Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Semestr1-hyper1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

943.96 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

x2 + px + q = J.

Рассмотрим два случая:

= p2 − 4q < 0 и

=pp2 − 4q > 0.

Случай

< 0. В этом случае заменой x +

= t интеграл преобразуется к виду

J = Z

x2 + px + q = Z

(x + p/2)2

+ (

21 √−Δ)2

= Z

t2 + a2 , где a =

− .

d(x + p/2)

√

При вычислении интеграла J1 = Z

делаем замену

= u:

t2 + a2

J1 = a Z

(t2/a2) + 1

= a Z

+ 1

= a arctg u + C = a arctg a + C.

d(t/a)

В результате J =

arctg

2x + p

+ C.

√

−

Случай

> 0. В этом случае уравнение x2 + px + q = 0 имеет два вещественных

корня α1 6= α2.

(x − α1)(x − α2) = α1

− α2

Z ( x − α1 − x − α2 )dx =

J = Z

x2 + px + q = Z

= α1

α2 Z

−α11

−

α1

α2

−α22

= α1

α2

ln x

−

α2 + C.

d(x

α )

d(x

α )

α1

−

В частности, если α2 =

α1, мы получаем формулу

x2 dxa2 = −21a ln x a + C.

−

x + a

−

αx + β

2x + p

α 2β

dx =

dx +

(

−p) Z

ln |x

+ px + q|+

x2 + px + q

(β −

2 ) Z

x2 + px + q

αp

(в 1-м интеграле сделана замена x2 + px + q = t, а интеграл Z

решается

x2 + px + q

как в примере 5).

7. Jm = Z

(x2 + a2)m .

Вначале проводим следующие тождественные преобразования:

Jm = Z

Jm−1 − Z

dx =

(x2 + a2)m

xd(x2 + a2)

Jm−1 −

Jm−1 +

xd(

2a2

(x2 + a2)m

2a2(m − 1)

(x2 + a2)m−1

После этого используем формулу интегрирования по частям:

Jm =

Jm−1 +

−

Jm−1.

2a2(m − 1)(x2 + a2)m−1

2a2(m − 1)

Полученная формула сводит вычисление интеграла Jm к вычислению интеграла Jm−1.

При этом J1 =

arctg

(x2 + px + q)m , m > 1, = p2 − 4q < 0.

Данный интеграл с помощью замены t = x +

сводится к интегралу из примера 7.

J = Z

(x2 + px + q)m dx, где

m > 1,

= p2 − 4q < 0.

αx + β

J = 2

(x2 + px + q)m dx + (β −

) Z

(x2

+ px + q)m .

2x + p

αp

Второй интеграл в правой части считается как в примере 8. При вычислении первого

интеграла делаем замену t = x2 + px + q:

Z (x2

+ px + q)m dx = 2

tm .

2x + p

10. J1 = Z	√x2 − a2 , J2 = Z		√x2 + a2 .
		dx		dx

Применим замену с использованием гиперболических функций:

√

1. Вычисление J1. Делаем замену x = a ch t, x > 0, t > 0. Так как dx = a sh tdt, x2 − a2 =

a sh t, то

J1 = Z

= Z dt = t + C.

√

x2 − a2

Остается найти t как функцию x из следующих уравнений:

= ch t

et + e

−

e−

1 = sh t =

−

ra2 −

Сложив данные уравнения, получим

− 1 = et, откуда t = ln

+ r

− 1! .

Таким образом, J1 = Z

√

= ln

− 1! +C= ln(x + px2 − a2) + C1.

x2 − a2

√

2. Вычисление J2. Делаем замену x = a sh t, x > 0, t > 0. Так как dx = a ch t dt, x2 + a2 =

a ch t, то
J2 = Z	dx	= Z dt = t + C = ln(x + px2 + a2) + C1.
J2 = Z	√x2 + a2	= Z dt = t + C = ln(x + px2 + a2) + C1.

6.3Отыскание первообразных для рациональных функций

Рассмотрим числовую функцию вида f(x) = P (x), где P (x), Q(x) – действи-

Q(x)

тельные многочлены: P (x) = amxm + am−1xm−1 + · · · + a0 и Q(x) = bnxn + bn−1xn−1 + · · · + b0 с действительными коэффициентами ai, bk. Будем называть f(x) правильной рациональной дробью, если m < n. Далее считаем, что am = 1, bn = 1.

