Экзамен / Ультраграф

Ультраграф

Определенный выше граф называется ультраграфом H_U(X,U,Г₁,Г₂), если предикаты Г₁(X,U) и Г₂(U,X) обладают следующим свойством

$ u_j ÎU (|Г₁u_j| + |Г₂u_j| ) >2, (2)

т. е. в графе есть хотя бы одно ребро, суммарное количество вершин, которым оно инцидентно и которые инцидентны ему, больше двух.

Представление ультраграфа матрицами инцидентности

Полным и достаточно наглядным способом формального задания ультраграфа является его представление через две матрицы инцидентности А₁ и A₂, где А₁– матрица истинности предиката Г₁(X,U) и А₂ – матрица истинности предиката Г₂(U,X).

Матрица инцидентности А₁, задающая связь между вершинами и ребрами, – это прямоугольная матрица размером n´m, где n = |X|, m = |U|. Элементы этой матрицы определяются по правилу

1 – если Г₁(x_i,u_j)= «и»

a_{1 i,j} = ,

0 – если Г₁(x_i,u_j)= «л»

где i = 1, n; j = 1, m .

Матрица инцидентности А₂ задает связь между ребрами и вершинами. Ее строки соответствуют ребрам, а столбцы – вершинам (размер матрицы m´n). Элементы матрицы А₂ определяются по правилу

1 – если Г₂(u_j,x_i)= «и»,

a_{2 j,i} =

0 – если Г₂(u_j,x_i)= «л».

u₁ u₂ u₃

x₁ 1 1 0 x₁ x₂ x₃ x₄ x₅

x₂ 0 0 0 u₁ 0 1 1 0 0

А₁ = x₃ 0 0 0 , А₂ = u₂ 0 0 0 1 0

x₄ 0 0 0 u₃ 0 0 0 0 1

x₅ 1 0 1

Аналитическое представление ультраграфа

Аналитически ультраграф полностью задается множествами X, U и образами этих множеств относительно предикатов Г₁(X,U) и Г₂(U,X).

Образом множества A относительно предиката Р(A,B) является множество

РA = {Рa_i / a_i ÎA},

где Рa_i = { b_j ÎB : Рa_i(b_j) = «и»},– характеристическое подмножество предиката-свойства Рa_i(B), т. е. образ элемента a_i ÎA относительно этого предиката.

В ультраграфе H_u(X,U, Г₁X, Г₂U):

Г₁X={Г₁x_i /x_i ÎX}, Г₁x_i =U_1i ÍU– ребра, инцидентные вершине x_i Î X;

Г₂U={Г₂u_j /u_j ÎU}, Г₂u_j =X_2j ÍX– вершины, инцидентные ребру u_j ÎU.

Пример аналитического представления ультраграфа

Ультраграф данным способом будет задан, если заданы множества вершин X, ребер U и их образы.

H_u(X,U, Г₁X, Г₂U): X = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}, U = {u₁, u₂, u₃},

Г₁X ={Г₁x_i / i=1,5}, где: Г₁x₁ = {u₁, u₂}, Г₁x₂=Г₁x₃=Г₁x₄=Æ, Г1x₅ ={u₁, u3},

Г₂U ={ Г₂u_j / j=1,3}, где: Г₂u₁ = {x₂, x₃}, Г₂u₂ = {x₄}, Г₂u₃ = {x₅}.

Аналитическое представление ультраграфа образами и прообразами вершин и ребер

Рассмотренное представление ультраграфа, является полным, однако в ряде случаев затрудняет выполнение формальных преобразований и просмотр структуры ультраграфа. Например, для того чтобы определить, каким вершинам инцидентно ребро u_jÎU, необходимо проверить принадлежность этого ребра всем Г₁x_i и сформировать подмножество вершин согласно выражению:

X_j ={ x_i Î X : u_j Î Г₁x_i }.

Аналогичное замечание справедливо и для определения множества ребер, которым инцидентна вершина x_i Î X.

Для задания таких множеств воспользуемся понятием «прообраз множества относительно предиката». По определению прообраз множества – это его образ относительно обратного предиката.

Элементы предикатов Г₂^-1(X,U) и Г₁^-1(U,X) определяются по правилам:

"u_j ÎU, "x_i ÎX (Г₂(u_j, x_i) = «и» ® Г₂^-1(x_i, u_j) = «и») и

"x_i ÎX, "u_j ÎU (Г₁(x_i ,u_j) = «и» ® Г₁^-1(u_j, x_i) = «и») соответственно, т.е. таблицы истинности этих предикатов получаются транспонированием матриц истинности A₂ и A₁.

Отсюда множество ребер U_2i, которым инцидентна вершина x_iÎ X – ее прообраз относительно предиката Г₂(U,X), – это характеристическое множество i-го вектора строки матрицы истинности предиката Г₂^-1(X,U) или i-го вектора-столбца матрицы А₂, т. е. предиката-свойства Г₂x_i(U):

U_2i= Г₂x_i={u_j ÎU : Г₂x_i(u_j) = «и» }, U_2i ÍU .

