Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лекции по физике 4 сем Семиколенов / Семестр_4_Лекции_07_08

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

165.53 Кб

Скачать

☆

Семестр 4. Лекции 7-8.

Лекции 7 - 8. Представление физических величин операторами.

Операторы координаты, импульса, момента импульса, потенциальной и кинетической энергии. Гамильтониан квантовой системы как оператор полной энергии. Основные постула- ты квантовой механики. Вероятностный характер результатов измерений в квантовой меха- нике. Вычисление средних значений физических величин в квантовых системах.

Как уже было сказано измерение любого параметра, характеризующего состояние системы, меняет это состояние. Следовательно, меняется волновая функция. Поэтому любому измерению какой-то физической величины А в квантовой механике соответствует оператор, обозна-

ˆ
чаемый как A , переводящий волновую функцию состояния до измерения Ψ в волновую функ-
	ˆ
цию состояния после измерения Ψ , т.е. A (Ψ ) = Ψ . Принцип суперпозиции состояний требует,
чтобы этот оператор был линейным	ˆ	ˆ	ˆ
чтобы этот оператор был линейным	A (c1Ψ1	+ c2 Ψ 2 ) = c1 AΨ1	+ c2 AΨ 2 .

В квантовой механике любое значение измеряемой физической величины должно являться собственным значением оператора данной физической величины, т.е. если при измерении получается значение А, то существует такая волновая функция Ψ′, что выполняется соот-

ношение	ˆ
	A (Ψ′) = A Ψ′ . Эта функция называется собственной функцией данного оператора.

Так как измеряемые величины должны быть вещественными, то и все собственные значения данного оператора, соответствующего этой физической величине, должны быть вещественными. Это означает, что оператор должен быть эрмитовым (или комплексно самосопряжённым.)

Это следует понимать следующим образом. Паре любых комплексно значных функций u и v, заданных в одной области V можно сопоставить скалярное произведение по следующему

правилу (u ,v ) = ∫v* u dV (при условии, что данный интеграл существует).

Аксиомы скалярного произведения выполняются

(u ,u ) = ∫u* u dV = ∫ u 2 dV ≥ 0 . Если (u ,u ) = ∫ u 2 dV = 0 , то u ≡ 0 .

		V	V		V
В комплексном случае условие симметричности скалярного произведения принимает вид
		(u ,v ) = ∫v* u dV = ∫(u* v )* dV = (v,u )* .
			V		V
Для любого числа λ выполняется (λu ,v ) = λ (u ,v ) и (u ,λv ) = λ* (u ,v ) .
Линейность по аргументам очевидна.
	Оператор	ˆ			ˆ
	Оператор	B называется сопряжённым к оператору A (относительно скалярного произ-
					ˆ	ˆ
ведения) если для любых функций u и v выполняется равенство (A (u ) ,v ) = (u , B (v )). Сопря-
женный оператор обозначается			ˆ	ˆ *
женный оператор обозначается			B =	A . Оператор называется самосопряжённым (или эрмито-
					ˆ ˆ *
вым) если он совпадает со своим сопряжённым A = A .
	Все собственные числа самосопряжённого оператора являются вещественными.
					ˆ
Пусть u – собственная функция самосопряжённого оператора A . Тогда существует ненулевое
				ˆ	ˆ
число A, такое, что выполняется равенство A (u ) = A u . Поэтому (A (u ) ,u ) = A (u ,u ) . Но
ˆ	ˆ *	ˆ		*	(u ,u ). Следовательно,	*
(A (u ) ,u ) = (u , A		(u )) = (u , A (u )) = (u , A u ) = A			(u ,u ). Следовательно,	A = A - собственное зна-

чение является вещественным.

Собственные функции самосопряжённого оператора, отвечающие разным собственным

значениям взаимно ортогональны (u ,v ) = 0 . Пусть				ˆ	и	ˆ
значениям взаимно ортогональны (u ,v ) = 0 . Пусть				A (u ) = A u	и	A (v ) = A v . Тогда
				1			2
ˆ	ˆ	ˆ *	ˆ			*	(u ,v ) = A2	(u ,v )
(A (u ) ,v ) = A1 (u ,v ) и (A (u ) ,v )		= (u , A (v )) = (u , A (v )) = (u , A2 v ) = A2					(u ,v ) = A2	(u ,v )
Но т.к.	A1 ≠ A2 , то равенство A1 (u ,v ) = A2 (u ,v )		выполняется при (u ,v ) = 0 .

