4. Решение задачи многокритериального оптимального выбора методом ак&m

Этапы алгоритма пп. 1 – 3, 5, 6 уже реализованы в виде табл. 1. Приступим к взвешиванию критериев (п. 4 алгоритма). Поскольку критериев (индикаторов) всего три, необходимости в их структуризации не просматривается.

Взвешивание критериев(п. 4 алгоритма). Собственно взвешивание предусматривает выражение предпочтений со стороны ЛПР: что из заявленных ценностей считать самым важным, менее важным и т.д. Предположим, ЛПР на 1-ое место поставил критерий «Стоимость» (j=1), на 2-е – «Площадь» (j=2), на 3-е – «Время пути» (j=3). Тогда согласно (8):

2∙(3 – 1 + 1)

ω₁ = —————— = 0,50;

3∙(3+1)

2∙(3 – 2 + 1)

ω₂ = —————— = 0,33;

3∙(3+1)

2∙(3 – 3 + 1)

ω₃ = —————— = 0,17.

3∙(3+1)

Взвешивание критериев завершено.

Вычисление вектора локальных приоритетов(п. 7 алгоритма) Осуществляется применением формул (11) и (12) по следующему правилу: если количественные показатели свидетельствуют об улучшении качества критерия, применяется формула (11); если количественные показатели чем выше, тем качества критерия ниже, применяется формула (12):

C_ij - C_ij^min

u_ij= ———————— ·100%, (11)

C_ij^max - C_ij^min

C_ij^max - C_ij

u_ij= ———————— ·100%. (12)

C_ij^max - C_ij^min

Вполне очевидно, что для вычисления компонентов вектора локальных приоритетов U= {u_ij}размером n x m для 1-го критерия необходимо воспользоваться выражением (12) – чем ниже стоимость, тем лучше; для 2-го критерия необходимо воспользоваться выражением (11) – чем больше площадь дома, тем лучше; для 3-го критерия необходимо воспользоваться формулой (12) – чем меньше времени в пути, тем лучше. Номера этих формул (как и вычисленные веса всех трех критериев) приведены в табл. 1.

В результате применения формул (11) и (12) получим новую матрицу (табл. 2) той же размерности (n x m), где место исходных размерных критериальных оценок альтернатив С_ij, приведенных в табл. 1, в дальнейшем займут вычисленные безразмерные значения вектора локальных приоритетов u_ij, вычисленные по формулам соответствующим формулам.

Для первого критерия (табл. 1) C_ij^max = С₁₂ = 3 млн. руб.; C_ij^min = С₁₃ = 1 млн. руб; остальные текущие C_ij для каждой формулы – последовательно С₁₁ = 2 млн. руб., С₁₂ = 3 млн. руб. и С₁₃ = 1 млн. руб. – здесь и далее – соответственно. Примечание: множители 100% могут и отсутствовать, это не принципиально. Результаты – в процентах или баллах (б):

C_ij^max-C_ij3 - 2 1

u₁₁= ——————— ·100% = ——— ·100% = — ·100% = 50 (б);

C_ij^max - C_ij^min 3 – 1 2

C_ij^max - C_ij 3 – 3 0

u₁₂= ——————— ·100% = ——— ·100% = — ·100% = 0 (б);

C_ij^max - C_ij^min 3 – 1 2

C_ij^max - C_ij 3 - 1 2

u₁₃= ——————— ·100% = ——— ·100% = — ·100% = 100 (б).

C_ij^max - C_ij^min 3 - 1 2

Аналогично вычисляются остальные компоненты вектора локальных приоритетов, представленные в табл. 2:

Таблица 2

Вектор локальных приоритетов и вектор U

глобальных приоритетов V

Номера альтернатив i	Имена элементов множества альтернатив хi	j=1 критерий r1= «Стоимость», млн. руб.	j=2 критерий r2 =«Площадь» кв. м	j=3=m критерий r3 = «Время», минуты	Вектор V
		ω 1 = 0,50	ω2 = 0,33	ω3 = 0,17
i=1 i=2 i=3=n	x1 = «дом А» x2 = «дом B» x3 = «дом C»	u11= 50 u12 = 0 u13 = 100	u21 = 41,7 u22 = 0 u23 = 100	u31 = 100 u32 = 66,7 u33 = 0	v1=55,77 v2=11,34 v3=83,00

Вычисление вектора глобальных приоритетов (п. 8 алгоритма) осуществляется по формуле (9):

v₁= 50 ∙ 0,50 + 41,7 ∙ 0,33 + 100 ∙ 0,17 = 55,77 (б);

v₂= 0 ∙ 0,50 + 0 ∙ 0,33 + 66,7 ∙ 0,17 = 11,34 (б);

v₃= 100 ∙ 0,50 + 100 ∙ 0,33 + 0 ∙ 0,17 = 83,00 (б).

