
Лекция n7 Уравнения движения механизма
В Рис.
7.1
и к ней приложен суммарный приведенный
момент
.
Закон движения модели такой же, как и
закон движения начального звена механизма
(см. уравнение 7.1).
Основой для составления уравнения движения механизма с одной степенью свободы служит теорема об изменении кинетической энергии:
(7.1)
Работу совершают все активные силы и моменты и силы трения во всех кинематических парах механизма.
Уравнение движения в энергетической форме. Запишем формулу для кинетической энергии модели, учитывая уравнение (7.1):
(7.2)
Так
как вся нагрузка, приложенная к модели,
выражается суммарным приведенным
моментом
,
то
сумма работ равна
(7.3)
Здесь
переменная интегрирования
заменена координатой
начального звена, так как
Учитывая (5.16) и подставив выражения (7.2) и (7.3) в основное уравнение (7.1), получим уравнение движения в энергетической форме:
(7.4)
где
искомой величиной является угловая
скорость
начального звена механизма. В общем
случае верхний предел
интегрирования в уравнении (7.4)
считается переменным.
Если
вся нагрузка, приложенная к механизму,
зависит только от его положения, то и
суммарный приведенный момент
есть
функция только координаты
.
В этом случае уравнение (7.4) решается
непосредственно относительно искомой
величины
:
(7.5)
Укажем, что интеграл под корнем имеет знак, который надо учитывать.
Уравнение
движения в дифференциальной форме.
Продифференцируем уравнение (7.4 по
координате
:
Определим
производную, стоящую в левой части
уравнения, помня, что в общем случае
переменой величиной является не только
угловая скорость
,
но и
.
Поэтому:
Откуда (7.6)
Это
и есть уравнение движения в дифференциальной
форме, поскольку искомая переменная
величина — угловая скорость
начального звена механизма - стоит
под знаком производной. При пользовании
уравнением (7.6) надо помнить, что суммарный
приведенный момент
,
а
также производная
суть величины алгебраические и
подставляются со своими знаками.
В
том случае, когда исследуется механизм,
имеющий
(например, зубчатый механизм с круглыми
колесами), уравнение его движения
упрощается и приобретает такой вид:
(7.7)
Уравнение движения в дифференциальной форме (7.6) может быть получено также и из уравнений Лагранжа II рода [2], [4].
Для
определения углового ускорения
начального
звена используем уравнение (7.6), решим
его относительно
:
(7.8)
Величины
и
подставляются в уравнение (7.8) со своими
знаками. Если угловое ускорение
получится со знаком, противоположным
знаку угловой скорости
,
то это значит, что начальное звено
механизма движется замедленно.
Производная
подсчитывается или численным
дифференцированием на ЭВМ, или
графическим дифференцированием (см. §
4.2). Другой значительно более точный (но
и более трудоемкий) способ определения
производной
можно найти в литературе
(см.: Минут С. Б. Об определении производной приведенного момента инерции массы звеньев механизма// Науч. тр. МВТУ им. Н. Э. Баумана, 1970; Зиновьев В. А., Бессонов А. П. Основы динамики машинных агрегатов. М., 1964).