Транспортная задача

Постановка транспортной задачи

У m поставщиков сосредоточен однородный груз в количествах соответственно . Имеющийся груз необходимо доставить n потребителям , спрос которых равен соответственно . Известна стоимость перевозки единицы груза от i – го поставщика к j - му потребителю - . Требуется найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные затраты и вывоз грузов и удовлетворение потребностей.

Экономико-математическая модель задачи

Пусть - количество единиц груза, которое необходимо доставить от i – го поставщика к j - му потребителю.

Целевая функция (минимизация общих затрат на реализацию плана перевозок):

Ограничения на запасы поставщиков:

Ограничения на спрос потребителей:

Все потребности должны быть удовлетворены.

Условия неотрицательности:

Модель транспортной задачи называют закрытой, если суммарный объём груза, имеющегося у поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т.е. выполняется условие .

Если , то модель транспортной задач называется открытой.

Если , то открытая транспортная задача сводится к закрытой путем ведения фиктивного потребителя с объемом потребностей и стоимостями перевозок, равными нулю.

Если , то вводится фиктивный поставщик с объемом груза и стоимостями перевозок, равными нулю.

Число переменных в транспортной задаче с m поставщиками и n потребителями равно nm. Так как выполняется условие , то число линейных независимых уравнений равно n+m-1. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более n+m-1 отличных от нуля неизвестных.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно n+m-1, то план является невырожденным, а если меньше – то вырожденным.

Транспортная задача является канонической задачей ЛП и для ее решения используется метод потенциалов.

Алгоритм решения транспортной задачи (методом потенциалов)

1. Определяется исходный план (метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости и др.).

Получение исходного плана основано на заполнении следующей таблицы:

		……		……
		……		……
……	……	……	…….	……	……
		……		……
……	……	……	………	……	……
		……		……

В верхней строке указываются мощности поставщиков, в левом столбце – спрос потребителей.

В каждой ячейке в левом верхнем углу помещаются стоимости перевозок, в правом нижнем углу объемы поставок от i-го поставщика к j-му потребителю.

Методы получения первого опорного плана.

Метод северо-западного угла.

Рассматривается незаполненная левая верхняя ячейка, которая заполняется минимальным значением от возможного объема поставок и объема потребностей. В результате или будут удовлетворены все потребности, или исчерпаны запасы поставщика. Если удовлетворены потребности, то остальные ячейки этого столбца зачеркиваются и в последующих распределениях не участвуют.

Если исчерпаны запасы поставщика, то зачеркиваются остальные ячейки соответствующей строки, и они не участвуют в последующих распределениях.

Вновь рассматривается незаполненная северо-западная ячейка, и итерации повторяются.

Замечание. Этот метод не учитывает стоимость перевозок, и поэтому исходный план может оказаться далеким от оптимального.

Метод минимальной стоимости.

Из всех незаполненных ячеек находится ячейка с минимальной стоимостью перевозок, которая заполняется минимальным значением от возможного объема поставок и объема потребностей. В результате или будут удовлетворены потребности, или исчерпаны запасы.

Если исчерпаны запасы, зачеркиваются остальные ячейки соответствующей строки, и они не участвуют в последующих распределениях.

Если удовлетворены все потребности, то зачеркиваются остальные ячейки соответствующего столбца, и они не участвуют в последующих распределениях.

Вновь из всех незаполненных ячеек находится ячейка с минимальной стоимостью, итерации повторяются.

Если план получается вырожденным, т.е. m+n-1 не совпадает с числом заполненных ячеек, то вводится фиктивно заполненная нулем ячейка. Для этого из всех незаполненных ячеек находится ячейка с минимальной стоимостью. Если на основе этой ячейки невозможно построить замкнутый цикл со всеми заполненными вершинами, то она принимается в качестве фиктивной. В противном случае эта ячейка исключается из рассмотрения претендентов на фиктивную ячейку.