Прообразом множества X относительно предиката Г₂(U,X) будет множество характеристических подмножеств предикатов-свойств Г₂x_i(U):

Г₂X= {Г₂x_i / x_i Î X}.

Аналогично множество вершин, которым инцидентно ребро u_j ÎU – его прообраз Г₁u_j относительно предиката Г₁(X,U) –это характеристическое множество X_1j предиката-свойства Г₁ ^-1u_j(X), соответствующего j-у вектору-строке матрицы истинности предиката Г₁^-1(U,X), или предиката-свойства Г₁u_j(X), задаваемого j-м вектором-столбцом матрицы А₁ :

X_1j= Г₁u_j = { x_i ÎX : Г₁u_j(x_i) = «и» }, X_1j ÍX.

Прообразом множества U относительно предиката Г₁(X,U) является множество характеристических подмножеств предикатов-свойств Г₁u_j(X):

Г₁U = {Г₁u_j / u_j Î U }.

Геометрическая

интерпретация предикатов

Г₁^-1(U,X) и Г₂^-1(X,U) показана

на рисунке б.

Г₂X : Г₂x₁ =Æ, Г₂x₂ ={u₁}, Г₂x₃={u₁}, Г₂x₄ ={u₂}, Г₂x₅={u₃},

Г₁U : Г₁u₁ ={x₁, x₅}, Г₁u₂ ={x₁}, Г₁u₃ ={x₅}.

Для данного способа представления ультраграф будем обозначать H_u(X, U, Г₁X, Г₂X, Г₁U, Г₂U).

Представление ультраграфа матрицами смежности

Предикат смежности вершин F₁(X, X). Вершина x_t смежна вершине x_i, если существует ребро u_j инцидентное вершине x_i, такое, что вершина x_t инцидентна ему. Отсюда элементы матрицы смежности R₁ определяются по правилу:

1 – если $ a_1i,j =1 & a_2j,t=1,

r_1i,t =

0 – в противном случае,

где i, t =1, n; n = | X |, j =1, m; m = | U |.

0 1 1 1 0

0 0 0 0 0

R₁= 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 1 1 0 1

Предикат смежности ребер F₂(U, U). Ребро u_k смежно ребру u_j, если существует вершина x_i инцидентная ребру u_j, такое, что ребро u_k инцидентно ей. Отсюда элементы матрицы смежности R₂ определяются по правилу:

1 – если $ a_2j,i =1 & a_1i,k=1,

r_2j,k =

0 – в противном случае,

где j,k =1,m; m = |U|, i =1,n; n = | X |.

0 0 0

R₂= 0 0 0 .

1 0 1

Совокупность предикатов F₁(X, X) и F₂(U, U) задает ультраграф не полностью

Образ и прообраз множества X относительно предиката смежности вершин F₁(X, X)

Образ и пробраз вершины x_i– это характеристические множества предикатов-свойств F₁x_i(X), и F₁^-1x_i(X):

• F₁x_i =X_1i ={x_j ÎX : F₁x_i(x_j) = «и» }, X_1i Í X –вершины, смежные вершине x_i Î X;

• F₁^-1x_i = X_1i^-1={ x_j ÎX : F₁x_i (x_j) = «и» }, X_1i Í X –вершины, которым смежна вершина x_i ÎU. Они задаются i-ми вектором-строкой и вектором-столбцом матрицы R₁ соответственно:

Для нашего ультраграфа

F₁X = {F₁x_i / i =1,5}: F₁^-1X = {F₁^-1x_i / i =1,5}:

F₁x₁ = {x₂, x₃, x₄}, F₁^-1x₁=Æ, F₁^-1x₄ ={x₁},

F₁x₂ = F₁x₃ = F₁x₄ =Æ, F₁^-1x₂ ={x₁, x₅}, F₁^-1x₅ ={x₅}.

F₁x₅ = {x₂, x₃, x₅}, F₁^-1x₃ ={x₁, x₅}.

Образ и прообраз множества U относительно предиката смежности ребер F₂(U, U).

Образ и прообраз ребра u_i – это характеристические множества предикатов-свойств F₂u_j(U) и F₂^-1u_j(U):

• F₂u_j = U_2j={ u_i ÎU : F₂u_j (u_i) = «и» }, U_2j Í U –ребра, смежные ребру u_j ÎU;

• F₂^-1u_j = U_2j^-1={ u_i ÎU : F₂u_j (u_i) = «и» }, U_2j Í U –ребра, которым смежно ребро u_j ÎU; Они задаются j-ми вектором-строкой и вектором-столбцом матрицы R₂ соответственно:

Для рассматриваемого ультраграфа

F₂U = {F₂u_j / j =1,3}: F₂^-1U = {F₂^-1u_j / j =1,3}:

F₂u₁ = F₂u₂ =Æ, F₂^-1u₁={u₃},

F₂u₃={u₁, u₃}. F₂^-1u₂ =Æ, F₂^-1u₃={u₁, u₃}.