3Случайные Величины

РАЗДЕЛ II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

ЛЕКЦИЯ 6. ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ЕГО ФОРМЫ

Дискретные и непрерывные случайные величины

Определение 6.1. Случайной называется величина (СВ), которая в результате опыта может принять одно значение из нескольких возможных, заранее неизвестно, какое именно.

Примеры случайных величин: число очков, которое выпадет при бросании игральной кости; число попаданий при трёх выстрелах; число вызовов, поступивших на АТС за час. В двух первых примерах случайные величины могут принимать отдельные значения, которые можно заранее перечислить. Число этих значений конечно. В последнем случае множество возможных значений счётное (бесконечное множество, элементы которого можно пронумеровать).

Определение 6.2. Случайная величина, принимающая конечное или счётное множество значений, называется дискретной (ДСВ).

Возможные значения ДСВ соответствуют изолированным точкам на числовой оси.

Приведём примеры случайных величин другого типа: координата точки, случайно брошенной на отрезок; дальность полёта снаряда; вес наугад взятого зерна; возможное время безотказной работы какого-либо прибора. Множество значений этих величин заранее перечислить невозможно.

Определение 6.3. Случайная величина, принимающая несчётное множество значений, называется непрерывной (НСВ).

Другими словами, НСВ может принимать любые значения из некоторого числового интервала.

Случайная величина и случайное событие связаны следующим образом: некоторому событию взаимно однозначно соответствует случайная величина, которая при появлении события принимает значение 1, при не появлении события – значение 0.

Случайные величины обозначаются большими латинскими буквами, их значения – малыми латинскими буквами. Например, СВ – число появлений герба при трёх бросаниях монеты, может принять одно из четырёх возможных значений , , , .

Описание случайных величин. Закон распределения ДСВ. Для описания случайной величины недостаточно знать её возможные значения. Нужно ещё знать вероятность того, что она примет данное возможное значение. Например, в группе 27 студентов. В какой-то день регистрируется число студентов, пришедших на занятия, – СВ . Её возможные значения: 0, 1, 2, 3, …, 27. Понятно, что у значений, например, , , вероятности разные.

Рассмотрим ДСВ со всеми её возможными значениями , , …, . В результате опыта ДСВ может принять одно из этих значений с соответствующей вероятностью:

, , …, .

События

, , …, (1)

образуют полную группу попарно несовместных случайных событий, поэтому

(условие нормировки).

Если множество значений ДСВ бесконечно, то условие нормировки заменяется следующим: бесконечный ряд должен быть сходящимся и его сумма должна быть равной 1:

.

ДСВ полностью описана с вероятностной точки зрения, если указана вероятность каждого из событий (1).

Определение 6.4. Законом распределения случайной величины называется любое соответствие, устанавливающее связь между её возможными значениями и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения ДСВ может иметь различные формы.

1. Таблица (называется рядом распределения ДСВ ).

			…
			…

Например, ряд распределения выпавших очков на игральном кубике имеет вид:

	1	2	3	4	5	6

2) График. Ось абсцисс – возможные значения ДСВ , ось ординат – их вероятности. Полученные точки соединяют ломаной линией, которая называется многоугольником распределения (рис. 1).

3) Формула вида .

►Пример. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имея четыре патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд и многоугольник распределения боезапаса, оставшегося неизрасходованным.

Решение. Пусть ДСВ – число неизрасходованных патронов. Возможные значения ДСВ :

, , , .

Вероятности этих значений:

,

,

,

.

Проверим выполнимость условия нормировки:

.

Ряд распределения ДСВ имеет вид:

Построим многоугольник распределения ДСВ :

◄

Операции над случайными величинами

Определение 6.5. Суммой двух случайных величин и называется случайная величина такая, что

1. возможные значения есть суммы возможных значений СВ и СВ ;

2. вероятности возможных значений есть произведения соответствующих вероятностей значений СВ и СВ .

Определение 6.6. Произведением двух случайных величин и называется случайная величина такая, что

1. возможные значения есть произведения возможных значений СВ и СВ ;

2. вероятности возможных значений есть произведения соответствующих вероятностей значений СВ и СВ .

►Пример. Дискретные случайные величины и имеют следующие ряды распределения:

	-1	0	1

Найти: а) ; б) .

Решение.

