Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Semestr1-hyper1

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
943.96 Кб
Скачать

Определение 3.3. (Определение Коши) Число α называется пределом функции f(x) в точке a, если:

ˇ

(3.1)

ε > 0 δ > 0 : x E ∩ Uδ(a) (|f(x) − α| < ε).

Используемые обозначения для предела: α = lim f(x) или f(x) → α при

x→a

x → a. Подчеркнем, что понятие предела функции в точке a вводится только для предельных точек a области определения функции, при этом функция может быть и не определена в точке a.

Лемма 3.1. Определения 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Пусть α = lim f(x) в смысле определения 3.2, а (3.1) не выполняется.

x→a

Это значит, что существует хотя бы одно ε > 0 (обозначим его ε0), такое, что для любого

ˇ | − | ≥

δ > 0 существует x E Uδ(a), для которого f(x) α ε0. Будем брать в качестве δ числа

ˇ \{ }

вида δ = 1/n, n = 1, 2, 3, . . . , и для каждого из них найдем точку xn E U1/n(a) E a , для которой |f(xn) − α| ≥ ε0. Но это противоречит определению 3.2.

Пусть теперь α = lim f(x) в смысле определения 3.3, т.е. справедливо (3.1). Возьмем

x→a

произвольную последовательность {xn} E \ {a}, сходящуюся к a. Подберем натуральное число N так, чтобы |xn−a| < δ для любых n > N. Тогда, согласно условию (3.1) |f(xn)−α| <

ε для любых n > N, т. е. f(xn) → α. Это означает, что α = lim f(x) и в смысле определения

x→a

3.2.

Свойства пределов функций

1. Если определена в некоторой проколотой окрестности ˇ точки , f(x) V (a) a

то существует ˇ , в которой ограничена.

U(a) f(x)

Доказательство. Так как lim f(x) = α, то для ε = 1 существует δ > 0 такое, что

x→a

если 0 < |x − a| < δ, то |f(x) − α| < 1. Таким образом, для некоторой проколотой

ˇ

|f(x)| − |α| ≤ |f(x) − α| < 1,

окрестности U(a) точки a справедливы неравенства

ˇ

 

откуда |f(x)| < |α| + 1 для x U(a).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˇ

 

 

 

 

 

 

 

2. Если f(x) определена в некоторой проколотой окрестности V (a) точки a

lim f(x) = α = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uˇ

(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) >

|α|, x

 

 

Uˇ

(a)

 

и x a

 

 

 

6

 

, то существует

 

 

 

такая, что

|

 

|

 

2

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом f(x) >

если α > 0 и f(x) <

если α < 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f(x) = α = 0

 

ε =

|α| > 0

 

 

 

 

 

 

 

Uˇ

(a)

 

 

 

Доказательство. Пусть x

a

6

 

и

 

 

 

2

 

 

 

. Тогда существует

 

 

 

 

такая,

 

 

 

Uˇ (a) :

 

f(x)

 

 

 

 

|α|

 

 

f(x) > |α|

 

 

α > 0

 

f(x) >

 

α

 

 

 

 

x

 

 

 

 

α

 

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что

 

 

 

|

α

 

 

|

 

 

2

 

, поэтому |

 

 

|

 

2

 

. Если

 

 

, то

 

 

 

 

 

2

, а если

α < 0, то f(x) <

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. (Арифметические свойства) Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой

проколотой окрестности ˇ точки . Тогда справедливы равенства:

V (a) a

lim(f(x)

±

g(x)) = lim f(x)

lim g(x),

 

x→a

 

 

 

x→a

 

 

 

 

± x→a

 

lim f(x)

·

g(x) = lim f(x)

·

lim g(x),

 

x

a

 

 

 

 

x

a

 

 

 

x

a

(3.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

 

 

lim f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

=

x→a

 

,

(lim g(x) = 0),

 

g(x)

 

 

x

a

 

 

lim g(x)

 

x

a

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→a

в том смысле, что если определены правые части, то определены левые, и они равны.

21

Доказательство. Пусть определены правые части равенств (3.2): lim f(x) = α и

x→a

lim g(x) = β. Пусть {xn} – произвольная последовательность чисел xn 6= a, сходя-

x→a

щаяся к a. Тогда lim f(xn) = α, lim g(xn) = β. Но для числовых последовательностей {f(xn)} и {g(xn)} арифметические свойства доказаны ранее, именно,

 

 

lim(f(xn) ± g(xn)) = lim f(xn) ± lim g(xn),

 

 

 

lim f(xn) · g(xn) = lim f(xn) · lim g(xn),

 

lim

f(xn)

lim f(xn)

lim g(x) = 0).

