Работа № 3

Исследование резонансных явлений в линейных электрических цепях

Цель работы – исследование явления резонанса в электрических цепях.

1. Основные положения теории

В цепи, содержащей последовательно соединенные индуктивность , емкость и сопротивление возникает явление, получившее название «резонанс напряжений» – на некоторой частоте , называемой частотой резонанса, наблюдается равенство модулей комплексных сопротивлений индуктивности и емкости . Поскольку эти сопротивления имеют противоположные знаки, их сумма на частоте становится равной нулю (рис.1, а), и полное сопротивление такой цепи оказывается равным . Как следствие, на частоте модуль полного сопротивления цепи минимален (рис. 1, в), а ток в цепи становится максимальным. При этом напряжение на сопротивлении становится равным напряжению , приложенному к этому участку цепи (рис. 1, г). Зависимости , , и называют резонансными кривыми. Условие = приводит к следующим соотношениям, из которых определяется частота резонанса :

; ; .

Величина

,

имеющая размерность сопротивления, получила название характеристического сопротивления контура. (иногда ее же называют волновым сопротивлением контура).

Так как на частоте резонанса комплексная составляющая полного сопротивления рассматриваемой цепи равна нулю, величина фазового сдвига между током в цепи и приложенным напряжением также оказывается равной нулю (рис. 1, д). В диапазоне частот от 0 до эквивалентное сопротивление цепи носит емкостной характер и <0, а при это сопротивление носит индуктивный характер и >0.

Обратите внимание, что максимальные напряжения и могут превосходить приложенное к рассматриваемому участку цепи напряжение , причем, в зависимости от свойств цепи – весьма значительно. Поэтому явление резонанса в последовательной цепи получило название «резонанс напряжений». Резонансные свойства цепи характеризуют отношением величин напряжений на реактивных элементах на частоте резонанса и к величине :

.

Безразмерную величину называют добротностью контура. Чем больше , тем более «узкими» становятся резонансные кривые в окрестности частоты . Частоты и называют нижней и верхней границами полосы пропускания контура – области частот, в пределах которой мощность, поглощаемая цепью, не более чем в 2 раза меньше мощности, поглощаемой на частоте резонанса. Поэтому для каждой из частот и будет выполняться условие (или эквивалентное условие – ). Условие может быть обеспечено только при равенстве величины сопротивления и модуля комплексного сопротивления . Если это равенство достигается на частоте , то величина фазового сдвига между током в цепи и приложенным напряжением составляет , а если равенство достигается на частоте , – рис. 1, д. Эти два случая поясняют векторные диаграммы (рис. 2).

Таким образом, границы полосы пропускания контура можно экспериментально определить, предварительно построив резонансные кривые или и найдя точки их пересечения с прямыми или соответственно – рис.1, г. Менее трудоемкий путь, обеспечивающий получение более точного результата – экспериментальное определение частот и , для которых .

Величину, обратную добротности, называют затуханием: . Ее часто используют для расчета частот и . В основе такого расчета лежит поиск экстремумов проводимости контура, положение которых на оси частот совпадает с положением максимумов и . При справедливости допущения о наличии в контуре малых потерь, когда выполняется условие ,

.

Отсюда следует, что в результате проведения экспериментальных исследований можно рассчитать , причем для больших значений приближение полученной оценки к истинному значению этой величины улучшается.

Если параллельно индуктивности или емкости контура подключено сопротивление, контур называют нагруженным. В этом случае выражение для комплексного сопротивления контура изменяется, что свидетельствует об изменении резонансных кривых. Так, если параллельно конденсатору подключено сопротивление (рис. 3, а), то сопротивление участка цепи AB примет вид:

.

Если выполняется условие , то вторыми слагаемыми в знаменателях полученного выражения можно пренебречь. Тогда

,

где – вносимое в цепь эквивалентное сопротивление – рис. 3, б. Если указанное условие не выполняется, то следует выполнить расчет нового значения частоты резонанса , которая будет отличаться от ранее рассчитанной , поскольку на этой частоте должно быть обеспечено условие равенства нулю комплексной части сопротивления всей цепи:

; ; ; .