а)

б)

	0-1	0+0	0+1	1-1	1+0	1+1	2-1	2+0	2+1	3-1	3+0	3+1
	0,02	0,03	0,05	0,08	0,12	0,2	0,06	0,09	0,15	0,04	0,06	0,1

Одинаковые значения случайной величины можно записать один раз, предварительно сложив соответствующие вероятности:

	-1	0	1	2	3	4
	0,02	0,03	0,05	0,08	0,12	0,2

◄

Плотность вероятности. Рядом распределения удобно описывать дискретные случайные величины. Для непрерывных случайных величин эта форма закона распределения не подходит. Во-первых, нельзя перечислить одно за другим все её возможные значения. Во-вторых, вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Действительно, если каждому её отдельному значению сопоставить ненулевую вероятность, то при суммировании всех вероятностей можно получить число, отличное от единицы, так как множество всех значений непрерывной случайной величины несчётно.

Пусть, например, наугад разрезается нить некоторой длины . Поскольку точек, в которых можно сделать разрез, бесконечно много, то вероятность совпадения разреза с некоторой конкретной точкой будет исчезающее малой. Поэтому уместно рассматривать вероятность попадания значения непрерывной случайной величины не в конкретную точку, а в малый интервал.

Определение 6.7. Плотностью вероятности¹ НСВ называется предел отношения вероятности попадания значений НСВ в малый интервал к длине этого интервала при :

.

Плотность вероятности является формой закона распределения непрерывной случайной величины, она может иметь вид как на рис. 3).

Из определения 6.7 следует, что

,

где – величина более высокого порядка малости по сравнению с .

Значит, вероятность того, что случайная величина попадет в маленький интервал, приблизительно равна плотности вероятности , умноженной на длину этого интервала . Величина называется элементом вероятности. Геометрически – это площадь прямоугольника со сторонами и (рис. 3). Тогда вероятность попадания значений НСВ на отрезок будет равна сумме элементов вероятности на всём этом отрезке, то есть площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и прямыми и :

,

т ак как площадь заштрихованной фигуры будет стремиться к площади криволинейной трапеции при (рис. 4).

Свойства плотности вероятности случайной величины

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция (что следует из неотрицательности предела ), то есть

.

2. Для плотности вероятности выполняется условие нормировки (интеграл в бесконечных пределах плотности вероятности равен единице):

.

Это свойство отражает достоверность события « ».

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

.

3. Плотность вероятности – непрерывная или кусочно-непрерывная функция.

►Пример. Плотность вероятности СВ задана функцией

Найти коэффициент и вероятность попадания значений СВ в интервал ; построить график плотности вероятности распределения случайной величины.

Решение. Так как все возможные значения СВ принадлежат отрезку , то

,

откуда

.

Если , то

.

При имеем:

.

График полученной плотности вероятности имеет вид:

◄

Функция распределения. Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины ряд распределения построить нельзя. Для количественной характеристики как дискретной, так и непрерывной случайных величин удобно пользоваться не вероятностью события , а вероятностью события . Вероятность этого события есть некоторая функция от , которая называется функцией распределения СВ и обозначается , то есть .

Определение 6.8. Функцией распределения² случайной величины называется вероятность того, что СВ в результате опыта примет значение меньшее заданного.

Обозначение:

, .

Если рассматривать СВ как случайную точку на оси , то функция распределения есть вероятность попадания точки левее точки в результате реализации опыта.

Свойства функции распределения случайной величины

1) .

Это свойство следует из определения функции распределения и из свойства (1) вероятности (лекция 1).

2) – монотонно неубывающая функция, то есть для любых и таких, что выполняется неравенство .

Действительно, пусть . Тогда

или

.

Так как вероятность не может быть отрицательной величиной, из последнего соотношения имеем:

, при .

3) Вероятность попадания значений СВ в интервал от до равна разности значений функции распределения в точках и :

.

По свойству 2 имеем:

.

4) Вероятность того, что НСВ примет одно определённое значение, например, , равна нулю:

.

Действительно,

.

При . Значит, . Поэтому выполняются равенства:

.

5) .

Действительно, СВ не может иметь значений, которые были бы меньше отрицательной бесконечности.

6) .

Это свойство отражает тот факт, что событие «СВ принимает значение, меньшее положительной бесконечности» – достоверно. Таким образом, все значения функции распределения принадлежат отрезку .

7) непрерывна слева в любой точке и имеет предел справа в любой точке.

То, что функция распределения имеет предел слева и справа в любой точке, следует из монотонности и ограниченности (свойства 2 и 1 соответственно). Для доказательства непрерывности слева осталось показать, что

.