Семестр 4. Лекции 7-8.

Все собственные значения данного оператора образуют множество, которое называется спектр оператора. Если это множество является отрезком прямой (т.е. образуют континуум), то говорят, что у оператора непрерывный спектр. Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре оператора.

При измерениях конкретные значения физической величины получаются с некоторой вероятностью. Поэтому можно определить среднее значение физической величины, получаемое при измерениях в данном состоянии.

Для оператора с дискретным спектром среднее значение соответствующей физической величины определяется соотношением A = ∑ pn An , где pn = p ( An ) - вероятность получения

значения An .

В большинстве случаев собственные функции самосопряжённого оператора образуют полную систему функций. Это значит, что любую функцию можно представить в виде суммы Ψ = ∑cn Ψ n , где Ψ n - все собственные функции, образующие полную систему.

(Предполагается, что этот ряд сходится равномерно.) Для поиска коэффициентов разложения следует использовать свойство ортогональности функций. умножим левую и правую части на

Ψ n

(Ψ ,Ψn ) = cn (Ψ n ,Ψn ) , cn =	(Ψ ,Ψn )	.
	(Ψ n ,Ψ n )

Пусть полная система функций ортонормированна, т.е. (Ψ n ,Ψ m ) = 1 при n = m и (Ψ n ,Ψ m ) = 0

при n ≠ m . Это условие записывают в виде (Ψ n ,Ψ m ) = δnm , где символ Кронекера определяют как функцию от натуральных чисел

δ (n,m) = δnm

= 1,

n = m .

n ≠ m

Тогда получаем, что cn = (Ψ ,Ψ n ) .

Будем предполагать, что для функции Ψ выполняется условие нормировки ∫

2 dV = 1,

которое можно переписать в виде (Ψ ,Ψ ) = 1 . Тогда

(Ψ ,Ψ ) =

∑cn Ψ n ,∑cm

Ψ m =

∑cn (cm )* (Ψ n ,Ψ m ) = ∑

2 = 1.

Если функцию, нормированную на единицу, разложить в ряд по полной ортонормирован- ной системе собственных функций самосопряжённого оператора физической величины, то квадраты модулей коэффициентов разложения дадут вероятности получения собственных значений, соответствующих данным собственным функциям. Т.е. если (Ψ ,Ψ ) = 1 и

(Ψ n ,Ψ m ) = δnm , то pn

= p ( An )

, где cn

= (Ψ ,Ψ n )

при выполнении

Ψ n . В этом

A (Ψ n ) = An

случае среднее значение можно определить равенством

A = ∑ pn An = ∑

∑ An cn Ψ n

,∑cm

(Ψ ) ,Ψ ) .

= ∑cn (cm ) (Ψ n ,Ψ m ) An

Ψm

= (A

Если оператор имеет непрерывный спектр, то среднее значение соответствующей физической величины определяется аналогично

= ( ˆ (Ψ ) Ψ ) = ∫Ψ* ˆ (Ψ )

A A , A dV .

Следовательно, если функция Ψ, описывающая состояние системы является собственной для

данного оператора	ˆ
	A , то при измерении мы получаем пропорциональную функцию Ψ = A Ψ ,

Семестр 4. Лекции 7-8.

которая «теряет условие нормировки на единицу» ∫		2	dV = ∫		2		2
		2			2		2
	Ψ			A Ψ		dV = A		. Т.е. можно счи-
V			V

тать, что состояние системы не меняется. Очевидно, что вероятность получения результата А при измерениях в этой ситуации равна 1. И среднее значение совпадает с результатом <A>=A.

Если в каком-то состоянии, определяемом функцией Ψ надо измерить одновременно две физические величины А и В, то согласно общим правилам измерений надо подействовать соот-

ветствующими операторами	ˆ	ˆ	на пси-функцию данного состояния. Если эта функция яв-
	A и	B

ляется собственно одновременно для обоих операторов, то состояние системы не изменится и вероятность получения обоих результатов равна единице. Говорят, что в этом случае две вели-

чины одновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью. В этом случае результа-