 

 

 

 

g(xn)

= lim g(xn) , (lim g(xn) 6= 0, так как

 

x→a

6

Поскольку эти равенства выполняются для любой последовательности xn → a, xn 6= a, то равенства (3.2) также справедливы.

4.Пусть f(x), g(x) и ϕ(x) определены в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, и удовлетворяют неравенствам

f(x)

ϕ(x)

g(x)

 

lim f(x) = lim g(x) = α

lim ϕ(x) = α

.

 

 

 

. Пусть x a

x

a

. Тогда x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Пусть xn → a,

xn 6= a – произвольная последовательность. При

достаточно больших n f(xn)

≤ ϕ(xn) ≤ g(xn). Так как при этом lim f(xn) =

α и

lim g(xn) = α, то lim ϕ(xn) = α. В силу того, что {xn} является произвольной последовательностью, сходящейся к a, утверждение теоремы доказано.

Первый замечательный предел

lim

sin x

= 1.

 

x→0

x

 

 

y 6

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

TT

 

 

 

x

T

-

 

TM

0

 

 

x

Доказательство. Рассмотрим часть единичного круга. Из обозначений на рисунке легко видеть, что площадь 4AOM < площади сектора OAM < площади 4OMN, т. е.

 

 

 

1

sin x <

1

x <

1

tg x

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(здесь x – радианная мера AOM). Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x < x < tg x 1 <

x

<

 

1

 

при x (0, π/2).

 

 

 

 

 

 

 

sin x

cos x

Поскольку lim cos x = 1, то lim

sin x

= lim

 

x

 

= 1.

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x→0

x→0

x→0 sin x

 

 

 

 

3.3Критерий Коши существования конечного предела функции

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на множестве E, и a – предельная точка E.

Теорема 3.2. Для того, чтобы существовал конечный предел lim f(x), необ-

x→a

ходимо и достаточно выполнения следующего условия Коши:

ˇ

0

, x

00

ˇ

0

00

)| < ε.

(3.3)

ε > 0 U(a) :

x

 

U

(a) ∩ E (|f(x

) − f(x

Доказательство. Необходимость. Пусть существует конечный предел lim f(x) = α. Тогда

ˇ

ˇ

x→a

любого ε > 0 существует U

(a) такая, что для x U

(a) ∩E : |f(x) −α| < ε/2. Таким образом,

0 00 ˇ ∩ | 0 00 | ≤ | 0 − | | 00 − |

если x , x U(a) E, то f(x ) f(x ) f(x ) α + f(x ) α < ε, т. е. выполняется условие Коши (3.3).

22

Достаточность. Пусть выполнено (3.3). Возьмем произвольную последовательность {xn}, xn E \ {a}, сходящуюся к a. Тогда, согласно критерию Коши для числовой последова-

ˇ

тельности, найдется N N такое, что для любых n, m > N : xn, xm U(a). Но тогда |f(xn) − f(xm)| < ε при любых n, m > N, т. е. числовая последовательность {f(xn)} удовлетворяет условию Коши и, следовательно, имеет предел. Таким образом, мы доказали следующее свойство рассматриваемой функции: для любой сходящейся к a последователь-

ности xn 6= a существует lim f(xn). Для завершения доказательства существования lim f(x)

x→a

необходимо показать, что lim f(xn) будет один и тот же для любой последовательности

xn → a, xn 6= a. Пусть xn → a, x0n → a (xn, x0n 6= a, n = 1, 2, . . .). По доказанному выше, существуют lim f(xn) и lim f(x0n). Предположим, что lim f(xn) = α, lim f(x0n) = α0. Составим

новую числовую последовательность: {x1, x01, x2, x02, . . .}. Очевидно, что x00n → a. Но тогда должен существовать lim f(x00n), что возможно только тогда, когда α = α0. Итак, для любой последовательности xa, xn 6= a, существует lim f(xn) = α, что означает: существует

lim f(x) = α.

x→a

3.4Обобщения и модификации понятия предела функции в точке

Пределы в бесконечных точках и бесконечные пределы

Понятия предела функции можно обобщить на случай, когда α – несобственная точка.

