряда

 

1000

n

 

 

n!

 

n 1

 

 

 

. Здесь

 

 

n

 

 

n 1

a

 

1000

, a

 

1000

n!

(n 1)!

n

 

n 1

 

 

 

 

 

 

. Так как

lim

an 1

lim 1000

0 , данный ряд

a

 

n

n n 1

 

 

 

n

 

 

сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Признак Коши.

Пусть

существует

lim

n

an p .

Если

p 1,

то

ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k сходится, если p 1, то этот ряд расходится.

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. 1)Пусть

p 1. Возьмем

(1 p)/ 2

и найдем

N такое, что

| n a p| при

n N . Следовательно,

n a p p 1

и

an

p1

 

n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при n N . Согласно теореме сравнения

1 ряд ak N сходится, так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

сходится ряд p1k . Следовательно, и исходный ряд сходится.

k 1

2) Пусть

p

1

. Возьмем

( p 1) / 2

и найдем

N

такое, что

| n a

p|

n

 

при

n N

. Следовательно,

n a

p p 1

n

2

и

a

p

n

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

при n N . Согласно теореме сравнения 1 ряд

a

расходится, так как

k N

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

p

 

 

 

 

расходится ряд

 

k

. Следовательно, и исходный ряд расходится.

 

2

 

 

k 1

 

 

 

 

 

П р

 

и м е

р. Исследуем сходимость ряда

lim

n

an lim

n n2

 

1

, данный ряд сходится.

 

1

2

n

 

n

2

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

n 1 (2

)

n

 

 

 

 

 

. Так как

Следующий признак основан на сравнении ряда и несобственного интеграла, подынтегральная функция которого при натуральных значениях аргумента превращается в члены ряда.

Интегральный признак. Пусть члены ряда ak монотонно убывают с

k 1

ростом n .

Если

монотонная

функция

f (x)

такова,

что

f (n) an ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходимость

или

расходимость

ряда

 

a

 

сходимости

или

k равносильна

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расходимости несобственного интеграла

 

f (x)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Доказательство. Сравним частные суммы ряда с интегралом от функции f (x) по соответствующему отрезку. Для этого рассмотрим график функции

y f (x),

x

0

, и отметим натуральные значения переменной и значения

функции при этих натуральных значениях переменной.

Закрашенная часть рисунка представляет собой область с площадью, равной

n 1

 

n 1

 

 

 

 

f (k) 1

a

S

n 1

a .

 

k

 

1

k 2

 

k 2

 

 

 

Закрасим теперь рисунок по-другому:

Теперь закрашенная часть рисунка представляет собой область с площадью, равной

n

 

n

 

n

 

 

f (k)1

k

S

.

 

a

 

k 1

 

k 1

 

 

 

Легко заметить, что благодаря монотонности функции

f (x)

справедливо

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

неравенство:

S

n 1

a

 

f (x)dx Sn . Следовательно,

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

интеграл

 

f (x)dx

сходится, то при n N

интегралы

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

и значит, ограничены частные суммы исходного ряда:

 

M

 

[M ] 1

[M ]

 

 

 

f (x)dx

 

S .

наоборот,

 

 

f (x)dx S

 

1

 

1

 

 

если несобственный

f (x)dx

ограничены,

 

n

 

1

 

 

 

 

 

Sn

 

f (x)dx a

. И

 

1

 

 

 

Данный признак дает

возможность сделать вывод

о сходимости или

 

 

1

 

 

расходимости ряда вида

 

, при том, что два предыдущих признака не

 

 

k 1

k

 

 

 

 

p 1. Вспомним, что

позволяют это сделать, так как в обоих случаях здесь

несобственный

Поэтомуряд

k 1

 

 

 

x

сходится при 1 и расходится при

интеграл

dx

 

 

 

1

 

1

сходится при 1 и расходится при 1.

k

 

 

 

 

 

1

.

Знакопеременные ряды

Для знакопеременных рядов приведенные признаки сходимости также можно применять, но для исследования абсолютной сходимости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема. Если ряд | c |

сходится,

то сходится и ряд

c , причем в этом

 

 

 

k 1

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

случае ряд ck называется абсолютно сходящимся.

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

Пусть

ряд

| c |

сходится,

то

есть,

сходится

 

 

 

 

 

 

 

k 1

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

последовательность частных сумм

n | c

| .

Применим Критерий Коши

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходимости последовательности частных сумм

n ,

n N

, в соответствии с

которым для 0 N N( )

такое, что для

n m N( ) справедливо:

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| n m | |

| c

 

||

 

| c | .

