Semestr1-hyper1

Определение 3.3. (Определение Коши) Число α называется пределом функции f(x) в точке a, если:

Используемые обозначения для предела: α = lim f(x) или f(x) → α при

x→a

x → a. Подчеркнем, что понятие предела функции в точке a вводится только для предельных точек a области определения функции, при этом функция может быть и не определена в точке a.

Лемма 3.1. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Пусть α = lim f(x) в смысле определения 3.2, а (3.1) не выполняется.

x→a

Это значит, что существует хотя бы одно ε > 0 (обозначим его ε0), такое, что для любого

∩ ˇ | − | ≥

δ > 0 существует x E Uδ(a), для которого f(x) α ε0. Будем брать в качестве δ числа

∩ ˇ \{ }

вида δ = 1/n, n = 1, 2, 3, . . . , и для каждого из них найдем точку xn E U1/n(a) E a , для которой |f(xn) − α| ≥ ε0. Но это противоречит определению 3.2.

Пусть теперь α = lim f(x) в смысле определения 3.3, т.е. справедливо (3.1). Возьмем

x→a

произвольную последовательность {xn} E \ {a}, сходящуюся к a. Подберем натуральное число N так, чтобы |xn−a| < δ для любых n > N. Тогда, согласно условию (3.1) |f(xn)−α| <

ε для любых n > N, т. е. f(xn) → α. Это означает, что α = lim f(x) и в смысле определения

x→a

3.2.

Свойства пределов функций

1. Если определена в некоторой проколотой окрестности ˇ точки , f(x) V (a) a

то существует ˇ , в которой ограничена.

U(a) f(x)

Доказательство. Так как lim f(x) = α, то для ε = 1 существует δ > 0 такое, что

x→a

если 0 < |x − a| < δ, то |f(x) − α| < 1. Таким образом, для некоторой проколотой

3. (Арифметические свойства) Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой

проколотой окрестности ˇ точки . Тогда справедливы равенства:

V (a) a

x→a

в том смысле, что если определены правые части, то определены левые, и они равны.

21

Доказательство. Пусть определены правые части равенств (3.2): lim f(x) = α и

x→a

lim g(x) = β. Пусть {xn} – произвольная последовательность чисел xn 6= a, сходя-

x→a

щаяся к a. Тогда lim f(xn) = α, lim g(xn) = β. Но для числовых последовательностей {f(xn)} и {g(xn)} арифметические свойства доказаны ранее, именно,

Поскольку эти равенства выполняются для любой последовательности xn → a, xn 6= a, то равенства (3.2) также справедливы.

4.Пусть f(x), g(x) и ϕ(x) определены в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, и удовлетворяют неравенствам

lim g(xn) = α, то lim ϕ(xn) = α. В силу того, что {xn} является произвольной последовательностью, сходящейся к a, утверждение теоремы доказано.

Первый замечательный предел

Доказательство. Рассмотрим часть единичного круга. Из обозначений на рисунке легко видеть, что площадь 4AOM < площади сектора OAM < площади 4OMN, т. е.

3.3Критерий Коши существования конечного предела функции

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на множестве E, и a – предельная точка E.

Теорема 3.2. Для того, чтобы существовал конечный предел lim f(x), необ-

x→a

ходимо и достаточно выполнения следующего условия Коши:

Доказательство. Необходимость. Пусть существует конечный предел lim f(x) = α. Тогда

0 00 ˇ ∩ | 0 − 00 | ≤ | 0 − | | 00 − |

если x , x U(a) E, то f(x ) f(x ) f(x ) α + f(x ) α < ε, т. е. выполняется условие Коши (3.3).

22

Достаточность. Пусть выполнено (3.3). Возьмем произвольную последовательность {xn}, xn E \ {a}, сходящуюся к a. Тогда, согласно критерию Коши для числовой последова-

ˇ

тельности, найдется N N такое, что для любых n, m > N : xn, xm U(a). Но тогда |f(xn) − f(xm)| < ε при любых n, m > N, т. е. числовая последовательность {f(xn)} удовлетворяет условию Коши и, следовательно, имеет предел. Таким образом, мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции: для любой сходящейся к a последователь-

ности xn 6= a существует lim f(xn). Для завершения доказательства существования lim f(x)

x→a

необходимо показать, что lim f(xn) будет один и тот же для любой последовательности

xn → a, xn 6= a. Пусть xn → a, x0n → a (xn, x0n 6= a, n = 1, 2, . . .). По доказанному выше, существуют lim f(xn) и lim f(x0n). Предположим, что lim f(xn) = α, lim f(x0n) = α0. Составим

новую числовую последовательность: {x1, x01, x2, x02, . . .}. Очевидно, что x00n → a. Но тогда должен существовать lim f(x00n), что возможно только тогда, когда α = α0. Итак, для любой последовательности x→a, xn 6= a, существует lim f(xn) = α, что означает: существует

lim f(x) = α.

x→a

3.4Обобщения и модификации понятия предела функции в точке

Пределы в бесконечных точках и бесконечные пределы

Понятия предела функции можно обобщить на случай, когда α – несобственная точка.

