4.2.2 Определение параметров настройки регуляторов с помощью номограмм

Номограммы для ПИ-регулятора

Номограммы №1 и 2 [83] составлены для двух значений степени затухания  = 0,75 и  = 0,9. Для пользования ими необходимо располагать соответствующими (т.е. для  = 0,75 или для  = 0,9) расширенными амплитудно-фазовыми характеристиками объекта:

W(m,i) = A(m,)exp[i(m,)].

Желательно при этом, чтобы расширенная амплитудно-фазовая характеристика объекта W(m,i) была графически (или таблично) представлена расширенной фазо-частотной характеристикой (m,) в диапазоне от 80 – 90 до 170 – 180^о и соответствующим участком расширенной амплитудно-частотной характеристики А(m,).

Последовательность действий при работе с номограммой.

1. Выбираем такую постоянную величину a[^*/^*], при которой

А_max/a  1 и А_min/a  1,

где А_max, А_min – наибольшее и наименьшее соответственно значения модуля в рассматриваемом диапазоне частот от ₁ до _n; ^* – размерность регулируемой величины ; ^* – размерность возмущающего воздействия .

2. Каждому значению частоты соответствует точка в плоскости настроек регулятора (I квадрант). На рис. 29 показано нахождение точки для частоты ₂.

Рис. 29. Схема пользования номограммой

3. Соединяем найденные точки 1, 2, 3, …, n в I квадранте номограммы плавной кривой T_и/a = f(T_и).

4. Значения параметров настройки ПИ-регулятора, обеспечивающие близкие к оптимальному переходные процессы в системе регулирования, соответствуют точкам, лежащим несколько правее минимума этой кривой (точки 4, 5 на рис. 29).

Данный метод заметно экономит время и дает достаточно точные результаты при определении оптимальных параметров настройки регуляторов, но он неудобен тем, что требуется наличие номограмм.

4.2.3 Графо-аналитический метод определения параметров настройки регуляторов

В ряде случаев приходится определять оптимальную настройку ре­гулятора по расширенной амплитудно-фазовой характеристике объекта, заданной не аналитически, а в виде графика. Сущность этого способа заключается в следующем.

Выше указывалось, что при рас­чете устойчивости системы автомати­ческого регулирования исходным яв­ляется равенство

W_об(i)W_p(i) = 1 или W_об(i) = 1/W_p(i),

т.е. А_об()exp(i_об()) = exp(-i_p())/A_p().

Левая часть этого равенства со­ответствует вектору амплитудно-фазовой характеристики объекта, а правая – вектору обратной (инверсной) амплитудно-фазовой характеристики регулятора.

Эти векторы могут быть равны в том случае, если для каждого значения частоты угол опережения регуля­тора _р() будет равен углу отстава­ния _об(), а величина, обратная коэф­фициенту усиления регулятора 1/ A_p(), будет равна коэффициенту усиления объекта А_об().

На рис. 30 для примера приведены прямая (а) и обратная (б) ампли­тудно-фазовые характеристики (нор­мальная и расширенная) ПИ-регулятора. Цифрами на кривых отмечены значения T_и.

Наложим амплитудно-фазовую характеристику объекта на обрат­ную амплитудно-фазовую характеристику регулятора (рис. 31). Каж­дой точке обратной амплитудно-фазовой характеристики регулятора 1/W_p(i) в масштабе 1/ соответствует вектор, модуль которого равен 1/A_p(_), угол отставания _p(₁), а относительная частота равна (T_и)1.

К аждой точке амплитудно-фазовой характеристики объекта MW_об(i) соответствует вектор с модулем МА_об(₂), углом отставания _p(₂) и частотой ₂. Модули векторов – размерные величины, масштаб кото­рых М выбирается произвольно.

Для выполнения условия необходимо, чтобы

A_об() = 1/A_p(),

_об() = _p().

Проведем из начала координат (рис. 31) луч 0 – 2 под углом (₃), которому соответствуют модуль 1/A_p(₃) вектора обратной амплитудно-фазовой характери­стики регулятора W_p(i) и относительная частота (T_i)₃. Лучу 0 – 1, проведенному из начала координат под тем же углом _об(₃) = _р(₃), соответствует модуль МA(₃)об вектора амплитудно-фазовой характеристики объекта W_об(i).

Возьмем отношение отрезков 0 – 1 и 0 – 2:

.

Имея в виду условие , т.е. A_об(₃)A_p(₃) = 1, получаем

.

Таким образом, отношение отрезков 0 – 1 и 0 – 2 для конкретного угла (₃) определяет значение первого параметра настройки регуля­тора – коэффициента обратной связи ₃.

Вместе с тем вектору 0 – 2 обратной амплитудно-фазовой характе­ристики регулятора соответствует относительная частота (T_и)₃/₃, а вектору 0 – 1 амплитудно-фазовой характеристики объекта – частота ₃. Следовательно, отношение (T_и)₃/₃ для конкретного угла (₃) определяет значение второго параметра настройки ПИ-регулятора – времени интегрирования (T_и)₃.

При этом значение коэффициента обратной связи получается в мас­штабе М, выбранном для графика амплитудно-фазовой характеристики объекта, а значение времени интегрирования – непосредственно в се­кундах (если  выражается в рад/с).

Аналогичными приемами могут быть определены значения параметров на­стройки регулятора  и T_и, соответствую­щие иным векторам (лучам) при других углах ().

Рис. 31. Совмещение прямой частотной характеристики объекта с обратной частотной характеристикой регулятора

Определив последовательными опе­рациями значения ₁, ₂, ₃ и т.д. и (T_и)₁, (T_и)₂, (T_и)₃ и т.д., можно построить в ко­ординатах С₀ = 1/T_и = k_p/T_и и C_i = l/ = k_p линию, ограничивающую область устойчивости системы регулирования (рис. 32, а).

Определение настроек регулятора, соответствующих заданной степени за­тухания переходного процесса, производится аналогично по расширенным ам­плитудно-фазовым характеристикам из условия

W_об(m,i)W_p(m,i) = 1.

В этом случае строится линия заданной степени затухания (например,  = 0,75) и на ней выбираются значения параметров настройки ре­гулятора, обеспечивающие оптимальный переходный процесс. Так же как при аналитическом расчете, можно построить переходные процессы, соответствующие конкретным настройкам, и из них выбрать оптималь­ный процесс. Однако приближенно можно рекомендовать значение на­стройки, лежащее несколько правее максимума кривой  = const (рис. 32, б).

Р ис. 32. К расчету настройки регулятора графо-аналитическим методом

Графо-аналитический метод определения оптимальных параметров настроек регуляторов по амплитудно-фазовой характеристике объекта является не достаточно точным, т.к. предусматривает использование графиков.