					ˆ ˆ	ˆ	ˆ
ты измерений не зависят от порядка их проведения, т.к. A (B (Ψ )) = B (A (Ψ )) .
В общем случае каждое измерение меняет состояние системы, поэтому результаты будут
	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ
зависеть от порядка измерений A (B (Ψ )) ≠ B (A (Ψ )).
Коммутатором двух операторов			ˆ	ˆ	называется оператор		ˆ ˆ
Коммутатором двух операторов			A и	B	называется оператор		A, B , определяемый со-
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ
отношением A, B	(Ψ ) = A (B (Ψ ))− B (A (Ψ )).
Смысл этого определения можно уяснить, если переписать определение в другом виде
	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ	ˆ ˆ	(Ψ ) .
	A	(B (Ψ ))	= B	(A	(Ψ ))+ A, B	(Ψ ) .

Т.е. коммутатор – это добавочный оператор, позволяющий переставлять порядок операторов.

ˆ ˆ

Если для двух операторов A

их коммутатор A,B = 0 является нулевым операто-

ром, то говорят, что эти операторы

B перестановочны или коммутируют друг с другом.

Оказывается, что если для операторов двух величин A и

B выполняется соотношение

ˆ ˆ

A, B

= i K , где

K - оператор некоторой величины, то для неопределённостей этих величин

можно написать соотношение A

B ≥

< K >

Как известно, две физические величины могут быть одновременно измерены со сколь

угодно точностью только в случае, если они канонически не сопряжены A B = 0 . Поэтому

для них должно быть

< K >

= 0 , т.е.

= 0 (нулевой оператор). Это значит, что две величины

одновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью, если их операторы коммути- руют, т.е. их коммутатор является нулевым оператором.

Операторы квантовой механики. Операторы координаты определяются действием на функции

xˆ (Ψ ) = x Ψ , yˆ (Ψ ) = y Ψ , zˆ (Ψ ) = z Ψ .

Все три оператора перестановочны между собой. Например,

[ ] ( ) ( ) [ ] ˆ

коммутатор xˆ, yˆ (Ψ ) = xˆ yˆ (Ψ ) − yˆ xˆ (Ψ ) = x y Ψ − y x Ψ = 0 , т.е. xˆ, yˆ = 0 .

Следовательно, координаты могут быть одновременно измерены с любой точностью. Оператор координаты является самосопряженным. Проверим это, например, для xˆ :

(ˆx (Ψ1 ) ,Ψ2 ) = ∫Ψ 2* ˆx (Ψ1 ) dV = ∫Ψ 2* x Ψ1 dV = ∫Ψ 2* x* Ψ1 dV =

V V V

= ∫( xΨ 2 )* Ψ1 dV = (Ψ1 , ˆx (Ψ 2 ))

Собственные числа этого оператора – это значения координат. Очевидно, что эти значения - действительные числа. Оператор координаты обладает непрерывным спектром, поэтому среднее значение, например, координаты x определяется равенством

Семестр 4. Лекции 7-8.

x = ∫Ψ* ˆx (Ψ )dV = ∫Ψ* xΨdV = ∫ x Ψ 2 dV .

V V V

Оператор радиус-вектора определяется как векторная функция
	xˆ (Ψ ) + e	ˆy (Ψ ) + e	ˆz (Ψ ) = x Ψ e	+ y Ψ e	+ z Ψ e
R (Ψ ) = e
x	y	z	x	y	z

где ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.

Оператор проекции импульса на ось декартовой системы координат

ˆp

(Ψ ) =

∂Ψ

ˆp

(Ψ ) =

∂Ψ

ˆp

(Ψ ) =

∂Ψ

∂x

i ∂y

i ∂z

Проверим, что этот оператор самосопряженный для одномерного случая. Т.к. частица находится в ограниченной области, то на границе области волновая функция частицы обязательно обращается в ноль. Если область задана интервалом a < x < b , то Ψ (a ) = 0 и Ψ (b ) = 0

( ˆp (Ψ ) ,Ψ ) = b

Ψ * ˆp

(Ψ ) dx = b

Ψ *

∂Ψ1

dx =

Ψ *

∂Ψ1

dx =

∫

i ∂x

∫

∂x

∂Ψ 2*

b ∂Ψ

(

))

(

Ψ1

−

∫

Ψ1

dx =

∫

−

Ψ1

∫

Ψ1

dx =

Ψ1

, px

∂x

i ∂x

a i

∂x

Собственные значения оператора проекции импульса – это значения проекции импульса. Найдём собственные функции оператора проекции импульса на ось. Для этого надо разрешить операторное уравнение ˆpx (Ψ ) = px Ψ . С учётом определения оператора получаем обыкновенное

дифференциальное уравнение первого порядка

∂Ψ

= px Ψ , которое решаем методом разде-

∂x

d Ψ

= i

dx , откуда Ψ = C ei

x , где С не зависит от х.