Определение оптимального решения(п. 9 алгоритма) по формуле (10):

v_опт=max{55,77; 11,34; 83,00} = 83,00;

i_опт= 3 – номер оптимальной альтернативы;

x_опт= х₃.

Таким образом, в результате решения МК ЗПР получены отношения строгого предпочтения: 1-я альтернатива – на втором месте; 2-я – на третьем месте; 3-я – на первом месте и явно доминирует над остальными: принятие решение о приобретении «дома С» явно лучшедругих альтернатив, так как одновременно наилучшим образом отвечает требованиям всех, в целом противоречивых по своему содержанию критериев (индикаторов выбора).

Задача оптимального выбора при взвешенных критериях решена: в итоге выбираем «дом С» стоимостью 1 млн. руб., площадью 220 кв. м, в 20-ти минутах пути от остановок городского транспорта. Данное решение получено в области компромиссов и наилучшим образом удовлетворяет требованиям всех рассматриваемых критериев одновременно, поэтому принятое решение является оптимальным.

Решение при равноважных критериях(п. 10 алгоритма). Однако, прежде чем приступить к собственно интерпретации полученных результатов, представляетсяметодически целесообразнымоценить чувствительность выбранной решающей схемы (здесь – АК&M) к весам критериев, в связи с чем вычислим новые значения вектора глобальных приоритетов по (9) при равноважных критериях: ω₁= ω₂= ω₃= ω = 1/m= 1 / 3 = 0,33 (значения компонентов вектора локальных приоритетов остаются прежними):

v₁= (50 + 41,7 + 100) ∙ 0,33 = 63,26 (было 55,77 (б);

v₂= ( 0 + 0 + 66,7) ∙ 0,33 = 22,01 (было 11,34 (б);

v₃= (100 + 100 + 0) ∙ 0,33 = 66,00 (было 83,00 (б).

Интерпретация полученных результатов(п. 11 алгоритма). При равноважных критериях приоритеты альтернатив сохранены: 1-я на втором месте; 2-я на третьем месте; 3-я на первом месте. Однако степень приоритетности оптимальной 3-ей альтернативы не столь отлично от 1-й альтернативы (они различаются в приоритетах всего в пределах 4,2%). Относительный интегральный рейтинг 2-й альтернативы также существенно повысился. Таким образом, влияние весов критериев на выбор оптимального решения (выработки интегрированного рейтинга) в данной модели выбора является весьма существенным.

Рассматривая и оценивая промежуточные результаты в ходе решения МК ЗПР при использовании формально-математической процедуры под именем АК&M, нельзя не обратить внимания на следующие моменты и обстоятельства, сопутствующие применению (неприменению) данного метода:

1) Метод критичен к непосредственному представлению знаний об объекте и предмете исследования в интервальной шкале, поскольку предусматривает проведение алгебраических операций практически на всех этапах решения. Следовательно, если ЛПР свои знания о моделируемом объекте (частях объекта) может выразить в порядковой или лингвистической шкалах при выбранном основании логического деления(например, «выше среднего», «среднее», «ниже среднего) или в какой-либо бинарной шкале (например, «нравится», «не нравится»), то применение выбранного метода МК ЗПР предполагает предварительное редуцирование исходных данных в интервальную шкалу, ориентированную на работу с непрерывными и в отдельных случаях с дискретными признаками.

2) Каждый столбец матрицы вектора локальных приоритетов (см. табл. 2) принципиально в силу рабочих формул (11) и (12) содержит значения «0» и «100». При значительном числе альтернатив «n» данное обстоятельство воспринимается скорее в положительном контексте: в пределах каждого столбцаUтем самым однозначно формируются лидеры и аутсайдеры среди рассматриваемых альтернатив по тому или иному критерию, тогда как остальные альтернативы располагаются между ними. Но при малом числе альтернатив (как в модельном примере –n= 3) общая схема решения чисто методически как бы «загрубляется».

Данный метод реализован как авторская компьютерная программа с упрощенным интерфейсом пользователя, реализованная в среде FoxPro2.5, и позволяющего заносить в базу варианты решаемой проблемы, осуществлять вbrowseзанесение наимнований критериев, условных обозначений альтернатив и результатов отображений вида (1), а также их редакцию. Решения выводятся на экран в виде таблицы приоритетов. Предусмотрены промежуточные печати в самом командном файле. Программа апробирована на решении МК ЗПР отыскания оптимального места расположения перспективного логистического центра – в РТ, Нижегородской или Самарской обл. (число исследуемых альтернативn=3) по отношению к 39-ти критериям (m=39).

Далее необходимо ту же самую модельную задачу решить другим, альтернативным методом. В качестве такого метода, как уже упоминалось, проведем апробацию такого формально-математического аппарата, как «принятие многокритериальных решений методом нечеткого отношения предпочтения между альтернативами по каждому их критериев» (далее – «метод нечеткого отношения предпочтения». – Авт.).