Известно, что любой действительный многочлен можно разложить на простые множители:

Q(x) = (x − a)α . . . (x − b)β(x2 + px + q)δ . . . (x2 + rx + s)γ,

где трехчлены x2 + px + q, . . . , x2 + rx + s не имеют действительных корней, т. е. p2 − 4q < 0, . . . , r2 − 4s < 0, а все числа α, . . . , β, δ, . . . , γ – натуральные. Заметим, что α + · · · + β + 2(δ + · · · + γ) = n – степени многочлена Q(x).

Теорема 6.2. При сделанных предположениях для функции f(x) = P (x)/Q(x) справедливо единственное представление вида

P (x)

Aα

Bβ

+ · · · +

Q(x)

(x − a)α

x − a

(x − b)β

x − b

C1x+D1

Cδx+Dδ

E1x+F1

Eγx+Fγ

(6.1)

+ · · · +

(x2+px+q)δ

x2+px+q

(x2+rx+s)γ

x2+rx+s

где A1, . . . , Aα, . . . , B1, . . . , Bβ, C1, D1, . . . , Cδ, Dδ, . . . , E1, F1, . . . , Eγ, Fγ R.

Доказательство теоремы начнем с леммы.

Лемма 6.1. Пусть U(x) и V (x) – многочлены, однозначно определяемые ра-

Q x

−

αU x), Q(x) = (x2 + px + q)γV (x)

(

U(a) = 0

венствами (

) = (

)

(

+ px + q).

многочлен V (x) не делится на x

Тогда имеют место представления:

P (x)

R(x)

(6.2)

(x − a)α

(x − a)α−1U(x)

Q(x)

P (x)

C1x + D1

T (x)

(6.3)

Q(x)

(x2 + px + q)γ

(x2 + px + q)γ−1V (x)

где S1(x) =

R(x)

, S2(x) =

T (x)

– правильные дроби.

(x − a)α−1U(x)

(x2 + px + q)γ−1V (x)

Доказательство. Для доказательства (6.2) достаточно подобрать число A1 и многочлен R(x) так, чтобы выполнялось тождество

P (x) − A1U(x) = (x − a)R(x)

(6.4)

(в этом легко убедиться, приводя (6.2) к общему знаменателю). Определим A1 так, чтобы левая часть (6.4) делилась на (x − a). Для этого достаточно, чтобы ее значение при x = a было нулем.

Таким образом, A1 = UP ((aa)) . При указанном выборе A1 многочлен R(x) определяется просто как частное:

R(x) = x − a (P (x) − A1U(x)).

При этом R(x) будет многочленом, так как a – корень многочлена P (x) − A1U(x). Степень многочлена R(x) на единицу меньше степени многочлена P (x), так что S1 – правильная рациональная дробь.

Для доказательства (6.3) достаточно числа C1 и D1 и многочлен T (x) подобрать так, чтобы

имело место тождество
P (x) − (C1x + D1)V (x) = (x2 + px + q)T (x)	(6.5)

(проверяется это приведением (6.3) к общему знаменателю). Определим числа C1 и D1 так, чтобы на этот раз делилась на x2 + px + q левая часть равенства (6.5). Пусть остатками от деления P (x) и V (x) на этот трехчлен будут, соответственно, a1x+b1 и cx+d. Тогда вопрос сведется к тому, чтобы на

2	px + q		делилось выражение	ax + b		−	(C x + D )(cx + d)			=
x +
	2				1		1	2	1
= −cC1x		+ (a1 − dC1 − cD1)x + (b1 − dD1). Выполнив деление на x							+ px + q, мы получим в

остатке [(pc −d)C1 −cD1 + a1]x + [qcC1 −dD1 + b1]. C1 и D1 нужно подобрать так, чтобы коэффициенты, стоящие в квадратных скобках, равнялись нулю. Поэтому для определения C1 и D1 имеем систему из двух линейных уравнений:

(pc − d)C1 − cD1 + a1

= 0,

(6.6)

(qcC1

−

dD1 + b1 = 0.

