Определение интеграла Римана, условия его существования

Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы Римана, если он конечен и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек.

Обозначается определенный интеграл , где по аналогии с неопределенным интеграломподынтегральная функция,подынтегральное выражение,инижний и верхний пределы интегрирования. Таким образом, формула вычисления определенного интеграла имеет вид

.

Однако эта формула весьма неудобна для использования, фактически она позволяет лишь приближенно вычислить значение интеграла, подсчитав интегральную сумму Римана для достаточно большого числа . В дальнейшем будет получена другая, значительно более удобная формула вычисления интеграла Римана.

При вычислении площади криволинейной трапеции вопрос о существовании определенного интеграла не ставится, поскольку должна быть непрерывной на отрезкефункцией, иначе не существует сама криволинейная трапеция, а ее площадь существует по определению. При этих условиях. Однако, в общем случае, когда определенный интеграл не связан с реальной задачей, ответ на вопрос о его существования не является очевидным.

Необходимое и достаточное условия существования определенного интеграла

Необходимое условие

Теорема. Для существования определенного интеграла подынтегральная функция на отрезке интегрирования должна быть ограниченной.

Доказательство от противного. Пусть у подынтегральной функции имеется особая точка , причем. В этом случае предел интегральной суммы Римана существенно зависит от выбора точек. Если всерасположены далеко от особой точки, сумма Римана имеет одно значение. Если одна из точекрасположена достаточно близко к особой точке, значение функции в ней может становиться сколь угодно большим, и интегральная сумма принимает другое, значительно большее значение. Предел интегральной суммы присущественно возрастает, стремясь к бесконечности. Естественно, он отличаться от предела, подсчитанного при далеких отзначениях. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае не выполняется требование независимости предела интегральной суммы от выбора точек, а значит, интеграл не существует.

Достаточное условие существования определенного интеграла

Теорема. Для существования определенного интеграла достаточно, чтобы , гдедлина наибольшего из элементарных отрезков.

Следствие 1. Определенный интеграл существует, если подынтегральная функция на отрезке интегрирования непрерывна.

Доказательство основано на следствии теоремы Кантора для непрерывной функции, которое утверждает, что

.

Тогда , откуда следует, то есть условие теоремы существования выполняется, и интеграл существует.

Следствие 2. Определенный интеграл от кусочно-непрерывной функции с конечным числом разрывов первого рода существует. Доказательство это следствия теоремы следующее: все точки разрыва функции включаются в число точек разбиения отрезка интегрирования, тогда между точками разбиения функция непрерывна, и работает первое следствие.