Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция называется бесконечно малой функцией (бесконечно малой) при, если.

Определение 2. Функция называется бесконечно большой функцией (бесконечно большой) при, если.

Следствие. Функция прибесконечно малая, а- бесконечно большая.

Определение 3. Функции иназывается бесконечно малыми одного порядка малости при, если, причем .

Определение 4. Функции иназывается эквивалентными бесконечно малыми при, если.

Определение 5. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем, при, если.

Известны следующие свойства бесконечно малых.

1. Сумма конечного числа бесконечно малых – бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой и конечной величины – величина бесконечно малая.

3. Произведение бесконечно малых – бесконечно малая.

Свойства пределов функций

1. Предел постоянной равен самой постоянной. Это свойство следует из определения предела.

2. Постоянную можно выносить за знак предела.

.

3. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют.

.

4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если они существуют.

5. Предел отношения двух функций: ,если оба предела существуют и .

6. Если ,то .

7. Если и ,то . (Теорема о двух полицейских).

Первый замечательный предел

Докажем, что справедлива формула:

.

Прежде всего, заметим, что вследствие нечетности функции отношениепри, близком к 0, положительно при любом знаке. Достаточно предположить, чтоприближается к 0, оставаясь положительным. В противном случае мы сменим знак, что не повлияет на результат. Используем геометрическое доказательство. Рассмотрим сектор круга радиуса 1 с углом при вершине, равным.BM – дуга граничной окружности сектора, A – его вершина, AB = AM = 1. BD – отрезок касательной к дуге BM в точке B. BC – перпендикуляр, опущенный из точки B на отрезок AM.

В силу последовательной вложимости друг в друга треугольника ABM, сектора ABM и треугольника ABD соответствующие соотношения имеют место между площадями этих фигур: . Имеем. Поэтому получаем неравенство. Если мы поделим все части этого неравенства на, то в силу предположения о знакезнаки неравенства не изменятся. Поэтому мы имеем. А теперь устремимк нулю и применим теорему о двух полицейских. Мы получим. Осталось применить свойство 5) пределов для получения предела обратной величины:.

Второй замечательный предел и его следствия

Справедливы следующие формулы, называемые вторым замечательным пределом:

Равносильность этих формул следует из связи переменных: .

Мы получали число Непера из подобной формулы, где была последовательность, а не функция. Заметим, что здесь в первой из приведенных формул переменнаяможет стремиться как к, так и к, а также может просто расти по абсолютной величине, меняя знак произвольно. Приведенная формула имеет следующие следствия.

1. Если мы формально прологарифмируем вторую из приведенных формул, мы получим 1-е следствие второго замечательного предела:

.

2. Другим следствие второго замечательного предела является предел, получаемый из предыдущего заменой :

.

3. Рассмотрим теперь предел . Сделаем замену . При такой заменетогда и только тогда, когда. Получим