Свойства определенного интеграла

1. .

Подынтегральная функция в данном случае равна единице, следовательно, интегральная сумма Римана . Так как предел постоянной равен самой постоянной, ее предел, а, следовательно, и интеграл равен.

2. .

Не нарушая общности доказательства, считаем , тогда вычисляя интегральную сумму Римана, начиная с точки, получаем все. Если вычислять сумму Римана, идя от точкик,,а . Следовательно, суммы Римана при одном способе разбиения отрезка интегрирования и выборе точек, при движении слева направо и справа налево будут отличаться знаком, что доказывает теорему.

3. , еслипостоянная.

Доказательство. Общий множитель можно вынести за знак интегральной суммы, а затем как постоянную за знак предела:

4. .

Доказательство.

.

5. при любом, если все три интеграла существуют.

Доказательство. Если точка внутренняя точка отрезка интегрирования, то выбрав ее в качестве одной из точек разбиения интервала, получаем, что интегральная сумма левого интеграла равна сумме интегральных сумм, стоящих в правой части формулы. Доказательство легко обобщается и на случай, когда точкалежит вне отрезка интегрирования. Пусть, Применяя к интегралу только что доказанную формулу для внутренней точки, получаем

,

откуда следует

.

В ходе доказательства использовалось свойство 2.

6. , если на отрезке, где,.

Доказательство. В силу принятых условий . Но из свойства 4 следует

.

7. Первая теорема о среднем. Пусть инаименьшее и наибольшее значения функциина отрезке. Тогда, где.

Доказательство. Из условия теоремы на отрезке интегрирования имеем . Из предыдущего свойства получаеми

поскольку ипостоянные, используя третье и первое свойства определенного интеграла, имеемтогда

.

Поскольку , делим все части неравенства на, в результате

.

Обозначим , тогда с одной стороны,, с другой,

. Доказано.

8. Вторая теорема о среднем. е Вторая теорема о среднем.а на функции ство еорему имеем егральных сумм интегралов, стоящих в правой части форимулы.0000000000 Если подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, то , где.

Данное свойство доказывается с помощью теоремы для непрерывных функций: для любого числа , находящегося между наименьшим и наибольшим значениями функции на отрезке, внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой. Используя это утверждение, из первой теоремы о среднем получаем вторую.

Интеграл с переменным верхним пределом Формула Ньютона-Лейбница

Определение. Если переменная величина, то интегралназывается интегралом с переменным верхним пределом.

Очевидно, . Действительно, при изменении значения, меняются размеры криволинейной трапеции, следовательно, и ее площадь.

Теорема. Интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных подынтегральной функции.

Необходимо доказать, что . Подсчитаем

,

где . Тогда, что и требовалось доказать.

Формула Ньютона-Лейбница

Определенный интеграл может быть вычислен по формуле , гделюбая первообразная подынтегральной функции, то есть.

Доказательство. Пусть и- первообразные функции. Очевидно, производные этих функций равныи отличаются первообразные на постоянную, то есть. Рассмотрим это равенство при:. Поскольку, что следует из определения интеграла Римана, то. Теперь. Если принять, то, и формула Ньютона-Лейбница доказана.

Иногда удобнее использовать формулу Ньютона-Лейбница в следующем виде

,

причем вместо первообразной можно использовать неопределенный интеграл, так как при подстановке верхнего и нижнего пределов постоянная интегрирования сокращается. Итак,

.

Здесь вертикальная черта, снабженная верхним и нижним индексами, называется "символом подстановки". Смысл выражения означает, что после вычисления интеграла необходимо вместоподставить его значение.