ления переменных

Коммутатор операторов проекций импульса на разные координатные оси

ˆp

, ˆp

(Ψ ) = ˆp

( ˆp

(Ψ ))− ˆp

( ˆp

(Ψ )) =

∂

∂Ψ

−

∂

∂Ψ

= 0 .

i ∂x

i ∂y

i ∂x

Т.е. координаты импульсов могут быть измерены одновременно с произвольной точностью. Найдём коммутатор оператора координаты и проекции импульса на одну ось

[ ˆpx

, ˆx](Ψ ) = ˆpx (ˆx (Ψ )) − xˆ ( ˆpx (Ψ )) =

∂

∂Ψ

( xΨ ) − x

Ψ + x

− x

Ψ .

i ∂x

		ˆ	, где	ˆ	- единичный оператор, т.е.	ˆ	(Ψ ) = Ψ .
Таким образом, [ ˆpx , ˆx] = −i I				I		I
С учётом того, что	ˆ	= 1 для импульса вдоль оси Х и координаты х можно написать соотно-

	I

шение x px	≥	. Т.е. эти величины являются канонически сопряжёнными.

	2

Найдём коммутатор оператора координаты и проекции импульса на разные оси

[ ˆpx , ˆy ](Ψ ) = ˆpx ( ˆy (Ψ )) − ˆy ( ˆpx (Ψ )) =

∂

( y

Ψ ) − y

∂Ψ

= 0 .

∂x

i ∂x

Т.е. эти величины не являются канонически сопряжёнными.

Оператор вектора импульса

∂Ψ ∂Ψ

∂Ψ

p (Ψ ) = ex

ˆpx (Ψ ) + ey ˆpy (Ψ ) + ez ˆpz (Ψ ) =

Ψ ,

i ∂y

i ∂x

∂z

∂Ψ

где оператор «набла» в декартовых координатах задаётся в виде Ψ =

∂x

∂y

∂Ψ + ez .

∂z

Семестр 4. Лекции 7-8.
В квантовой механике вводят оператор полной энергии	ˆ
В квантовой механике вводят оператор полной энергии	E , такой, что изменение волно-

вой функции во времени (или как говорят эволюция) полностью определяется этим оператором:

∂Ψ

= E (Ψ ).

∂t

Собственные значения оператора полной энергии – это значения энергии системы:

(Ψ ) = E Ψ .

Найдём вид собственных функций для оператора полной энергии.

∂Ψ

d Ψ

dt , Ψ = ψ e−i

= E Ψ ,

= −i

, где ψ - функция, не зависящая от времени.

∂t

Если энергия системы не меняется (стационарное состояние), то волновая функция имеет вид

−i

Ψ = ψ e

Если по аналогии с пространственными координатами ввести оператор времени

= t

Ψ , то можно найти коммутатор операторов полной энергии и времени

t (Ψ )

ˆ ˆ

∂

∂Ψ

E ,t

(Ψ ) = E (t

(Ψ )) − t

(E (Ψ )) = i

Ψ ) − t

= i Ψ + t

− t

= i Ψ .

∂t

Т.е. эти величины являются канонически сопряжёнными и для них можно написать соотноше-

ние неопределённостей E t ≥ . В данном случае t – это минимальный интервал времени

между измерениями энергии системы.

Построение операторов квантовой механики Для построения оператора квантовой механики, соответствующей некоторой динамиче-

ской переменной в классической механике, следует сначала записать классическое выражение этой величины через импульс и координаты, а затем заменить импульс и координату соответствующими операторами.

Оператор момента импульса.

В классической физике вектор момента импульса относительно некоторой точки определяется

( yp

− zp

( zp

− xp

(xp

− yp

) ,

выражением L = R × p =

= e

) + e

где ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.

Тогда вектор-оператор момента импульса должен принять вид

ˆzpˆ y )

(ˆzpˆ x −

ˆxpˆ z )

(ˆxpˆ y

− ˆypˆ x ).

