16 4_Классическая семантика ЛП

Классическая семантика логики предикатов

Интерпретация:

I=< M, _f, _g, _h,…, _P, _Q, _R , ...>

M - произвольное множество.

Интерпретационные функции для функциональных и предикатных символов:

Если f⁽ⁿ⁾(x₁,…, x_n) , то _f : MM…M→M или N_f ={<a₁,…, a_n, b>| _f(a₁,…, a_n)=b}

Если P^(m)(x₁,…, x_m), то _P : MM…M→{0,1}или N_P={< a₁,…, a_n >|_P(a₁,…, a_n)=1}

Определим истинность формулы в интерпретации I:

1. I(t)M (индукцией по определению терма),

б) I(P(t₁, …, t_n))=1 <I(t₁),…, I(t_n)> N_p или _p(I(t₁),…, I(t_n))=1

в) I(F&G) = I(F)&I(G)

I(FG) = I(F) I(G)

I(FG) = I(F) I(G)

I(FG) = I(F) I(G)

I(FG) = I(F) I(G)

г) I(F)= I(F)

д) I(x F(x))=1 aM I(F(a))=1

I(x F(x))=1 aM I(F(a))=1

Формула F считается тождественно истинной или общезначимой тогда и только тогда, когда в каждой интерпретации I она истинна.

╞ F I I(F)=1

Формула F называется k- общезначимой тогда и только тогда, когда она истинна во всех интерпретациях, мощность множества M_I которых меньше или равна k.

╞^k F I(F)=1 |M_I| k

Критика.

1. Понятие множества М не определено. В наивной трактовке оно заведомо противоречивое.

2. Если М- бесконечное, то нет возможности проверить, истинна ли формула в данной интерпретации.

Пусть М={1,…,k} и предикатный символ P(x₁, …, x_n). Число интерпретационных функций для Р:

наборов – число интерпретационных

функций для Р.

Случай: n=2, k=8 (изобретение шахмат).