Определитель данной системы

pc − d,

−c

= d2

pcd + qc2 =

c2 " −

+ p −

+ q#

при c 6= 0

qc,

−

при c = 0.

−

Он отличен от нуля. Действительно, при c 6= 0 выражение в квадратных скобках есть значение трехчлена x2 + px + q в точке x = −dc и не может быть нулем, ибо трехчлен этот не имеет веще-

ственных корней. При c = 0 определитель сводится к d2, а в этом случае d 6= 0, так как многочлен V (x) на x2 + px + q не делится.

Многочлен T (x), после нахождения чисел C1 и D1, определяется как частное:

T (x) = x2 + px + q [P (x) − (C1x + D1)V (x)],

причем T (x) будет действительно многочленом, так как числа C1 и D1 подбираются так, что P (x)− (C1x + D1)V (x) делится на x2 + px + q. Степень многочлена T (x) на две единицы меньше степени многочлена P (x), поэтому S2(x) будет правильной рациональной дробью.

Доказательство теоремы сводится к многократному применению формул (6.2) и (6.3), которые позволяют последовательным понижением степени многочлена Q(x) получить (6.2).

Если множитель (x−a) входит в Q(x) в первой степени, то в силу (6.2) ставим ему в соответствие

единственную простую дробь вида

. Если же показатель степени (x − a) есть α > 1, то,

−

выделив на основании (6.2) простую дробь

, мы к оставшейся дроби снова применим (6.2)

(x − a)α

и выделим, таким образом, простую дробь

. Описанный процесс продолжается до тех

(x − a)α−1

, α > 1, будет отвечать

пор, пока (x − a) не исчезнет из разложения. В итоге множителю (x − a)

группа из α простых дробей

Aα

Aα−1

+ . . . +

(x − a)α

x − a (x − a)2

Q(x)

Такое же рассуждение мы поочередно применим и к каждому из оставшихся ещё линейных множителей, пока знаменатель не исчерпается или в его разложении останутся одни лишь квадратичные множители.

Аналогичным образом, пользуясь формулой (6.3), мы поставим в соответствие квадратичному

множителю x2 +px+q одну лишь простую дробь вида C1x + D1 , если он входит в первой степени, x2 + px + q

и группу из γ простых дробей

C1x + D1 + C2x + D2 + . . . + Cγx + Dγ , (x2 + px + q)γ (x2 + px + q)γ−1 x2 + px + q

если этот множитель входит с показателем степени γ > 1. То же можно проделать и с прочими квадратичными множителями, при условии, что они ещё имеются.

В результате всех операций мы получим разложение (6.2) правильной рациональной дроби на простые дроби.

Единственность представления (6.2) следует из того, что величины A1, . . . , Bβ определяют-

ся однозначно: A1

= x→a

−

Q(x)

x→a

−

Q(x) −

(x − a)α

и т. д. Величины

lim (x

a)α

P (x)

, A

= lim (x

a)α−1

P (x)

C1, . . . , Fδ также определяются однозначно. Например, величины C1, D1 находятся как решение

системы уравнений (6.6), которая имеет единственное решение, так как ее определитель отличен

от нуля.

Замечание 6.1. Если в рациональной дроби P (x) порядок многочлена P (x)

Q(x)

выше, чем порядок многочлена Q(x), то она приводится к виду P0(x)+ P1(x),

Q(x)

где P0(x) – многочлен, а P1(x) – правильная рациональная дробь.

Рациональной функцией от x называется функция, которая получается в результате применения к x конечного числа арифметических операций: умножение, вычитание, сложение, деление. Любая рациональная функция от x имеет вид многочлена от x или легко приводится к виду P (x)/Q(x), где P (x), Q(x)

– некоторые многочлены. Таким образом, нам теперь известно, как вычисляются интегралы от рациональных функций.

6.4Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций

Общим подходом к интегрированию иррациональных и трансцендентных функций является их преобразование к рациональным функциям с использованием замены переменных (подстановок). Такой подход будем называть "рационализацией" подынтегральной функции. Универсальный способ вычисления интеграла от рациональной функции изложен в предыдущем разделе параграфа. Все приведенные ниже методы интегрирования – это методы рационализации подынтегральной функции.

