Semestr1-hyper1

Равенства для дифференциалов следуют из равенств для производных и определения дифференциала df = f0dx.

2.(Дифференцирование сложной функции) Пусть задана сложная функция F (x) = g(f(x)) = (g ◦ f) (x) и пусть f дифференцируема в точке x, а функция g дифференцируема в точке y = f(x). Тогда F = g ◦ f дифференцируема в точке x и

g0(f(x)) (f(x+ h) −f(x)) + o(f(x+ h) −f(x)) = g0(f(x)) (f0(x) h+ o(h)) + ε(Δf) (f0(x) h+ o(h)) = g0(f(x)) f0(x) h + g0(f(x)) o(h) + ε(Δf) f0(x) h + ε(Δf) o(h)=g0(f(x)) f0(x) h +

o(h), h → 0 (здесь ε(Δf)→0 при h → 0). Таким образом, функция F (x) дифференцируема в точке x и F 0(x) = g0(f(x)) f0(x). dF (x) = g0(f(x)) f0(x)dx = g0(f(x))df(x).

Следствие 5.1. (Свойство инвариантности формы первого дифференциала): равенство dg(y) = g0(y)dy справедливо как в случае независимой переменной y, так и в случае, когда y является функцией: y = y(x).

3.(Дифференцирование обратной функции) Пусть y = g(x) – функция, обратная к функции x = f(y), причем f дифференцируема в точке y

и f0(y) = f0(g(x)) 6= 0. Тогда g дифференцируема в точке x и g0(x) =

1

f0(g(x)).

Доказательство. h = (x + h) − x = f(g(x + h)) − f(g(x)) = f(g(x) + g(x + h) − g(x)) − f(g(x)) = f0(g(x))(g(x + h) − g(x)) + o(g(x + h) − g(x)) = (g(x + h) − g(x)(f0(g(x)) +

o(1)), h → 0. Отсюда

5.2Основные теоремы

Теорема 5.1. (Ролля) Пусть f : [a, b] → R непрерывна на [a, b], дифференци-

руема на (a, b) и f(a) = f(b). Тогда существует точка c (a, b) такая, что f0(c) = 0.

Доказательство. Если f(x) – постоянная на [a, b], то теорема очевидна. Пустьf(x) 6= const и существует точка x (a, b) такая, что, например, f(x) > f(a). Тогда по второй теореме

Вейерштрасса существует точка c (a, b) такая, что f(c) = max f(x). Отсюда следует

x [a,b]

Функция f(x) дифференцируема в точке c, поэтому f0(c) = f0(c + 0) = f0(c − 0) = 0.

41

Теорема 5.2. (Коши о среднем значении) Пусть f : [a, b] → R, g : [a, b] → R

непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b) функции f0(x) и g0(x) не обращаются в нуль одновременно и g(b) 6= g(a). Тогда существует точка

Доказательство. Определим функцию h(x) = g(x) [f(b)−f(a)]−f(x) [g(b)−g(a)]. Нетрудно проверить, что h(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), h(a) = h(b). Таким образом, функция h(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, и, следовательно, существует точка c (a, b) такая, что

Теорема 5.3. (формула Лагранжа конечных приращений) Пусть f:[a, b] → R

непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Тогда существует точка c (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f0(c)(b − a).

Доказательство. Пусть g(x) из теоремы Коши равна x. Очевидно, f и g будут удовлетво-

Следствие 5.2. Если функция имеет на (a, b) производную, равную нулю, то она постоянна на (a, b).

Доказательство. Пусть x1 – фиксированная точка из (a, b), x – произвольная точка из (a, b) (она может находиться справа и слева от x1). Тогда на основании формулы Лагранжа имеет место f(x) − f(x1) = (x − x1)f0(c), где c – некоторая, зависящая от x1 и x, точка,

часть этого равенства есть tg α (α – угол наклона к оси абсцисс хорды, стягивающей точки (a, f(a)), (b, f(b)) графика функции f(x)). Правая часть есть тангенс угла наклона касательной к графику в точке c (a, b). Таким образом, формула Лагранжа утверждает, что если f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то на кривой, являющейся графиком f(x), существует точка (c, f(c)) такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой (a, f(a)), (b, f(b)).

5.3Правило Лопиталя

Пусть f и g определены и дифференцируемы в некоторой проколотой окрест-

42

Функции f и g удовлетворяют условиям теоремы Коши о промежуточных значениях на отрезке [a, x], x < λ. Применяя эту теорему, получим

∞

3.∞ , x → a + 0, a – конечное число.

ˇ 0 0

В этом случае U(a) = (a, λ), λ > a. Пусть lim (f (x)/g (x)) = A.

Возьмем произвольное ε > 0 и найдем η > 0 такое, что |f0(x)/g0(x) − A| < ε/2 при a <

Пусть теперь a < x < x0 < a + η, x0 – фиксировано. Тогда на отрезке [x, x0] можно воспользоваться теоремой Коши, откуда

В силу (5.4) и (5.5)

(1 + α)(A − ε/2) < f(x) < (1 + α)(A + ε/2), g(x)

43

где α → 0 при x → a + 0. Поэтому найдется 0 < δ < η такое, что при a < x < δ будут справедливы неравенства

A − ε < f(x) < A + ε, g(x)

и получаем неопределенность 0/0.