Однако

 

при

этом

критерий Коши

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k m 1

 

 

k

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

выполняется и

для

частных сумм

Sn c

исходного

ряда,

так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| Sn Sm | | ck

|

| ck | .

 

Следовательно,

 

последовательность

k m 1

 

 

k m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частных сумм исходного ряда имеет предел, то есть, ряд

c

сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, если

имеется

знакопеременный ряд

c

, имеет смысл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

проверить возможность применения какого-либо признака

сходимости к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряду | c | , и

если

условия

сходимости

выполняются,

исходный ряд

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ck сходится абсолютно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р. Ряд

 

k

сходится абсолютно при 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда. Пусть члены

 

положительной

 

последовательности

 

 

a

,

монотонно

убывая,

стремятся к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нулю при

k . Тогда ряд

 

( 1)

k 1

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k сходится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

Рассмотрим

последовательность четных частных

сумм

s2n a1 a2 a3 ...... a2n 1 a2n (a1 a2) (a3 a4) ... (a2n 1 a2n ) 0.

 

Очевидно, что с ростом

n

значения

 

s

возрастают. Теперь запишем эту же

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частную

 

сумму

 

в

ином

виде:

s

 

 

a (a

 

a ) ...... (a

a

) a

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

1

 

2

 

 

3

 

 

2n 2

2n 1

2n

 

Очевидно, что

s

 

 

a

. Таким образом, мы имеем монотонно возрастающую

 

 

 

 

2n

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ограниченную

сверху

 

последовательность

s

 

. По

одному

из свойств

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

последовательностей

 

 

существует

 

 

lim s

 

s .

 

Итак,

последовательность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частных сумм с четными номерами имеет предел. Что же с нечетными

 

 

частными суммами?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

 

как

 

 

s

 

 

s

a

 

 

 

 

 

и

 

lim a

 

0

,

то

существует

 

 

 

 

 

 

 

2n 1

 

 

2n

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

n

 

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim s

lim s

 

lim a

 

s

. Следовательно, существует

lim sn s .

 

n

2n 1

 

n

2n

 

n

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1)

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р. Ряд

 

 

сходится по признаку Лейбница при любом 0 .

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В предыдущем примере, опираясь на интегральный признак, мы показали,

 

что этот ряд при

1

сходится абсолютно. При

 

0 1 ряд не может

 

абсолютно сходиться. Но он сходится по признаку Лейбница.

 

 

 

Ряд, сходящийся,

но не сходящийся абсолютно, называется условно

 

 

сходящимся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функциональные ряды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть fn

(x)

 

,

 

x M , – последовательность функций, заданных на одном

 

 

 

n N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и том же множестве, причем при каждом значении

x0 M числовой ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fk (x0 )

сходится.

Тогда мы можем рассматривать функциональный ряд

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

k

(x)

на множестве

M

и исследовать свойства функции

s(x) – суммы

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ряда – на том же множестве

M .

 

В связи с вопросами сходимости функциональных рядов отметим следующий из теоремы сравнения мажорантный признак сходимости

функционального ряда: если an 0 тчо x M , n N (| fn (x)| an ) и ряд с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положительными членами

a

сходится,

то функциональный ряд

f

 

(x)

k

k

 

k 1

 

 

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

абсолютно сходится на множестве M .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin kx

 

 

 

 

П р и м е р. Функциональный ряд

 

сходится при любом значении

k

2

 

 

 

 

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

переменной x , так как мажорирующим рядом для него является сходящийся

 

1

 

ряд

.

k

2

k 1

 

 

 

 

 

 

Степенные ряды

Простейшим примером функционального ряда является степенной ряд –

 

 

 

 

 

 

 

ряд вида

c

(x a)

k

. Числа

c , k 0,1,..., называются коэффициентами

 

 

k 0

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

степенного ряда. Поскольку простой заменой переменной

x x a исходный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степенной ряд превращается в ряд

c x

k

, мы будем рассматривать только

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

степенные ряды вида c x

k

. Очевидно, что такой ряд обязательно сходится

 

 

 

 

 

k 0

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке

x 0 . Ответом на вопрос об области сходимости степенного ряда

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

Абеля.

Пусть ряд

c x

k

сходится

в точке

x x , тогда

он

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

k

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится, причем абсолютно,

 

при x,

| x | | x |.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть ряд c x

k

расходится в

точке

 

x x ,

тогда он расходится

при

 

 

 

k 0

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x, | x | | x2 |.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Так как ряд

ck x1k

сходится, то общий член этого ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

стремится к нулю, и значит, ограничен, то есть, M 0 тчо | ck x1k | M .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности