Структура общего решения неоднородной линейной системы.
Рассмотрим неоднородную линейную
систему (2.2):
.
Докажем следующие свойства ее решений:
Свойство 1. Сумма любого решения
системы (2.2) и любого решения соответствующей
однородной системы (4.2) является решением
системы (2.2).
Доказательство.
Пусть с1, с2,…,сn
– решение системы (2.2), а d1,
d2,…,dn
– решение системы (4.2) с теми же
коэффициентами при неизвестных. Подставим
в систему (2.2) xi=ci+di:
.
После перегруппировки слагаемых получим:
.
Но
Следовательно,
xi=ci+di
является решением системы (2.2).
Свойство 2. Разность любых двух
решений неоднородной системы (2.2) является
решением соответствующей однородной
системы (4.2).
Доказательство.
Пусть
и
-
решения системы (2.2). Тогда
Утверждение
доказано.
Следствие. Общее решение неоднородной
системы (2.2) представляет собой сумму
общего решения соответствующей однородной
системы (4.2) и частного решения системы
(2.2).
Пример.
Общее решение системы
можно записать в виде:
,
где
-
частное решение данной системы