Определение 3.4. lim f(x) = ∞, если a – предельная точка множества E

x→a

и

 

lim f

x

M > 0 U(a) : x Uˇ (a) \ E (|f(x)ˇ| > M).

f

x

 

>

 

Если

) = ∞ и в некоторой окрестности

U a

) функция

)

0

x a

(

 

(

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(соответственно f(x) < 0), то пишут: lim f(x) = +∞ (соответственно

x→a

lim f(x) = −∞).

x→a

Определение 3.5. Число α называется пределом функции f в ∞ (обозна-

ˇ

чение lim f(x) = α), если f(x) определена в некоторой окрестности U( ) и

x→∞

для любой сходящейся к ∞ последовательности {xn} справедливо f(xn) → α. Последнее условие можно заменить эквивалентным условием:

ˇ

ˇ

 

 

 

ε > 0 U(∞) : x U(∞) (|f(x) − α| < ε).

Аналогично определяются lim

f(x)

и lim

f(x). Единственное отличие

x→+∞

 

x→−∞

ˇ

ˇ

состоит в том, что используются, соответственно, U(+∞) и U(−∞)

Односторонние пределы

Пусть f – некоторая числовая функция, определенная на множестве E.

Определение 3.6. Число α R называется пределом функции в точке a

справа (обозначение lim f(x) = α), если a – предельная точка множества

x→a+0

E ∩ (a, +∞) и

для любой последовательности {xn}, xn > a, xn E : xn → a f(xn) → α.

(3.4)

Условие (3.4) эквивалентно следующему условию:

для любой окрестности V (α) δ > 0 : x E ∩(a, a+δ) : f(x) V (α). (3.40)

Определение 3.7. Число α R называется пределом функции в точке a

слева (обозначение lim f(x) = α), если a – предельная точка множества

x→a−0

E ∩ (−∞, a) и

для любой последовательности {xn}, xn < a, xn E : xn → a f(xn) → α.

(3.5)

23

(|f(x) − α| < ε). (3.6)
lim f(x) = lim f(x) =
x→a−0 x→a+0

Условие (3.5) эквивалентно следующему условию:

для любой окрестности V (α) δ > 0 : x E ∩(a−δ, a) : f(x) V (α). (3.50)

Лемма 3.2. Пусть f(x) определена в некоторой проколотой окрестности

ˇ

U(a) точки a. Предел lim f(x) в R существует тогда и только тогда, когда

x→a

существуют оба односторонних предела lim f(x) и lim f(x) и они равны.

x→a−0 x→a+0

Доказательство. Необходимость. Пусть существует lim f(x) = α R, т. е.

x→a

для любой окрестности V (α) δ > 0 : x E ∩ (a − δ, a) ∩ (a, a + δ)

Тогда очевидно выполнены условия (3.40) и (3.50), так что существуют

α

Достаточность. Пусть существуют lim f(x) = lim f(x) = α, т. е. выполнены условия

x→a−0 x→a+0

(3.40) и (3.50). Выбирая в этих условия одинаковые δ, получим как следствие условие (3.6),

т.е. существование двухстороннего предела lim f(x) = α.

x→a

y 6

y

6

y 6

3

3

 

3

2

2

-

2I

 

1

 

1

 

-

 

 

1

-0

-

 

-

R0

-

x

0

x

x

−1

−1

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

f(x) = 2,

 

 

lim f(x) =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. x→0+0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0−0

 

(существуют), x→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– не существует.

 

 

Рис. 2.

 

lim

f(x) = 2 (существует),

lim f(x) – не существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→+∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

lim

 

f(x) =

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f(x)

 

 

Рис. 3.

lim f(x) = 1,

 

 

 

lim f(x) = 3,

 

 

(существует),

– не

 

x

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0+0

 

 

x

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

существует.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 6

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

y 6

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

x a 0 f(x) = +∞, x a+0

−∞ x a 0

x a+0

−∞

lim

lim f(x) =

lim f(x) =

lim f(x) =

 

→ −

→ −

 

3.5Второй замечательный предел

Ранее было определено число e как предел числовой последовательности: e = lim 1 + n1 n . Теперь мы установим более общий результат:

lim 1 + 1 x = e.

x→∞ x

Очевидно, достаточно доказать это равенство для случаев x → +∞ и x → −∞. Пусть x → +∞. Тогда справедливы неравенства:

 

1

 

[x]

1

 

x

 

1

 

[x]+1

 

1 +

 

 

 

< 1 +

 

 

 

< 1 +

 

 

,

(3.7)

[x] + 1

 

x

 

[x]

24

 

1

 

[x]

1

где [x] – целая часть числа x. Последовательности 1 +

 

и 1 +

 

 

[x] + 1

[x]

вые и их пределы равны числу e. Отсюда и из неравенств (3.7) следует lim

x→+∞

Пусть теперь x → −∞. Тогда

[x]+1

– число-

1 + x1 x = e.

x→−∞

1

 

 

x

1

 

−y

 

y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

= y→+∞ 1 − y

 

y→+∞ y − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1 +

 

 

 

 

lim

 

 

 

= lim

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= y→+∞

 

1

 

y−1

·

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y − 1

 

y − 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

1 +

 

 

 

 

 

1 +

 

 

= e.

3.6Порядок функции. Эквивалентность функций (асимптотика)

Определение 3.8. Функция f имеет порядок функции ϕ на множестве E, или f есть O большое от ϕ на E (обозначение: f(x) = O(ϕ(x)), x E), если

|f(x)| ≤ C|ϕ(x)|, x E,

где C – не зависящая от x постоянная.

Определение 3.9. Пусть функции f и g определены в некоторой проколо-

ˇ

той окрестности U(a) точки a.

Функция f есть "o малое от функции g"при x → a (обозначение f(x) = o(g(x)), x → a), если

f(x) = ε(x)g(x), где функция ε(x) → 0 при x → a.

 

 

g(x) = 0

 

ˇ

f(x)

= 0.

 

 

 

U(a)

lim

(если

 

 

6

в

 

, то эквивалентная запись x→a

g(x)

 

 

Функция f есть "O большое от функции g(x)"при x → a (обозначение

 

 

 

 

 

 

 

ˇ

ˇ

f(x) = O(g(x)), x → a), если существует U(a) такая, что f(x) = O(g(x)), x U(a).

Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x → a (обозначение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˇ

f(x) ' g(x), x → a), если f и f не равны нулю в некоторой U(a) и если

lim

f(x)

 

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→a g(x)

 

 

 

 

 

 

 

Лемма 3.3. f(x) ' g(x), x → a, тогда и только тогда, когда f(x) = g(x) + o(g(x)), x → a.

Доказательство. Пусть f(x) ' g(x), x → a и r(x) = f(x) − g(x). Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

r(x)

= lim

f(x)

1

= 0,

x

a g(x)

x

a

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому r(x) = o(g(x)), x→a и, следовательно, f(x) = g(x) + o(g(x)), x → a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

Обратно, пусть f(x) = g(x) + o(g(x)), x → a Тогда

 

= 1 + o(1), x → a, т. е. f(x) '

g(x)

g(x), x → a

Лемма 3.4. Если f(x) ' ϕ(x), x → a и функция ψ(x) определена в некоторой

ˇ

 

U(a), то lim f(x)ψ(x) = lim ϕ(x)ψ(x) в том смысле, что если определена одна

x→a

x→0

из частей равенства, то определена и другая и они равны.

Доказательство. Пусть, например, определена правая часть равенства. Тогда lim f(x)ψ(x) =

x→a

lim f(x)

x→a ϕ(x)

· ϕ(x)ψ(x) = lim ϕ(x)ψ(x).

x→a

Примеры.

1.sin x ' x, x → 0 (эквивалентная запись 1-го замечательного предела).

2.1 − cosx ' 12 x2, x → 0. 3. x2 = o(x), x → 0.

4.x = o(x2), x → ∞.

5.x = O(sin x), x → 0.

Упражнения

25

1.Пусть f(x) > g(x) в некоторой проколотой окрестности точки a R и существуют пределы f(x) и g(x) в точке a. Доказать, что lim f(x) ≥ lim g(x). Можно ли последнее

x→a x→a

неравенство заменить на строгое?

2.Является ли произведение двух монотонных функций монотонной функцией?

3.Пусть lim f(x) 6= 0, а lim g(x) не существует. Доказать, что lim f(x)g(x) не суще-

x→x0

x→x0

 

 

 

 

x→x0

ствует.