1. Интегрирование алгебраических иррациональностей.

Рациональная функция от x, u, v, . . . , w получается в результате применения к x, u, v, . . . , w арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления), взятых в конечном числе. Пусть R(x, u, v, . . . , w) – обозначение рациональной функции от x, u, v, . . . , w. Рассмотрим интеграл

ax + b

R(x,

, . . . ,

dx,

(6.7)

cx + d

где λ, . . . , µ Q и имеют наименьший общий знаменатель m : λ =

, . . . , µ=

В интеграле (6.7) сделаем подстановку

tm = ax + b

x = dtm − b

= ϕ(t)

– ра-

cx + d

a − tmc

циональная функция от t. Производная ϕ0(t) – также рациональная функция

от t. Интеграл (6.7) сводится к интегралу:

Z Z

R(ϕ(t), tp, . . . , tq)ϕ0(t)dt = R1(t)dt,

где R1(t) – рациональная функция от t (p, . . . , q – целые числа).

2. Подстановки Эйлера.

Интеграл вида
Z	R(x, √cx2 + bx + a)dx, c 6= 0, b2 − 4ac 6= 0,	(6.8)

можно свести к интегралам от рациональных функций с помощью подстановок Эйлера.

1-ая подстановка может быть использована в случае c > 0.

√

+ bx + a = t − cx

(или

+ bx + a = t +

cx).

√

После возведения в квадрат этого равенства, получим bx + a = t

−

2 ctx.

Отсюда

t2 − a

(t), √

√

(t), dx = ϕ0

cx2 + bx + a

x =

= ϕ

= t

cx = ϕ

(t)dx

2√ct + b

−

где ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ10 (t) – рациональные функции от t.

Таким образом,

R(x, √

)dx = Z

R(ϕ1(t), ϕ2(t))ϕ10 (t)dt = Z

cx2 + bx + a

R2(t)dt,

где R2(t) – рациональная функция от t.

2-ая подстановка может быть использована в случае a > 0.

√

+ bx + a = xt +

+ bx + a = xt −

a (или

a).

Возведя обе части равенства в квадрат и сокращая на x, получим cx + b =

√

xt2 + 2 at. Отсюда следует:

x = 2√at − b = ϕ3(t), √cx2 + bx + a = xt + √a = ϕ4(t), dx = ϕ03(t)dt, c − t2

где ϕ3(t), ϕ4(t), ϕ03(t) – рациональные функции от t. После подстановки полученных выражений в интеграл (6.8) мы получим интеграл от рациональной функции.

3-ая подстановка может быть использована в случае b2 − 4ac > 0.

√

cx2 + bx + a = t(x − λ),

λ - один из из двух действительных корней трехчлена cx2 + bx + a.

Возведя в квадрат и сокращая на x − λ, получим уравнение первой степени относительно x: c(x − µ) = t2(x − λ). Отсюда следует:

	−cµ + λt2		√		=	c(λ − µ)t	= ϕ6	(t), dx = ϕ0
x =	−cµ + λt2	= ϕ5(t),	√	cx2 + bx + a	=	c(λ − µ)t	= ϕ6	(t), dx = ϕ0	(t)dt,
	t2 − c					t2 − c		5
	t2 − c					t2 − c

где ϕ5(t), ϕ6(t), ϕ05(t) – рациональные функции от t.

После подстановки полученных выражений в интеграл (6.8) мы получим интеграл от рациональной функции.

Замечание 6.2. 1-ой и 3-ей подстановок Эйлера достаточно для того, чтобы осуществить рационализацию подынтегральной функции в (6.8) во всех возможных случаях.

Доказательство. Если cx2 + bx + a имеет действительные корни, то можно использовать 3-ю подстановку. Если действительных корней нет, т. е. b2 − 4ac < 0, то трехчлен

	2		1		2	2
cx		+ bx + a =		[(2cx + b)		+ (4ac − b	)]
cx		+ bx + a =	4c	[(2cx + b)		+ (4ac − b	)]
							√
							√	cx	2	+ bx + a вовсе не
при любых x имеет знак c. Случай c < 0 нас не интересует, так как тогда								cx		+ bx + a вовсе не

имел бы действительных значений. В случае же c > 0 применима 1-ая подстановка.