L = R × p = ex ( ˆypˆ z −

+ ey

+ ez

Операторы проекций моментов импульса на оси

= ˆypˆ z − ˆzpˆ y ,

− xpˆ ˆ z ,

− ˆypˆ x .

Ly = ˆzpˆ x

Lz = xpˆ ˆ y

Замечание. Т.к. операторы проекции импульса на ось и координаты на другую ось коммутируют друг с другом, то в последних трёх равенствах их порядок не влияет на результат.

Рассмотрим, например, коммутатор

(Ψ )) = ( ˆypˆ z − ˆzpˆ y )(ˆzpˆ x − ˆxpˆ z )(Ψ ) − (ˆzpˆ x − ˆxpˆ z )(ˆypˆ z − ˆzpˆ y )(Ψ ) =

, Ly

(Ψ ) = Lx

(Ly

(Ψ ))− Ly (Lx

∂

∂Ψ

∂

∂Ψ

= y

− z

− x

− z

− x

− z

i ∂x

i ∂z

i ∂y

i ∂x

i ∂z i ∂z

i ∂y

∂Ψ

2 ∂2

∂2 Ψ

2 ∂2 Ψ

∂2 Ψ

2 ∂2 Ψ

∂2 Ψ

2 ∂2 Ψ

= − y

− yz

+ yx

+ z

− zx

+ zy

− zz

− xy

∂x

∂z∂x

∂z 2

∂y∂x

∂y∂z

∂x∂z

∂x∂y

∂z 2

2 ∂Ψ

2 ∂2 Ψ

∂Ψ

(ˆypˆ x − ˆxpˆ y )(

+ x

+ zx

= y

− x

Ψ ) = −

Lz (Ψ )

∂y

∂z∂y

i i ∂x

i i ∂y

i i ∂x

i ∂y

Семестр 4. Лекции 7-8.

Т.е. проекции импульса на разные оси не могут быть измерены одновременно с произвольной точностью.

Запишем оператор проекции момента импульса на ось z, т.е.

, в цилиндрической сис-

теме координат (r ,ϕ, z ) : x = r cos ϕ ,

, ϕ = arctg

y = r sin ϕ . Откуда r = x2 + y 2

∂r

= cos ϕ ,

∂r

= sin ϕ ,

∂x

x2 + y2

∂y

x2 + y 2

∂ϕ

= −

sin ϕ

∂ϕ

cos ϕ

y 2 x2

∂x

∂y

y 2 x

1 +

Выразим производные

∂Ψ

∂r

∂Ψ

∂ϕ

= cos ϕ

∂Ψ

−

sin ϕ

∂Ψ

∂r

∂Ψ

∂ϕ

= sin ϕ

∂Ψ

cos ϕ

∂Ψ

∂x

∂r ∂x ∂ϕ ∂x

∂r

r ∂ϕ ∂y

∂r ∂y ∂ϕ ∂y

∂r

r ∂ϕ

∂Ψ

Lz (Ψ ) = ˆx ( ˆpy (Ψ )) −

ˆy ( ˆpx (Ψ )) = x

− y

i ∂y

i ∂x

∂Ψ

cos ϕ ∂Ψ

∂Ψ

sin ϕ ∂Ψ

∂Ψ

r cos ϕ sin ϕ

− r sin ϕ cos ϕ

−

∂r

∂ϕ

∂r

r ∂ϕ

i ∂ϕ

Если ввести оператор угловой координаты поворота вокруг оси z: ϕˆ (Ψ ) = ϕ Ψ , то можно рас-

смотреть коммутатор

ˆ (

)

(ˆ (

))

(

)

) =

∂

(

)

− ϕ

∂Ψ

= −i

Ψ , т.е.

,ϕ

= Lz

− ϕ (Lz

i ∂ϕ

,ϕ = −i

I . Поэтому угловая координата поворота вокруг оси z и проекция момента им-

пульса на эту ось являются канонически сопряжёнными величинами

L Δϕ ≥

Собственные значения оператора проекции импульса на ось – это величины проекции

(Ψ ) = Lz Ψ . Найдем вид собственных функций,

отвечающих этим собст-

момента импульса Lz

∂Ψ

= L Ψ , откуда Ψ = C ei

венным значениям:

(где С – функция, не зависящая от ϕ).