 

 

 

 

 

 

 

4. Пусть lim f(x) = 0, а

lim g(x) не существует. Когда существует lim f(x)g(x)?

x→x0

x→x0

 

 

 

 

x→x0

5. Функции f и g неотрицательны. Доказать, что

 

 

 

 

sup(f(x)g(x)) ≤ sup f(x) · sup g(x),

 

x A

x A

x A

 

inf (f(x)g(x))

inf f(x)

inf g(x).

 

x

 

A

 

· x

 

A

 

 

x A

 

Можно ли здесь знаки неравенства заменить на равенство?

26

§4 Непрерывные функции

4.1Определение и основные свойства функций, непрерывных в точке

Определение 4.1. Функция f называется непрерывной в точке a, если

она определена в некоторой окрестности U(a) точки a и lim f(x) = f(a).

x→a

Мы имеем два эквивалентных определения предела функции в точке, поэтому данное определение можно развернуть двумя эквивалентными способами:

Определение 4.2. Функция f называется непрерывной в точке a, если она определена в некоторой U(a) точки a и выполнено одно из следующих условий:

ε > 0 δ > 0 : x (a − δ, a + δ) (|f(x) − f(a)| < ε),

(4.1)

для любой последовательности {xn} : xn → a f(xn) → f(a).

(4.2)

Если функция не является непрерывной в точке a, то говорят, что она разрывна в точке a. В случае, когда функция определена на U(a), разрывность в точке a можно определить на языке (ε, δ) следующим образом:

ε > 0 : δ > 0 x (a − δ, a + δ) (|f(x) − f(a)| ≥ ε).

y

 

6

 

 

 

 

y

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(a)+ε

 

 

 

 

 

f(a)+ε0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

)

 

 

 

 

 

f(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(af)(aε

 

 

 

 

 

f(a)

ε0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

a−δ a a+δ

x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

a−δ a a+δ

x

 

 

 

 

Рис. 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

 

На рис. 1 изображена непрерывная кривая ("непрерывность" понимается в интуитивном смысле – кривую можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги). Пусть эта кривая является графиком некоторой функции f(x). Тогда ε > 0 δ > 0 x (a −δ, a + δ) (|f(x) − f(a)| < ε) (все это видно на рисунке) и, следовательно, математическое определение непрерывности функции отвечает интуитивному понятию непрерывности кривой.

На рис. 2 изображена разрывная кривая, состоящая из двух кусков. Разрыв имеет место в точке a. На рисунке видно, что существует ε0 > 0 такое, что для любых δ > 0 существует x (a − δ, a + δ) такое, что |f(x) − f(a)| ≥ ε0. Таким образом, разрывному графику соответствует разрывная функция.

Основные свойства функций, непрерывных в точке

Перечисленные ниже свойства являются простым следствием соответствующих свойств пределов функций.

1. Если функция f непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

2. Если функция f(x) непрерывна в точке a и f(a) 6= 0, то существует

окрестность U(a), в которой |f(x)| > |f(a)|. Более того, если f(a) > 0, то

2

f(x) > f(2a), x U(a), а если f(a) < 0, то f(x) < f(2a), x U(a).

3.(арифметические свойства). Пусть функции f и g непрерывны в точке a, тогда в точке a непрерывны также функции: f(x) ± g(x), f(x) · g(x), f(x)/g(x), если g(x) 6= 0.

27

Лемма 4.1. (непрерывность суперпозиции функций) Если функция ϕ(x) непрерывна в точке a и функция f(y) непрерывна в точке b = ϕ(a), то функция F (x) = f(ϕ(x)) – непрерывна в точке a.

Доказательство. Зададим ε > 0. Вследствие непрерывности функции f в точке b существует δ1 > 0 такое, что f(y) определена на интервале (b−δ1, b+ δ1) и выполняется неравенство:

|f(y) − f(b)| < ε, если |y − b| < η.

А в силу непрерывности функции ϕ в точке a существует δ > 0 такое, что ϕ(x) определена на интервале (a − δ, a + δ) и

|ϕ(x) − ϕ(a)| < η для |x − a| < δ.

Из этих двух неравенств при y = ϕ(x) и b = ϕ(a) следует

|f(ϕ(x)) − f(ϕ(a))| < ε для |x − a| < δ,

что и означает непрерывность F (x) = f(ϕ(x)) в точке a.

Определение 4.3. Обозначим

f(a + 0) =

 

lim

f

(

x

) и

f

(

a

lim

 

f(x)

.

