физика лекции / Semestr_3_Lektsia_03

Семестр 3. Лекция 3.

Лекция 3. Теорема Гаусса для электростатического поля.

Поток вектора напряжённости электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной и диф-

ференциальной формах в вакууме и её применение для расчёта электрических полей. Уравнение

Пуассона.

Потоком вектора напряжённости электрического поля через ориентированную поверх-

ность S называется величина

Φ E = ∫∫(E ,dS )

S

Единица измерения В м.

Теорема Гаусса в интегральной форме.

Поток вектора напряжённости электрического поля через произвольную поверхность,

ориентированную наружу, прямо пропорционален алгебраической сумме электрических заря-

дов, охваченных этой поверхностью.

Если ввести функцию объёмного распределения электрического заряда ρ ( x, y , z ) , такую, что

∫∫∫ρdV = ∑qi

и воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса ∫∫ (E ,dS ) = ∫∫∫div (E )dV , то из равенства

S V

получим дифференциальную форму теоремы Гаусса:

div (E ) = ρ .

ε0

Смысл этого равенства в том, что источником электрического поля являются электрические заряды. Силовые линии электростатического поля начинаются на положительных и оканчива-

ются на отрицательных зарядах.

Примеры применения теоремы Гаусса.

Теорему Гаусса удобно применять для определения напряжённости поля в случаях, когда кар-

тина силовых линий обладает какой-либо симметрией.

1) Поле точечного заряда q.

1

Семестр 3. Лекция 3.

Пусть q>0. Возьмём в качестве поверхности S сферу радиусом R с центром в месте нахождения

заряда. На поверхности этой сферы вектор E сонаправлен с вектором нормали n к поверхно-

nТак как площадь поверхности сферы S = 4πR2 , то поток вектора на-

2) Поле бесконечной прямой заряженной нити. Пусть нить заряжена с линейной плотностью

Т.к. картина поля осесимметрична, то величина Е зависит только от расстояния до нити, поэто-

2

Но внутри сферы зарядов нет, поэтому ESВНУТР = 0 . Таким образом, напряжённость поля внутри сферы равна нулю E = 0 .

Теперь в качестве поверхности рассмотрим концентрическую сферическую поверхность

радиуса R, охватывающую сферу. Тогда

E= ε0 SВНЕШ = 4πε0 R2 .

5)Поле, создаваемое полым бесконечным заряженным цилиндром радиуса R.

Картина силовых линий симметрична относительно оси цилиндра.

3

Семестр 3. Лекция 3.

λ

Внутри цилиндра Е=0, а снаружи E = , где λ - линейная плотность заряда цилиндра, r- 2πε0 r

расстояние от оси цилиндра. Если для цилиндра задана поверхностная плотность заряда σ, то,

т.к. заряд куска цилиндра длиной L q = λL = σ2πRL , откуда получаем λ = σ2πR , поэтому

вектор из центра шара.

Снаружи шара картина поля аналогична уже разобранному полю заряженной сферы

описывающее распределение потенциала по заданному распределению заряда.

4

Семестр 3. Лекция 3.

В декартовой системе координат

div ( grad ϕ) = ∂2ϕ + ∂2 ϕ + ∂2ϕ = Δϕ ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

ρ

( - оператор Лапласа), поэтому уравнение принимает вид Δϕ = − . Это уравнение Пуассона.

ε0

При отсутствии зарядов (ρ=0) получаем уравнение Лапласа Δϕ = 0 .

При решении подобной задачи необходимо задать граничные условия – значения потен-

циала или напряжённости на границе рассматриваемой области.

5