Определение 3.4. lim f(x) = ∞, если a – предельная точка множества E

x→a

и

(соответственно f(x) < 0), то пишут: lim f(x) = +∞ (соответственно

x→a

lim f(x) = −∞).

x→a

Определение 3.5. Число α называется пределом функции f в ∞ (обозна-

ˇ ∞

чение lim f(x) = α), если f(x) определена в некоторой окрестности U( ) и

x→∞

для любой сходящейся к ∞ последовательности {xn} справедливо f(xn) → α. Последнее условие можно заменить эквивалентным условием:

состоит в том, что используются, соответственно, U(+∞) и U(−∞)

Односторонние пределы

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на множестве E.

Определение 3.6. Число α R называется пределом функции в точке a

справа (обозначение lim f(x) = α), если a – предельная точка множества

x→a+0

E ∩ (a, +∞) и

для любой последовательности {xn}, xn > a, xn E : xn → a f(xn) → α.

(3.4)

Условие (3.4) эквивалентно следующему условию:

для любой окрестности V (α) δ > 0 : x E ∩(a, a+δ) : f(x) V (α). (3.40)

Определение 3.7. Число α R называется пределом функции в точке a

слева (обозначение lim f(x) = α), если a – предельная точка множества

x→a−0

E ∩ (−∞, a) и

для любой последовательности {xn}, xn < a, xn E : xn → a f(xn) → α.

(3.5)

23

Условие (3.5) эквивалентно следующему условию:

для любой окрестности V (α) δ > 0 : x E ∩(a−δ, a) : f(x) V (α). (3.50)

Лемма 3.2. Пусть f(x) определена в некоторой проколотой окрестности

ˇ

U(a) точки a. Предел lim f(x) в R существует тогда и только тогда, когда

x→a

существуют оба односторонних предела lim f(x) и lim f(x) и они равны.

x→a−0 x→a+0

Доказательство. Необходимость. Пусть существует lim f(x) = α R, т. е.

x→a

для любой окрестности V (α) δ > 0 : x E ∩ (a − δ, a) ∩ (a, a + δ)

Тогда очевидно выполнены условия (3.40) и (3.50), так что существуют

α

Достаточность. Пусть существуют lim f(x) = lim f(x) = α, т. е. выполнены условия

x→a−0 x→a+0

(3.40) и (3.50). Выбирая в этих условия одинаковые δ, получим как следствие условие (3.6),

т.е. существование двухстороннего предела lim f(x) = α.

x→a

?

3.5Второй замечательный предел

Ранее было определено число e как предел числовой последовательности: e = lim 1 + n1 n . Теперь мы установим более общий результат:

lim 1 + 1 x = e.

x→∞ x

Очевидно, достаточно доказать это равенство для случаев x → +∞ и x → −∞. Пусть x → +∞. Тогда справедливы неравенства:

24

3.6Порядок функции. Эквивалентность функций (асимптотика)

Определение 3.8. Функция f имеет порядок функции ϕ на множестве E, или f есть O большое от ϕ на E (обозначение: f(x) = O(ϕ(x)), x E), если

|f(x)| ≤ C|ϕ(x)|, x E,

где C – не зависящая от x постоянная.

Определение 3.9. Пусть функции f и g определены в некоторой проколо-

ˇ

той окрестности U(a) точки a.

Функция f есть "o малое от функции g"при x → a (обозначение f(x) = o(g(x)), x → a), если

f(x) = ε(x)g(x), где функция ε(x) → 0 при x → a.

Лемма 3.3. f(x) ' g(x), x → a, тогда и только тогда, когда f(x) = g(x) + o(g(x)), x → a.

Доказательство. Пусть f(x) ' g(x), x → a и r(x) = f(x) − g(x). Тогда

g(x), x → a

Лемма 3.4. Если f(x) ' ϕ(x), x → a и функция ψ(x) определена в некоторой

из частей равенства, то определена и другая и они равны.

Доказательство. Пусть, например, определена правая часть равенства. Тогда lim f(x)ψ(x) =

x→a

Примеры.

1.sin x ' x, x → 0 (эквивалентная запись 1-го замечательного предела).

2.1 − cosx ' 12 x2, x → 0. 3. x2 = o(x), x → 0.

4.x = o(x2), x → ∞.

5.x = O(sin x), x → 0.

Упражнения

25

1.Пусть f(x) > g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a R и существуют пределы f(x) и g(x) в точке a. Доказать, что lim f(x) ≥ lim g(x). Можно ли последнее

x→a x→a

неравенство заменить на строгое?