 

x

a+0

 

 

 

 

− 0) = x a

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→ −

 

 

 

Функция f называется непрерывной справа в точке a, если существует f(a+ 0) = f(a). Функция f называется непрерывной слева в точке a, если существует f(a − 0) = f(a).

Лемма 4.2. Если f непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в точке a.

Доказательство. Следует из леммы 3.2 параграфа §3.

4.2Классификация разрывов

Определение 4.4. Если функция f не является непрерывной в точке a, но

существует конечный предел lim f(x), то говорят, что f имеет устрани-

x→a

мый разрыв в точке a.

y

 

6

 

 

 

 

y

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

-

0

 

 

a

x

0

 

 

a

x

 

 

 

Рис. 1.

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.

 

 

 

lim

f(x)=lim f(x)=α

 

 

 

 

 

lim

f(x)=lim f(x)=α

 

 

 

x→a+0

x→a−0

 

 

 

 

 

x→a+0

 

x→a−0

 

 

 

f(x) - не определена в точке a

 

 

 

 

f(a) 6= α

 

В обоих случаях lim f(x) существует, но f разрывна в a, так как (см. рис. 1) f – не определена

x→a

в a и (см. рис. 2) f(a) 6= α = lim f(x). Разрывы функций в точке a легко устраняются. В первом

x→a

случае f нужно доопределить в точке a, а во втором – видоизменить, положив f(a) = lim f(x) = α.

x→a

Определение 4.5. Точка a называется точкой разрыва 1-го рода для

функции

f

, если существуют конечные пределы

f

 

a

lim

f(x)

и

f(a

 

 

(

 

+ 0) = x→a+0

 

 

0) = lim f(x) и они не совпадают.

x→a−0

Если функция определена в точке a и f(a + 0) = f(a), то функция называется непрерывной справа. Если же f(a − 0) = f(a), то функция называется непрерывной слева.

28

Примеры графиков функций, имеющих разрыв 1-го рода в точке a.

 

y

 

6

 

 

 

 

y

 

6

 

 

y

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

a

x

0

 

a

x

0

 

a

x

 

 

 

 

Рис. 1.

 

 

 

 

 

Рис. 2.

 

 

 

 

Рис. 5.

 

 

 

 

 

 

f(a+0)6=f(a),

 

 

 

 

 

f(a+0)6=f(a),

 

 

 

 

f(a+0)6=f(a−0),

 

 

 

 

 

 

f(a−0)6=f(a),

 

 

 

 

 

f(a−0)=f(a),

 

 

 

 

f не определена в a.

 

 

 

 

 

 

f - разрывна справа и слева.

 

 

 

f - разрывна справа и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

непрерывна слева.

 

 

 

 

 

 

 

Определение 4.6. Если f определена в некоторой проколотой окрестности

ˇ

U(a) и имеет разрыв в точке a, не являющийся устранимым разрывом или разрывом 1-го рода, то она имеет в a разрыв 2-го рода.

Разрыв второго рода может быть бесконечным или конечным. Функция f имеет бесконечный разрыв в точке a, если она непрерывна в любой точке

достаточно малой окрестности ˇ и не ограничена в . Например,

U(a) U(a) f(x) = tg x имеет бесконечный разрыв в точках xk = π2 + kπ, k Z.

В то же время, функция f(x) = sin x1 (x R, x 6= 0) ограничена и непре-

рывна во всех точках, кроме точки 0, где она имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке не существуют оба односторонних предела.

4.3Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 4.7. Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на (a, b), непрерывна слева в точке b и непрерывна справа в точке a.

Теорема 4.1. (1-ая теорема Вейерштрасса) Если f непрерывна на отрезке

[a, b], то она ограничена на [a, b].

Доказательство. Допустим, что f не ограничена на [a, b]. Тогда для любого n N существует xn [a, b] такое, что |f(xn)| > n. Последовательность {xn} ограничена, поэтому согласно теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность {xnk } : xnk → ξ, причем ξ [a, b] в силу замкнутости отрезка. Так как f непрерывна на [a, b],

то lim f(xnk ) = f(ξ). С другой стороны, |f(xnk )| > nk, т. е. последовательность {f(xnk )}

k→+∞

не может иметь конечного предела. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Теорема 4.2. (2-ая теорема Вейерштрасса) Если f непрерывна на отрезке

[a, b], то она достигает на [a, b] своих точных граней, т. е. существуют

точки

ξ

[

a, b

] и

η

[

a, b

], для которых sup

f

(

x

) =

f

(

ξ

)

,

 

inf

f(x) = f(η)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

[a,b]

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x [a,b]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. По теореме 4.1 непрерывная на [a, b] функция ограничена, поэтому имеет конечные верхнюю sup f(x) = M и нижнюю inf f(x) = m грани. В силу определения

x [a,b]

x [a,b]

sup для любых n N существует xn [a, b] такое, что

1

< f(xn) ≤ M.

