1 Множества. Логика Буля - лекции

РАЗДЕЛ I. МНОЖЕСТВА. ЛОГИКА БУЛЯ

ЛЕКЦИЯ 1. МНОЖЕСТВО И СПОСОБЫ ЕГО ЗАДАНИЯ

Введение. Математика, в которой нет понятия непрерывности, предельного перехода, бесконечности, дифференцируемости и т.п., называется дискретной. Однако понятия «множество», «отношение», «функция» и близкие к ним являются основными как в классической «непрерывной», так и в дискретной математике.

Обычно к дискретной математике относят комбинаторику, теорию чисел, математическую логику, теорию алгебраических структур, теорию графов и сетей, теорию автоматов и некоторые другие области математического знания. Эта дисциплина является математическим обеспечением для современных компьютерных и информационных технологий, к тому же составляет базу многих узко специализированных дисциплин таких как «Комбинаторный анализ», «Методы и алгоритмы принятия решений», «Функциональное программирование», «Структуры и организация данных

вЭВМ», «Конструирование программ и языки программирования», «Методы оптимизации» и др.

Дискретная математика даѐт представление о новейших тенденциях

вразвитии математического инструментария, который помогает правильно мыслить, но ровно настолько, насколько учит этому, например, аналитическая геометрия: оба предмета дисциплинируют ум, однако не дают гарантированных алгоритмов проникновения в неизведанную реальность.

Понятие множества. Отношение между элементом и множе-

ством. Любое понятие дискретной математики можно определить с помощью понятия множества.

Под множеством понимают объединение в одно общее объектов,

хорошо различаемых нашей интуицией или мыслью. Так описал множество основатель теории множеств Георг Кантор1.

►Пример. Множеством являются различные символы на этой стра-

нице. Кофейник, сахарница, чашки, блюдца образуют множество под названием «сервиз». Сложение, умножение есть множество основных арифметических операций. ◄

1 Георг Кантор (1845, Санкт-Петербург – 1918, Галле) – немецкий математик. Создатель теории множеств, ввѐл понятия бесконечного и вполне упорядоченного множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора фактически утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику.

5

Понятие множества принадлежит к числу первичных, фундаментальных понятий математики и поэтому не имеет строгого определения.

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. ►Пример. Буквы а, б, в, г, … являются элементами множества «ал-

фавит». Числа 1, 2, 3, 4, 5, … – элементы множества натуральных чисел. ◄ Множества обозначают большими буквами латинского алфавита: A , B , C , …. Если нужно, используют индексы: A1 , C3 , …. Элементы мно-

жеств обозначаются малыми буквами латинского алфавита: a , b , c , …, также при необходимости с индексами: b1 , c4 , …. Некоторые множества имеют общепринятые обозначения, например, N– множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество рациональных чисел, R

– множество действительных чисел, C – множество комплексных чисел.

Обычно множество имеет лишь один экземпляр одного и того же элемента. Если во множестве есть несколько экземпляров элемента, оно называется мультимножеством.

Сами множества могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются множества, называется классом или семейством. Семейства множеств обозначают большими «рукописными» буквами латинского алфавита: , , ….

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозна-

чается символом Ø.

►Пример. Множество людей, чей рост составляет 15 м, является пустым. ◄

Обычно в конкретных рассуждениях элементы всех множеств берутся из некоторого одного, достаточно широкого множества U (своего для каждого случая), которое называется универсальным множеством или

универсумом.

Если число элементов множества конечно, то множество называется

конечным, иначе – бесконечным.

►Пример. Множество персонажей сказок А.С. Пушкина – конечное, а множество натуральных чисел – бесконечное. ◄

6

Задание множеств. Чтобы задать множество X , нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать:

1)перечислением элементов: X {x1 , x2 ,..., xk }. Например, список

студентов группы. Порядок перечисления элементов может быть произвольным. Если элементов много, то перечислять их громоздко (множество рыб в океане конечно, но перечислить их трудно) или вообще невозможно (например, невозможно составить список всех чѐтных чисел). Тогда множество X можно задать

2)общим свойством P(x) всех его элементов x (или общим

гическим утверждением, формулой или процедурой, возвращающей логическое значение, и позволяет распознать элементы данного множества из

порождает некоторые объекты, являющиеся элементами X .

