
Работа № 4
Переходные процессы в линейных электрических цепях
Цель работы – изучение особенностей переходных процессов в электрических цепях, содержащих накопители энергии, получение представления об условиях существования установившихся режимов в цепи и их связи с вынужденным режимом.
.
1. Основные положения теории
Переходным называется процесс, происходящий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому.
Классический
метод расчета переходных процессов в
любой, сколь угодно сложной цепи, основан
на составлении дифференциальных
уравнений цепи согласно первому и
второму законам Кирхгофа. Если заданы
ЭДС источников, то неизвестными будут
токи во всех
ветвях цепи. Для нахождения тока в
-ой
цепи получим одно дифференциальное
уравнение
,
Порядок
уравнения определяется конфигурацией
цепи и характером ее элементов. Свободный
член
содержит в себе заданные ЭДС. Полный
интеграл этого уравнения представим
суммой частного решения
,
определяемого видом функции
,
и полного решения
однородного уравнения:
.
Частное решение не зависит от запасенной энергии в реактивных элементах и определяется внешними источниками, а также конфигурацией и параметрами элементов цепи. Оно получило название принужденной составляющей.
Общее решение, в основном, определяется параметрами реактивных элементах и запасенной в них энергией. Оно не зависит от внешних источников и получило название свободной составляющей.
Для определения
необходимо найти
корней характеристического уравнения:
.
В случае, если корни простые, имеем:
,
где
– произвольные постоянные интегрирования,
которые определяются из начальных
условий. Следует заметить, что практически
во всех случаях действительная часть
корней характеристического уравнения
отрицательна, а это говорит о том, что
свободная составляющая с течением
времени затухает.
В линейных цепях существование корней с нулевой действительной частью возможно лишь в цепях без потерь, состоящих только из реактивных элементов. В этом случае в цепи возникают незатухающие колебания. Так как на практике таких цепей не существует, их исследование носит чисто теоретический характер.
. Рассмотрим
применение такого метода для анализа
тока в цепи, содержащей последовательно
включенные индуктивность
и резистор
(рис. 1). Дифференциальное уравнение для
той цепи имеет вид:
.
Отсюда получаем однородное уравнение, определяющее свободную составляющую тока:
,
для которого
характеристическое уравнение имеет
вид
с единственным корнем
.
Поэтому
,
(1)
Постоянная
интегрирования
определяется по начальному значению
тока
.
Рассмотрим схему, изображенную на рис.
2. В ней протекает ток
.
Будем считать, что в момент времени
был замкнут ключ
.
Это значит, что напряжение
на участке цепи AB становится
равным нулю и установившийся ток
также равен нулю. Однако, поскольку
,
подстановка в (1) значений
,
,
приводит в рассматриваемом случае к
значению
.
Вид зависимости
представлен
на рис. 3.
Переходной
процесс характеризуют величиной
,
называемой постоянной времени. Она
численно равна длительности интервала
времени, в течение которого свободная
составляющая уменьшается в е =
2,71828… раз. Для нахождения
часто пользуются графоаналитическим
методом – величина отрезка, ограниченного
точкой пересечения касательной
зависимости
,
построенной в любой точке T
этой зависимости, и проекцией точки T
на ось абсцисс числена равна
(рис. 3). Очевидно, что чем больше величина
,
тем меньше скорость протекания переходного
процесса.
Формально
интервал времени, в течение которого
переходной процесс будет завершен,
оказывается бесконечно большим. Однако,
в течение интервала времени, длительность
которого составляет (3…5)
,
изменения параметров сигналов в цепи
становятся настолько малыми, что можно
считать переходной процесс закончившимся
– рис. 3.
Отметим, что при проведении экспериментальных
исследований переходных процессов с
применением осциллографа для их
регистрации оценки величины
получают, пользуясь классическим
определением этой величины. На рис. 4
изображена типичная осциллограмма
переходного процесса
в
звене и отмечены уровни напряжений,
используемые в качестве пороговых для
оценки величины
.
Обратите внимание, что вычисление
уровней напряжений должно выполняться
с учетом величины смещения сигнала
, которая может быть как положительной
и отрицательной, так и нулевой.
Более сложный характер имеют переходные
процессы в цепях с двумя реактивными
элементами – индуктивностью и емкостью.
В зависимости от величин
,
и
переходной процесс может носить либо
апериодический, либо колебательный
характер. Для цепи, изображенной на рис.
5,
Рис. 5.
звено
.
Продифференцировав обе части этого уравнения, получим уравнение для тока в цепи
.
Отсюда, проведя
деление обеих частей уравнения на
,
получим уравнение для свободной
составляющей тока
,
откуда,
используя замены
и
,
получим характеристическое уравнение
имеющее два
корня:
и
.
Поэтому
.
Анализ полученного характеристического
уравнения показывает, что при
процесс носит апериодический характер,
а при
будет наблюдаться колебательный процесс.
Режим, при котором
,
носит название критического. Этот
процесс – предельный случай апериодического
переходного процесса.
Если выполняется условие
,
частота свободных колебаний
определяется из соотношения
.
Амплитуда этих колебаний будет убывать
с течением времени. Величина
,
называемая декрементом колебаний,
характеризует скорость затухания
колебаний. Ее находят путем вычисления
отношения амплитуд двух последовательных
колебаний:
,
где
– период свободных колебаний.
Для определения скорости затухания
колебаний часто пользуются величиной
логарифмического декремента затухания
:
.
Отметим, что при малом затухании в цепи,
когда выполняется условие
,
частота
свободных колебаний приближается к
частоте собственных резонансных
колебаний
контура:
.