Замечание 6.3. Случаи 1-ой и 2-ой подстановок (c > 0, a > 0) приводятся один к другому заменой x = z1. Поэтому всегда можно избегать применения 2-ой подстановки.

c + bz + az2

Доказательство. Пусть c > 0. Тогда cx

+ bx + a = c(

)

+ b ·

+ a =

. Отсюда

√

Z R(x, pcx2 + bx + a)dx = Z R z

· −z12 dz =

c + bz + az

= Z R3(z, p

)dz.

c + bz + az2

Так как c > 0, то мы попали в случай применения 2-ой подстановки.

3. Биномиальные дифференциалы.

Рассмотрим интеграл

xm(a + bxn)pdx,

(6.9)

где a, b R(a, b 6= 0),

m, n, p Q. Подынтегральное выражение xm(a + bxn)p

называется биномиальным дифференциалом.

Сделаем замену xn = t. Тогда x = t1/n,

dx =

tn1 −1dt, поэтому интеграл

(6.9) приводится к виду

n Z

t n (a + bt)pt(n )−1dt =

t( n

+ n −1)(a + bt)pdt.

Если положить

m + 1

− 1 = q, то (6.9) сводится к интегралу вида

tq(a + bt)pdt.

(6.10)

Лемма 6.2. Интеграл (6.10) всегда берется в элементарных функциях, если одно из чисел p, q или p + q – целое.

Доказательство. 1. p – целое число. Тогда

tq(a + bt)pdt = Z

R(t, tq)dt,

(6.11)

где R(t, tq) – некоторая рациональная функция от t и tq.

2. q – целое число. Тогда

tq(a + bt)pdt =

R(t, (a + bt)p)dt,

(6.12)

где R(t, (a + bt)p) – некоторая рациональная функция от t и (a + bt)p.

3. p + q – целое число. Тогда

a + bt

+ bt

Z tq(a + bt)pdt = Z tp+q

dt = Z R(t,

)dt,

(6.13)

a + bt

+ bt

где R(t,

) – некоторая рациональная функция от t и

Все интегралы (6.11) – (6.13) имеют вид интегралов (6.7), каждый из которых приводится к интегралу от рациональной функции с помощью соответствующих подстановок. Допустим m =

λ	, n =	µ	, p =	i	, где λ, µ, N, i, j – целые числа. Тогда q =	m − n + 1	=	λ − µ + N	.
N		N
			j			n		µ

Инетеграл (6.11): применяем подстановку

Инетеграл (6.12): применяем подстановку

Инетеграл (6.13): применяем подстановку

uµ = t.

ui = a + bt. (6.14)

ui = a + bt . t

Замечание 6.4. Подстановку xn = t к интегралу (6.9) и соответствующие подстановки (6.14) можно объединить и получить подстановки, приводящие интеграл (6.9) сразу к интегралу от рациональной функции.

Доказательство. 1. p – целое. x = t1/n, uµ = t x = uµ/n = uN . Получим подстановку: x = uN ,

где N – наименьший общий знаменатель чисел m и n.

2. q – целое. x = t1/n, ui = a + bt ui = a + bxn, где i – знаменатель числа p. 3. p – целое. x = t1/n, ui = a+tbt ui = ax−n + b, где i – знаменатель числа p.

4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

Рассмотрим интеграл

R(sin x, cos x)dx, (6.15)

где R(u, v) – рациональная функция от u и v. Подынтегральная функция такого интеграла может быть рационализирована подстановкой: t = tg x2 , x

(−π, π). Действительно,

	2 tg	x						1	− tg2		x				− t2
					2t								=	1
sin x =		2		=	2t		, cos x =				2			1		,
sin x =			x	=		2	, cos x =				x				2	,
		2	x		1 + t	2				2	x	1			2
	1 + tg	2			1 + t			1	+ tg	2		1			+ t
	1 + tg		2					1	+ tg		2

2dt

x = 2 arctg t dx = 1 + t2 . Таким образом,

R(sin x, cos x)dx =

1 − t2

dt =

(t)dt,

1 + t2

где R4(t) – рациональная функция от t.