2.Является ли произведение двух монотонных функций монотонной функцией?

3.Пусть lim f(x) 6= 0, а lim g(x) не существует. Доказать, что lim f(x)g(x) не суще-

Можно ли здесь знаки неравенства заменить на равенство?

26

§4 Непрерывные функции

4.1Определение и основные свойства функций, непрерывных в точке

Определение 4.1. Функция f называется непрерывной в точке a, если

она определена в некоторой окрестности U(a) точки a и lim f(x) = f(a).

x→a

Мы имеем два эквивалентных определения предела функции в точке, поэтому данное определение можно развернуть двумя эквивалентными способами:

Определение 4.2. Функция f называется непрерывной в точке a, если она определена в некоторой U(a) точки a и выполнено одно из следующих условий:

Если функция не является непрерывной в точке a, то говорят, что она разрывна в точке a. В случае, когда функция определена на U(a), разрывность в точке a можно определить на языке (ε, δ) следующим образом:

ε > 0 : δ > 0 x (a − δ, a + δ) (|f(x) − f(a)| ≥ ε).

На рис. 1 изображена непрерывная кривая ("непрерывность" понимается в интуитивном смысле – кривую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги). Пусть эта кривая является графиком некоторой функции f(x). Тогда ε > 0 δ > 0 x (a −δ, a + δ) (|f(x) − f(a)| < ε) (все это видно на рисунке) и, следовательно, математическое определение непрерывности функции отвечает интуитивному понятию непрерывности кривой.

На рис. 2 изображена разрывная кривая, состоящая из двух кусков. Разрыв имеет место в точке a. На рисунке видно, что существует ε0 > 0 такое, что для любых δ > 0 существует x (a − δ, a + δ) такое, что |f(x) − f(a)| ≥ ε0. Таким образом, разрывному графику соответствует разрывная функция.

Основные свойства функций, непрерывных в точке

Перечисленные ниже свойства являются простым следствием соответствующих свойств пределов функций.

1. Если функция f непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

2. Если функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) 6= 0, то существует

окрестность U(a), в которой |f(x)| > |f(a)|. Более того, если f(a) > 0, то

2

f(x) > f(2a), x U(a), а если f(a) < 0, то f(x) < f(2a), x U(a).

3.(арифметические свойства). Пусть функции f и g непрерывны в точке a, тогда в точке a непрерывны также функции: f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x), если g(x) 6= 0.

27

Лемма 4.1. (непрерывность суперпозиции функций) Если функция ϕ(x) непрерывна в точке a и функция f(y) непрерывна в точке b = ϕ(a), то функция F (x) = f(ϕ(x)) – непрерывна в точке a.

Доказательство. Зададим ε > 0. Вследствие непрерывности функции f в точке b существует δ1 > 0 такое, что f(y) определена на интервале (b−δ1, b+ δ1) и выполняется неравенство:

|f(y) − f(b)| < ε, если |y − b| < η.

А в силу непрерывности функции ϕ в точке a существует δ > 0 такое, что ϕ(x) определена на интервале (a − δ, a + δ) и

|ϕ(x) − ϕ(a)| < η для |x − a| < δ.

Из этих двух неравенств при y = ϕ(x) и b = ϕ(a) следует

|f(ϕ(x)) − f(ϕ(a))| < ε для |x − a| < δ,

что и означает непрерывность F (x) = f(ϕ(x)) в точке a.

Функция f называется непрерывной справа в точке a, если существует f(a+ 0) = f(a). Функция f называется непрерывной слева в точке a, если существует f(a − 0) = f(a).

Лемма 4.2. Если f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в точке a.

Доказательство. Следует из леммы 3.2 параграфа §3.

4.2Классификация разрывов

Определение 4.4. Если функция f не является непрерывной в точке a, но

существует конечный предел lim f(x), то говорят, что f имеет устрани-

x→a

мый разрыв в точке a.

В обоих случаях lim f(x) существует, но f разрывна в a, так как (см. рис. 1) f – не определена

x→a

в a и (см. рис. 2) f(a) 6= α = lim f(x). Разрывы функций в точке a легко устраняются. В первом

x→a

случае f нужно доопределить в точке a, а во втором – видоизменить, положив f(a) = lim f(x) = α.

x→a

Определение 4.5. Точка a называется точкой разрыва 1-го рода для

0) = lim f(x) и они не совпадают.

x→a−0

Если функция определена в точке a и f(a + 0) = f(a), то функция называется непрерывной справа. Если же f(a − 0) = f(a), то функция называется непрерывной слева.

28

Примеры графиков функций, имеющих разрыв 1-го рода в точке a.

Определение 4.6. Если f определена в некоторой проколотой окрестности

ˇ

U(a) и имеет разрыв в точке a, не являющийся устранимым разрывом или разрывом 1-го рода, то она имеет в a разрыв 2-го рода.