Так, если f → 0 и ϕ → ∞, то пишем fϕ = f/ϕ1 , что приводит к неопреде-

x→a

5.4Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть f : E → R (E R) дифференцируема в окрестности U(x0) точки x0 E, тогда определена функция f0 : U(x0) → R. Если, в свою очередь, f0 дифференцируема в точке x0, то число (f0(x))0 называется 2-й производной от f в точке x0 и обозначается f00(x0). Иными словами,

Дифференциал второго порядка от функции f в точке x, соответству-

ющий dx, определяется равенством d2f(x) = d(df(x)). Обозначая (dx)2 через dx2 и учитывая, что dx не зависит от x, имеем: d2f(x) = d(f0(x)dx) = f00(x)dx2.

Аналогично определяется дифференциал n-го порядка (по индукции):

dnf(x) = d(dn−1f(x)) = d(fn−1(x)dxn−1) = f(n)(x)dxn.

Замечание 5.1. Для дифференциала порядка выше 1 не выполняется свойство инвариантности формы записи (в отличии от дифференциала первого порядка, см. следствие 5.1).

Действительно, если y = f(x), где x = x(t), то dy = f0(x(t))x0(t)dt = f0(x)dx, но d2y = d(f0(x)dx) = df0(x)dx + f0(x)d2x = f00(x)(dx)2 + f0(x)d2x, где

d2x 6= 0.

44

Докажем формулу, по которой вычисляется производная n-го порядка от произведения двух функций.

Формула Лейбница: Пусть u, v – функции, обладающие n-й производной в точке x. Тогда (считая по определению, u(0)(x) = u(x), v(0)(x)=v(x)) имеем

Доказательство. Проводится по индукции. При n = 1 формула известна: (u v)0 = u0v + uv0. Предположим, что она верна для случая n-й производной. Тогда

5.5Формула Тейлора

Формулой Тейлора называется формула, с помощью которой можно по данным значениям функции и её производных f(a), f0(a), . . . , f(n−1)(a) в точке a и некоторым сведениям о её производной f(n)(x) в окрестности U(a) этой точки узнать приближенно её значение f(x) в точках x U(a).

Сначала получим формулу Тейлора для многочлена P (x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn. Сделаем замену x на (x − a) + a в P (x):

n

X

P (x) = a0 + a1((x − a) + a) + · · · + an((x − a) + a)n = bk(x − a)k,

k=0

где bk – коэффициенты, зависящие от коэффициентов ak. Полученное равенство называется разложением многочлена P (x) по степеням x − a, а bk –

коэффициентами данного разложения. Продифференцируем k раз равенство

n

X

P (x) = bk(x − a)k:

k=0

P (k)(x) = k!bk + (k + 1)k · · · 2bk+1(x − a) + · · ·

В полученном выражении для P (k)(x) положим x = a и получим P (k)(a) = k!bk. Отсюда следует

bk = P (k)(a), k = 0, 1, 2, · · ·

k!

Таким образом, получена формула

X

n P (k)(a)

P (x) = (x − a)k, k!

k=0

которая называется формулой Тейлора по степеням x − a (или формула Тейлора в окрестности точки a) для многочлена P (x) степени n.

Перейдем теперь к выводу формулы Тейлора для функции f, не являющейся многочленом степени n −1, но имеющей производные достаточно высокого порядка. С помощью чисел f(a), f0(a), . . . , f(n−1)(a) образуем функцию

45

Функция Q(x) называется многочленом Тейлора функции f по степеням x − a. Если f является сама многочленом степени n − 1, то f(x) = Q(x) для любых x U(a), т. е. f(x) ≡ Q(x). В общем случае f(x) 6≡Q(x). Тем не менее, многочлен Q(x) связан с функцией f(x) в том смысле, что f(k)(a) = Q(k)(a), k = 0, 1, . . . , n−1. Действительно, по формуле Тейлора для многочле-

нов

(n−1) Q(k)(a)

X

Q(x) = (x − a)k. k!

k=0

Отсюда и из (5.7) следуют равенства f(k)(a) = Q(k)(a), k = 0, 1, . . . , n − 1. Положим

X

n−1 f(k)(a)

f(x) = Q(x) + Rn(x) = (x − a)k + Rn(x). (5.8) k!

k=0

Выражение (5.8) называется формулой Тейлора функции f по степеням x − a (или в окрестности точки a), а Rn(x) называется остаточным членом формулы Тейлора.

Теорема 5.4. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, x] вместе со своими производными до (n − 1)-го порядка включительно и n раз дифференцируема на (a, x). Тогда существует точка c = a + θ(x − a) (0 < θ < 1) такая, что имеет место равенство (5.8), где

Rn(x) = n1!f(n)(c)(x − a)n (остаточный член в форме Лагранжа)

или

Доказательство. Будем искать Rn(x) в виде Rn(x) = λ(x −a)p, где p – натуральное число, λ – величина, зависящая от x. Итак, мы имеем равенство

Заменим в (5.9) постоянную a на переменную z. Тогда получим функцию

которая определена и непрерывна для всех z [a, x], потому что на этом отрезке исходная функция f(z) непрерывна вместе со своими производными до (n − 1)-ого порядка включительно. Кроме того, из определения функции g(z) следует, что g(a) = 0 и g(x) = 0. Наконец, функция g(z) имеет на интервале (a, x) производную, потому что на (a, x) исходная функция f имеет производную n-го порядка. Тем самым, функция g(z) удовлетворяет условиям теоремы Ролля, поэтому существует точка c = a + θ(x − a) (0 < θ < 1) такая, что g0(c) = 0. Прямыми вычислениями находим производную g0(z):

Если теперь положить p = n в равенстве Rn(x) = λ(x − a)p, то получим остаточный член в форме Лагранжа, а при p = 1 – в форме Коши.

46