Приведенная подстановка является универсальной, но она приводит иной раз к сложным выкладкам. Существуют случаи, когда цель может быть достигнута с помощью более простых подстановок.

Предварительно докажем следующую лемму:

Лемма 6.3. 1. Если R(−u, v) = R(u, v), то R(u, v) = R1(u2, v), где R1(u2, v)

–рациональная функция от u2 и v.

2.Если R(−u, v) = −R(u, v), то R(u, v) = R2(u2, v) · u, где R2 – рациональная функция от u2 и v.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Докажем второе. Рассмотрим функцию R3(u, v) =

R(u, v)

		. Поскольку R(−u, v) = −R(u, v), то R3(−u, v) = R3(u, v) и в силу первого утверждения
u
R(u, v)		= R2(u2, v), т.е. R(u, v) = R2(u2, v) · u.
u

Рассмотрим три частных случая.

1.R(−u, v) = −R(u, v).

В этом случае используем подстановку t = cos x:

R(sin x, cos x)dx = R2(sin2 x, cos x) · sin xdx = −

− R2(1 − cos2 x, cos x)d cos x = −R2(1 − t2, t)dt,

которая рационализирует подынтегральную функцию.

2.R(u, −v) = −R(u, v).

Используем подстановку t = sin x:

R(sin x, cos x)dx = R2(sin x, cos x) · cos xdx =

=R2(sin x, 1 − sin2 x)d sin x = R2(t, 1 − t2)dt.

3.R(−u, −v) = R(u, v). В этом случае рационализация достигается подстановкой t = tg x, x (−2π , π2 ).

Для доказательства проделаем преобразования R(u, v). Имеем:

R(u, v) = R(

· v, v) = R (

, v),

−

v) = R (

−u

, v) = R (

−

v) = R (

, v).

−v

−

В силу первого утверждения леммы

R (

, v) = R1

(

, v2) R(sin x, cos x) = R1(tg x, cos2 x) = R1(tg x,

1 + tg2 x

т. е. R(sin x, cos x) = R(tg x), где

R – рациональная функция. В результате

dt.

R(sin x, cos x) = R(tg x)dx = R(t)

1 + t

5. Интегрирование выражений sinν x cosµ x(ν, µ Q, x (0;

)).

Применим подстановку z = sin2 x. Тогда dz = 2 sin x cos xdx и sinν x cosµ xdx =

µ−1

µ−1 ν−1

sin

−

x ·(1 −sin

2 2 sin x cos xdx =

(1 −z) 2

z 2 dz. Таким образом, все

сводится к интегрированию биномиального дифференциала.

µ − 1

Нам известно, что интеграл

zm(1

−

z)pdz

(здесь

m =

ν − 1, p =

)

берется в элементарных

функциях, если:

1.) m =

ν − 1

(или p =

µ − 1

) есть целое число, т. е. если ν (или µ) есть

нечетное целое число.

2.) p + q =

µ + ν − 2

(в настоящем случае q = m =

ν − 1

) – целое число, т. е.

µ + ν есть четное целое число.

Замечание 6.5. Если ν и µ – целые числа, то выражение sinν x cosµ x рационально относительно sin x и cos x, т. е. принадлежит классу R(sin x, cos x), уже нами рассмотренному.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 77

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015657.41 Кб39sbornik_o_genri_ispravlenny_broshyura.doc
#
10.11.20181.82 Mб87SBORNIK_ZADACh_UP.doc
#
10.02.201545.57 Кб18SCHEMATIC OUTLINE OF TEXT ANALYSIS.doc
#
10.11.2019238.59 Кб1Scheta_i_dvoynaya_zapis.doc
#
10.02.2015719.09 Кб5Schjotchik.Gejgera.pdf
#
10.02.2015943.96 Кб4Semestr1-hyper1.pdf
#
04.08.2019111.62 Кб2Semeynoe_pravo.doc
#
01.03.2025108.03 Кб1Semeynoe_pravo_lektsii_Nizamievoy.doc
#
18.07.201979.87 Кб4Seminar_2_Lexicheskie_normy.doc
#
22.07.201930.33 Кб3seminar_4_reshenia.docx
#
15.12.201873.22 Кб3Seminar_4_Stilisticheskie_normy.doc