5-
.pdf
Сумма элементарных конъюнктов без отрицаний
Определение. Многочленом Жегалкина называется сумма нескольких элементарных конъюнктов без отрицаний.
Примеры. 0, 1, xy, 1 + x,
Сумма элементарных конъюнктов без отрицаний
Определение. Многочленом Жегалкина называется сумма нескольких элементарных конъюнктов без отрицаний.
Примеры. 0, 1, xy, 1 + x, x + y,
Сумма элементарных конъюнктов без отрицаний
Определение. Многочленом Жегалкина называется сумма нескольких элементарных конъюнктов без отрицаний.
Примеры. 0, 1, xy, 1 + x, x + y, x + y + xy,
Сумма элементарных конъюнктов без отрицаний
Определение. Многочленом Жегалкина называется сумма нескольких элементарных конъюнктов без отрицаний.
Примеры. 0, 1, xy, 1 + x, x + y, x + y + xy, 1 + x + xy + xyz,
Сумма элементарных конъюнктов без отрицаний
Определение. Многочленом Жегалкина называется сумма нескольких элементарных конъюнктов без отрицаний.
Примеры. 0, 1, xy, 1 + x, x + y, x + y + xy, 1 + x + xy + xyz,
(
x; если = 1
Пусть x b =
1; если = 0:
Сумма элементарных конъюнктов без отрицаний
Определение. Многочленом Жегалкина называется сумма нескольких элементарных конъюнктов без отрицаний.
Примеры. 0, 1, xy, 1 + x, x + y, x + y + xy, 1 + x + xy + xyz,
(
x; если = 1
Пусть x b =
1; если = 0:
Тогда каждый элементарный конъюнкт без отрицаний имеет вид x1 b 1 xn b n; а многочлен Жегалкина в виде
X
a 1;::: n x1 b 1 xn b n;
( 1;::: n)2Bn
где a 1;::: n 2 B:
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : Bn ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : Bn ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования. Представим f в СДНФ
( 1 |
_n 2B |
n |
|
f (x1; x2; : : : ; xn) = |
1 |
: |
|
f ( 1; : : : ; n)x1 |
xn |
;:::; ) |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : Bn ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования. Представим f в СДНФ
( 1 |
_n 2B |
n |
|
f (x1; x2; : : : ; xn) = |
1 |
: |
|
f ( 1; : : : ; n)x1 |
xn |
;:::; ) |
n |
|
Заметим, что при ( 1; : : : ; n) 6= ( 10 ; : : : ; n0 ) имеем
(x1 1 xn n ) (x1 10 xn n0 ) = 0:
Существование и единственность многочлена Жегалкина
Теорема. Любая булева функция f : B:n ! B представляется в виде многочлена Жегалкина, причем единственным образом
Доказательство существования (продолжение). Поэтому,
( 1 |
Xn |
2B |
n |
|
f (x1; x2; : : : ; xn) = |
|
1 |
: |
|
|
f ( 1; : : : ; n)x1 |
xn |
;:::; ) |
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|