(4.3)

M − n

29

Из ограниченной последовательности {xn} выделим сходящуюся подпоследовательность:

xnk → ξ [a, b]. Так как f(x) непрерывна на [a, b], то lim f(xnk ) = f(ξ). А из (4.3) следует

k→+∞

1

< f(xnk ) ≤ M, поэтому klim f(xnk ) = M. Но f(xnk ) может сходиться только к

M −

 

 

n

 

 

 

k

→∞

одному пределу, поэтому M = f(ξ). Аналогично доказывается другая часть теоремы.

Замечание 4.1. Очевидно, что f(ξ) это максимальный элемент множества значений функции {y = f(x)| x [a, b]}, поэтому f(ξ) = sup f(x) =

 

 

x [a,b]

max f(x). Аналогично, f(η) =

inf

f(x) = min f(x).

x [a,b]

x [a,b]

x [a,b]

Замечание 4.2. Как видно из доказательств теорем Вейерштрасса, по существу использовано лишь следующее свойства отрезка: из любой последовательности его точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, при этом предел этой подпоследовательности принадлежит отрезку. Это свойство служит определением компактного множества (компакта), поэтому результаты теорем могут быть обобщены следующим образом: если функция f(x) непрерывна на компакте, то она ограничена и достигает своих максимального и минимального значений. В R компактом является любое ограниченное и замкнутое множество.

Теорема 4.3. (теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях) Если f

непрерывна на отрезке [a, b] и число C лежит между f(a) = A и f(b) = B, то существует число c (a, b) такое, что f(c) = C.

Доказательство. Будем считать для определенности, что A < B. Пусть g(x) = f(x) − C, тогда функция g(x) непрерывна на [a, b] и g(a) < 0 < g(b). Следует доказать, что найдется точка c (a, b) такая, что g(c) = 0.

Построим последовательность вложенных отрезков I1 I2 . . . по следующему правилу. Положим I1 = [a, b] и пусть x1 середина I1. Если g(x1) = 0, то c = x1 и теорема доказана. Пусть g(x1) 6= 0, в качестве I2 возьмем тот из отрезков [a, x1], [x1, b], на концах которого g(x) имеет различные знаки. Если I1 I2 . . . In−1 построены и xn−1 середина In−1, причем g(xn−1) 6= 0, то In – тот из двух подотрезков In−1, на концах которого g имеет различные

 

знаки. По лемме о вложенных отрезках существует точка c

n\

In. Докажем, что g(c) = 0.

 

=1

Действительно, если мы допустим, что g(c) > 0, то в силу непрерывности g существует окрестность U(c), в которой g(x) > 0. Но In U(c) при достаточно большом n, а так как на концах In функция g(x) принимает разные знаки, то g(x) не может быть положительной во всей окрестности U(c). Аналогично опровергается предположение g(c) < 0.

Следствие 4.1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и M =

max f(x), m =

min f(x). Тогда f(x) принимает все значения из [m, M] и

x [a,b]

x [a,b]

только эти значения.

4.4Равномерная непрерывность. Продолжение по непрерывности

Определение 4.8. Функция f : E → R (E N) называется равномерно непрерывной на E, если

ε > 0 δ > 0 : x, y E (|x − y| < δ |f(x) − f(y)| < ε).

Теорема 4.4. (Теорема Кантора) Если f непрерывна на [a, b], то она равномерно непрерывна на [a, b].

Доказательство. Предположим противное, т.е.

ε > 0 : δ > 0 x, y [a, b] : (|x − y| < δ, но |f(x) − f(y)| ≥ ε).

Будем брать δ = 1/k, k = 1, 2, 3, . . .. Тогда существуют пары чисел xk, yk [a, b] такие, что

|xk − yk| <

1

, но |f(xk) − f(yk)| ≥ ε, k = 1, 2, . . . .

(4.4)

k

30

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]