Разрыв второго рода может быть бесконечным или конечным. Функция f имеет бесконечный разрыв в точке a, если она непрерывна в любой точке

достаточно малой окрестности ˇ и не ограничена в . Например,

U(a) U(a) f(x) = tg x имеет бесконечный разрыв в точках xk = π2 + kπ, k Z.

В то же время, функция f(x) = sin x1 (x R, x 6= 0) ограничена и непре-

рывна во всех точках, кроме точки 0, где она имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке не существуют оба односторонних предела.

4.3Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 4.7. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на (a, b), непрерывна слева в точке b и непрерывна справа в точке a.

Теорема 4.1. (1-ая теорема Вейерштрасса) Если f непрерывна на отрезке

[a, b], то она ограничена на [a, b].

Доказательство. Допустим, что f не ограничена на [a, b]. Тогда для любого n N существует xn [a, b] такое, что |f(xn)| > n. Последовательность {xn} ограничена, поэтому согласно теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность {xnk } : xnk → ξ, причем ξ [a, b] в силу замкнутости отрезка. Так как f непрерывна на [a, b],

то lim f(xnk ) = f(ξ). С другой стороны, |f(xnk )| > nk, т. е. последовательность {f(xnk )}

k→+∞

не может иметь конечного предела. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Теорема 4.2. (2-ая теорема Вейерштрасса) Если f непрерывна на отрезке

[a, b], то она достигает на [a, b] своих точных граней, т. е. существуют

Доказательство. По теореме 4.1 непрерывная на [a, b] функция ограничена, поэтому имеет конечные верхнюю sup f(x) = M и нижнюю inf f(x) = m грани. В силу определения

sup для любых n N существует xn [a, b] такое, что

29

Из ограниченной последовательности {xn} выделим сходящуюся подпоследовательность:

xnk → ξ [a, b]. Так как f(x) непрерывна на [a, b], то lim f(xnk ) = f(ξ). А из (4.3) следует

k→+∞

одному пределу, поэтому M = f(ξ). Аналогично доказывается другая часть теоремы.

Замечание 4.1. Очевидно, что f(ξ) это максимальный элемент множества значений функции {y = f(x)| x [a, b]}, поэтому f(ξ) = sup f(x) =

Замечание 4.2. Как видно из доказательств теорем Вейерштрасса, по существу использовано лишь следующее свойства отрезка: из любой последовательности его точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, при этом предел этой подпоследовательности принадлежит отрезку. Это свойство служит определением компактного множества (компакта), поэтому результаты теорем могут быть обобщены следующим образом: если функция f(x) непрерывна на компакте, то она ограничена и достигает своих максимального и минимального значений. В R компактом является любое ограниченное и замкнутое множество.

Теорема 4.3. (теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях) Если f

непрерывна на отрезке [a, b] и число C лежит между f(a) = A и f(b) = B, то существует число c (a, b) такое, что f(c) = C.

Доказательство. Будем считать для определенности, что A < B. Пусть g(x) = f(x) − C, тогда функция g(x) непрерывна на [a, b] и g(a) < 0 < g(b). Следует доказать, что найдется точка c (a, b) такая, что g(c) = 0.

Построим последовательность вложенных отрезков I1 I2 . . . по следующему правилу. Положим I1 = [a, b] и пусть x1 середина I1. Если g(x1) = 0, то c = x1 и теорема доказана. Пусть g(x1) 6= 0, в качестве I2 возьмем тот из отрезков [a, x1], [x1, b], на концах которого g(x) имеет различные знаки. Если I1 I2 . . . In−1 построены и xn−1 середина In−1, причем g(xn−1) 6= 0, то In – тот из двух подотрезков In−1, на концах которого g имеет различные

Действительно, если мы допустим, что g(c) > 0, то в силу непрерывности g существует окрестность U(c), в которой g(x) > 0. Но In U(c) при достаточно большом n, а так как на концах In функция g(x) принимает разные знаки, то g(x) не может быть положительной во всей окрестности U(c). Аналогично опровергается предположение g(c) < 0.

Следствие 4.1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и M =

только эти значения.

4.4Равномерная непрерывность. Продолжение по непрерывности

Определение 4.8. Функция f : E → R (E N) называется равномерно непрерывной на E, если

ε > 0 δ > 0 : x, y E (|x − y| < δ |f(x) − f(y)| < ε).

Теорема 4.4. (Теорема Кантора) Если f непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].

Доказательство. Предположим противное, т.е.

ε > 0 : δ > 0 x, y [a, b] : (|x − y| < δ, но |f(x) − f(y)| ≥ ε).

Будем брать δ = 1/k, k = 1, 2, 3, . . .. Тогда существуют пары чисел xk, yk [a, b] такие, что

30