∂ϕ

Учитывая, что при повороте вокруг оси z на угол 2πm (m - целое число) вид функции не меня-

ется, получаем равенство Lz = m , т.е. проекция момента импульса на ось z может принимать

значения, кратные приведённой постоянноё Планка ħ: Lz = m . В этом смысле постоянную Планка иногда называют квантом действия.

Оператор потенциальной энергии В классической механике потенциальная энергия зависит от взаимного положения тел.

Выражение для потенциальной энергии квазиупругой силы (вдоль оси Х)

U =

в опе-

kxˆ 2

(xˆ

(Ψ )) =

раторном виде будет выглядеть так же U (Ψ ) =

(Ψ ) =

xˆ

x x Ψ =

Ψ .

Семестр 4. Лекции 7-8.

Выражение для потенциальной энергии кулоновского взаимодействия двух точечных за-

1 q1 q1

q1 q1

рядов U =

перейдет в оператор такого же вида U (Ψ ) =

(Ψ ) , где оператор

4πε0 R

4πε0

(Ψ ) =

является обратным к оператору

R (Ψ ) = R Ψ . Очевидно, что

Ψ , поэтому

ˆ (Ψ ) = q1 q1 Ψ U

4πε0 R

Оператор кинетической энергии.

В классической механике кинетическая энергия тела определяется выражением

mv2

EK =

. Поэтому оператор кинетической энергии имеет вид

ˆp2

ˆp ( ˆp (Ψ )) =

EK (Ψ ) =

(Ψ ) =

(Ψ )

= −

(Ψ ) = −

ΔΨ .

2m i i

Найдём собственные значения оператора кинетической энергии для одномерного случая

d 2 Ψ

EK (Ψ ) = EK

Ψ или −

= EK

Ψ . Получаем уравнение, с котором уже встречались в за-

dx2

d 2 Ψ 2m

даче об одномерной яме с непроницаемыми стенками

EK Ψ = 0 .

dx2

2mE

Откуда Ψ = C sin

x .

Оператор Гамильтона.

В классической механике механическая энергия тела, записанная как функция импульса

и координат, называется функцией Гамильтона H = EK + U =

+ U .

В квантовой механике соответствующий оператор называется оператором Гамильтона

(или гамильтонианом)

(Ψ ) =

ˆp2

(Ψ )

(Ψ ) = −

+ U

ΔΨ + U Ψ .

Уравнение Шрёдингера.

Если рассматривать нерелятивистские частицы, то их полную энергию можно опреде-

лять формулой H = EK + U =

+ U . Поэтому оператор полной энергии в нерелятивистском

случае совпадает с оператором Гамильтона

(

Ψ ) = H (Ψ ). Поставляя это равенство в уравне-

∂Ψ

ние эволюции волновой функции i

= E (Ψ ), получаем временное уравнение Шрёдингера

∂t

∂Ψ

= −

ΔΨ + U Ψ .

∂t

Таким образом, временное уравнение Шрёдингера описывает нерелятивистские частицы. Замечание. Если рассматривать релятивистские частицы, то их полная энергия связана с

импульсом соотношением E 2 = c2 p2 + m2c4

. Поэтому соответствующее операторное равенство

ˆ 2

ˆ ˆ

∂

∂Ψ

∂2 Ψ

примет вид E

(Ψ ) = c

ˆp

(Ψ ) + m0 c

Ψ . Но E

(Ψ ) = E (E (Ψ )) = i

= −

∂t 2

∂t

Семестр 4. Лекции 7-8.

ˆp2 = − 2 ΔΨ . В итоге получается уравнение 2	∂2 Ψ	= c2 2 ΔΨ − m2c4	Ψ , которое описывает
	∂t 2
		0

свободные релятивистские частицы (с целым спином) и носит название уравнения Гордона-

Фока.

Если попытаться записать линейную связь между энергией и импульсом для релятивист-

ского случая в виде E = cσ

+ cσ

+ σ m c2

, так, чтобы выполнялось равенство

0 0

(cσ

+ cσ

+ σ

m c2 )2

= c2 p2 + m2 c4 , то после подстановки в уравнение эволюции

волновой функции получится уравнение Дирака

∂Ψ

= σ

∂Ψ

+ σ

∂Ψ

+ σ

∂Ψ

+ σ m c2 Ψ .

∂t

i ∂x

i ∂y

i ∂z

0 0

Вэтом уравнении σ0, σx, σy, σz – специальные матричные операторы (4х4), а

Ψ= (Ψ1 ,Ψ2 ,Ψ3 ,Ψ 4 ) - вектор-функция.