►Пример. Множество первых девяти натуральных чисел, заданное перечисленными способами:

M 9 {n | for n from 1 to 9 yield n}.◄

Замечание. 1) Множество целых чисел в диапазоне от m до n обозначают так: m..n , то есть m..n {k Z | 0 k k n}.

2) Перечислением можно задавать только конечные множества. Бесконечные множества задаются предикатом или порождающей процедурой. Например, множество натуральных чисел задаѐтся порождающей процедурой так:

3 Этот способ лежит в основе конструктивизма – направления в математике, в рамках которого рассматриваются только те объекты, для которых известны процедуры (алгоритмы) их порождения. В конструктивной математике исключаются из рассмотрения некоторые понятия и методы классической математики, чреватые возможными парадоксами.

7

Подмножества. Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A ), если каждый элемент A есть элемент

B :

A B : x A x B .

В этом случае A называется подмножеством B , B – надмноже-

ством A .

►Пример. Пусть задана некоторая совокупность предметов, которую после пересчѐта обозначим так:

V {1, 2, ...,11}.

Пусть несколько из этих предметов, а именно 1, 2, 4, 6, имеют круглую форму, другие 2, 3, 4, 8, 9 окрашены в белый цвет. Тогда множество V имеет два подмножества:

Рис. 1. Подмножества множества V

4Леонард Эйлер (1707, Швейцария – 1783, Российская империя) – швейцарский, немецкий и российский математик, автор более 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближѐнным вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и других.

5Джон Венн (1834, Йоркшир – 1923, Кембридж) – английский математик и логик, автор частотного подхода к теории вероятностей, знаменитых диаграмм Венна, обоснования обратных операций в булевой логике. Диаграммы Венна применяются в современной теории «формальных нейронных сетей».

8

Два множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть являются подмножествами друг друга:

►Пример. Рассмотрим универсальное множество U , состоящее из трѐх элементов {a, b, c}. Собственные подмножества U – это множества, которые содержат некоторые, но не все элементы U : {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a}, {b}, {c}. Пустое множество Ø и множество U являются несобственными подмножествами множества U . ◄

Для конечных множеств число его элементов называется мощностью. Мощность множества A обозначается как A . Например, |Ø| 0 , |{Ø}| 1. Если A B , множества A и B называются равномощными.

Множество всех подмножеств множества M называется булеаном и обозначается 2M :

9

ЛЕКЦИЯ 2. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ОПЕРАЦИИ ЛОГИКИ БУЛЯ

Способы образования новых множеств из имеющихся называются

логической связки «или», которая называется дизъюнкцией.

На диаграмме (рис. 1) заштриховано объединение трѐх подмножеств C1 , C2 и C3 множества V {1, 2, ...,11}, рассмотренного в примере лекции

1.

Рис. 1. Объединение множеств А и В

Принадлежность элемента x множеству A B можно задать с помощью двух логических переменных x1 и x2 . Областью определения этих переменных являются не числа натурального ряда как у предметной пере-

10

Переменные x1 и x2 определяют логическую функцию y f (x1 ; x2 ) (называется булевой в честь английского математика Джорджа Буля6), ко-

Между таблицей истинности и диаграммой Эйлера-Венна существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому число единиц для y всегда совпадает с числом заштрихованных областей на диаграмме. Четыре комбинации аргументов x1 и x2 будут отвечать четырѐм областям Ci . Кроме того, ясно, что число комбинаций нулей и единиц для функции y , а значит

6 Джордж Буль (1815, Англия – 1864, Ирландия) – английский математик и логик. Профессор математики Королевского колледжа Корка (ныне Университетский колледж Корк). Основополагатель математики в логике.

11