5-
.pdf
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). Поэтому,
( 1 |
Xn |
2B |
n |
|
f (x1; x2; : : : ; xn) = |
|
1 |
: |
|
|
f ( 1; : : : ; n)x1 |
xn |
;:::; ) |
n |
|
Таким образом, достаточно доказать, что любой элементарный конъюнкт x1 1 xn n представляется в виде многочлена Жегалкина.
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). x1 1 xn n = (x1 + 1) (xn + n) =
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). x1 1 xn n = (x1 + 1) (xn + n) =
P
=1 b 1 n b n x1 b 1 : : : xn b n =
( 1;:::; n)
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). x1 1 xn n = (x1 + 1) (xn + n) =
P
=1 b 1 n b n x1 b 1 : : : xn b n =
( 1;:::; n)
P
= x1 b 1 : : : xn b n:
( 1;:::; n) ( 1;:::; n)
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение).
( 1P n |
|
1 |
n |
||||||||||
f ( 1; : : : ; n)x1 |
xn = |
||||||||||||
f (x1; x2; : : : ; xn) = |
|||||||||||||
;::: |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение).
|
( 1P n |
1 |
n |
|
f (x1; x2; : : : ; xn) = |
; : : : ; n)x1 |
xn = |
||
f ( 1 |
;::: )
PP
= |
f ( 1; : : : ; n)x1 b 1 : : : xn b n = |
( 1;::: n) ( 1;:::; n) ( 1;:::; n)
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение).
|
( 1P n |
1 |
n |
|
f (x1; x2; : : : ; xn) = |
; : : : ; n)x1 |
xn = |
||
f ( 1 |
;::: )
PP
= |
f ( 1; : : : ; n)x1 b 1 : : : xn b n = |
( 1;::: n) ( 1;:::; n) ( 1;:::; n)
PP
= |
f ( 1; : : : ; n)x1 b 1 : : : xn b n: |
( 1;::: n) ( 1;:::; n) ( 1;:::; n)
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Доказательство единственности. Пусть N = 22n и f1; f2; : : : ; fNвсе булевы функции от n аргументов.
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Доказательство единственности. Пусть N = 22n и f1; f2; : : : ; fNвсе булевы функции от n аргументов. Пусть Gi количество различных многочленов Жегалкина функции fi ,
i = 1; N:
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Доказательство единственности. Пусть N = 22n и f1; f2; : : : ; fNвсе булевы функции от n аргументов. Пусть Gi количество различных многочленов Жегалкина функции fi ,
i = 1; N: В силe доказанного Gi 1, i = 1; N.