Пример. В момент времени t=0 волновая функция частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид


	3πx		πx
ψ ( x ) = A cos		sin		.

	2a		2a

Считая, что масса частицы равна m0, найдите среднюю кинетическую энергию частицы в данном состоянии. Укажите, суперпозицией каких состояний частицы в потенциальной яме является данное состояние. Найдите волновую функцию Ψ(x, t).

Решение. В одномерной яме с непроницаемыми стенками как стационарной задаче, волновые функции частицы имеет вид

( x,t ) =

nπx −i

2 π2

Ψ n

sin

, где En

n2 .

2ma

nπx

При t=0 получаем, соответственно, Ψ n ( x,0) = ψn

sin

Воспользуемся формулой Эйлера eiα = cos α + i sin α , откуда cos α =

eiα + e−iα

sin α =

eiα − e−iα

. Тогда

2 πx

−i

2 πx

πx

−i

πx

3πx

−i

3πx

πx

−i

πx

e a − e

a − e a − e

3πx

πx

ψ ( x ) =

e 2 a

+ e

2 a

e 2 a − e

2 a

A cos

sin

= A

2πx

πx

sin

− sin

Нормируем функцию ψ на единицу

2πx

πx 2

ψ ( x )

dx =

sin

− sin

dx =

∫

2 a

2πx

πx

∫sin2

dx − 2∫sin

sin

dx + ∫sin2

dx = 1

Семестр 4. Лекции 7-8.

k πx

sπx

k πx

Теперь воспользуемся тем, что ∫sin

sin

dx = 0 при k ≠ s и ∫sin2

dx =

для k > 0 . Поэтому ∫

ψ ( x )

dx =

1, откуда

т.е.

множитель можно взять

в виде A =

. В итоге получаем

ψ ( x ) = A cos

3πx

πx

2πx

πx

sin

− sin

Т.к. система функций ψn

ортонормированная и функция ψ нормирована на единицу, то ищем

коэффициенты разложения

nπx

2πx

πx

= (ψ,ψn ) = ∫ψn* ψdx = ∫

sin

− sin

nπx

2πx

nπx

πx

2 1

∫sin

sin

dx − ∫sin

sin

a a 0

откуда c =

, c

= −

, остальные c = 0 .

a 2

Т.е вероятность обнаружения частицы в основном состоянии ( n = 1 ) равна p =

и в пер-

вом возбуждённом состоянии p

Поэтому Ψ ( x,t ) = Ψ1 ( x,t ) + Ψ1 ( x,t ) =

1 2

πx

−i

1 2

2πx

−i

sin

−

sin

где

E =

2 π2

E =

2 2 π2

2ma2

ma2

Т.к. энергия частицы в этом состоянии не определена однозначно, то данное состояние не является стационарным.

Найдём среднюю кинетическую энергию

E		= p E + p E =	1	2	π2	+	1	2 2	π2	=	3 2	π2	.
				2ma2				ma2			4ma2
	K	1 1 2 2	2				2

Найдём среднее значение кинетической энергии другим способом – прямым вычислением по формуле

* ˆ	a	*		2 d 2 Ψ
EK = ∫Ψ EK (Ψ )dV = ∫Ψ			−			dx =
EK = ∫Ψ EK (Ψ )dV = ∫Ψ			−		2	dx =
V	0			2m dx

2πx

πx

2π 2

2πx

π 2

πx

∫

sin

− sin

sin

−

sin

dx =

0 a

1 a

2π 2

π 2

3 2

π2

−

2m a 2

4ma

Соседние файлы в папке лекции по физике 4 сем Семиколенов

#
10.02.2015200.91 Кб30Семестр_4_Лекции_05_06.pdf
#
10.02.2015165.53 Кб30Семестр_4_Лекции_07_08.pdf
#
10.02.2015145.01 Кб29Семестр_4_Лекции_09_10.pdf
#
10.02.2015194.78 Кб31Семестр_4_Лекции_14_15.pdf
#
10.02.2015195.3 Кб29Семестр_4_Лекции_17_18.pdf
#
10.02.2015146.52 Кб28Семестр_4_Лекции_19_20.pdf
#
10.02.2015125.25 Кб31Семестр_4_Лекции_21_22.pdf