Работа № 4

Переходные процессы в линейных электрических цепях

Цель работы – изучение особенностей переходных процессов в электрических цепях, содержащих накопители энергии, получение представления об условиях существования установившихся режимов в цепи и их связи с вынужденным режимом.

.

1. Основные положения теории

Переходным называется процесс, происходящий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому.

Классический метод расчета переходных процессов в любой, сколь угодно сложной цепи, основан на составлении дифференциальных уравнений цепи согласно первому и второму законам Кирхгофа. Если заданы ЭДС источников, то неизвестными будут токи во всех ветвях цепи. Для нахождения тока в -ой цепи получим одно дифференциальное уравнение

,

Порядок уравнения определяется конфигурацией цепи и характером ее элементов. Свободный член содержит в себе заданные ЭДС. Полный интеграл этого уравнения представим суммой частного решения , определяемого видом функции , и полного решения однородного уравнения: .

Частное решение не зависит от запасенной энергии в реактивных элементах и определяется внешними источниками, а также конфигурацией и параметрами элементов цепи. Оно получило название принужденной составляющей.

Общее решение, в основном, определяется параметрами реактивных элементах и запасенной в них энергией. Оно не зависит от внешних источников и получило название свободной составляющей.

Для определения необходимо найти корней характеристического уравнения:

.

В случае, если корни простые, имеем:

,

где – произвольные постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий. Следует заметить, что практически во всех случаях действительная часть корней характеристического уравнения отрицательна, а это говорит о том, что свободная составляющая с течением времени затухает.

В линейных цепях существование корней с нулевой действительной частью возможно лишь в цепях без потерь, состоящих только из реактивных элементов. В этом случае в цепи возникают незатухающие колебания. Так как на практике таких цепей не существует, их исследование носит чисто теоретический характер.

. Рассмотрим применение такого метода для анализа тока в цепи, содержащей последовательно включенные индуктивность и резистор (рис. 1). Дифференциальное уравнение для той цепи имеет вид:

.

Отсюда получаем однородное уравнение, определяющее свободную составляющую тока:

,

для которого характеристическое уравнение имеет вид с единственным корнем . Поэтому

,

(1)

Постоянная интегрирования определяется по начальному значению тока . Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2. В ней протекает ток . Будем считать, что в момент времени был замкнут ключ . Это значит, что напряжение на участке цепи AB становится равным нулю и установившийся ток также равен нулю. Однако, поскольку , подстановка в (1) значений , , приводит в рассматриваемом случае к значению. Вид зависимости представлен на рис. 3.

Переходной процесс характеризуют величиной , называемой постоянной времени. Она численно равна длительности интервала времени, в течение которого свободная составляющая уменьшается в е = 2,71828… раз. Для нахождения часто пользуются графоаналитическим методом – величина отрезка, ограниченного точкой пересечения касательной зависимости , построенной в любой точке T этой зависимости, и проекцией точки T на ось абсцисс числена равна (рис. 3). Очевидно, что чем больше величина , тем меньше скорость протекания переходного процесса.

Формально интервал времени, в течение которого переходной процесс будет завершен, оказывается бесконечно большим. Однако, в течение интервала времени, длительность которого составляет (3…5), изменения параметров сигналов в цепи становятся настолько малыми, что можно считать переходной процесс закончившимся – рис. 3.

Отметим, что при проведении экспериментальных исследований переходных процессов с применением осциллографа для их регистрации оценки величины получают, пользуясь классическим определением этой величины. На рис. 4 изображена типичная осциллограмма переходного процесса в звене и отмечены уровни напряжений, используемые в качестве пороговых для оценки величины . Обратите внимание, что вычисление уровней напряжений должно выполняться с учетом величины смещения сигнала , которая может быть как положительной и отрицательной, так и нулевой.

Более сложный характер имеют переходные процессы в цепях с двумя реактивными элементами – индуктивностью и емкостью. В зависимости от величин , и переходной процесс может носить либо апериодический, либо колебательный характер. Для цепи, изображенной на рис. 5,

Рис. 5. звено

.

Продифференцировав обе части этого уравнения, получим уравнение для тока в цепи

.

Отсюда, проведя деление обеих частей уравнения на , получим уравнение для свободной составляющей тока

,

откуда, используя замены и , получим характеристическое уравнение

имеющее два корня: и . Поэтому

.

Анализ полученного характеристического уравнения показывает, что при процесс носит апериодический характер, а при будет наблюдаться колебательный процесс. Режим, при котором , носит название критического. Этот процесс – предельный случай апериодического переходного процесса.

Если выполняется условие , частота свободных колебаний определяется из соотношения

.

Амплитуда этих колебаний будет убывать с течением времени. Величина , называемая декрементом колебаний, характеризует скорость затухания колебаний. Ее находят путем вычисления отношения амплитуд двух последовательных колебаний:

,

где – период свободных колебаний.

Для определения скорости затухания колебаний часто пользуются величиной логарифмического декремента затухания : . Отметим, что при малом затухании в цепи, когда выполняется условие

,

частота свободных колебаний приближается к частоте собственных резонансных колебаний контура: .