Учебная литература / Геометрические и кинематические характеристики механизмов

Главная

Лекция 3. Кинематический анализ механизмов.

Цели и задачи кинематического анализа

Кинематический анализ механизма – исследование его основных параметров с целью изучения законов изменения и на основе этого выбор из ряда известных наилучшего механизма. По сравнению с синтезом анализ механизма широко используется впрактике.

Кинематический анализ механизма выполняется либо для заданного момента времени, либо для заданного положения входного звена; иногда для анализируемого положения механизма задают взаимное расположение каких­ либо его звеньев.

Цели:

1.Определение кинематических характеристик звеньев: перемещение; скорость; ускорение; траектория движения; функция положения при известных законах движения входных (ведущих)звеньев.

2.Оценка кинематических условий работы рабочего (выходного)звена.

3.Определение необходимых численных данных для проведения силового, динамического, энергетического и других расчётовмеханизма.

Исходные данные:

1.Кинематическая схема механизма.

2.Размеры и иные геометрические параметры звеньев (но только такие, которые не изменяются при движении механизма).

3.Законы движения входных звеньев (или параметры движения, например, угловая скорость и угловое ускорение входного звена ввыбранномдля анализа положении механизма).

Для механизмов, подчиняющихся классификации Л. В. Ассура, порядок кинематического анализа определяется формулой строения: вначале находят параметры движения начальных механизмов и затем – структурных групп в порядке следования их в формуле строения. Здесь следует руководствоваться простым правилом: кинематика любого элемента формулы строения может быть изучена только после того, как она изучена для всех предшествующих в этой формуле элементов.

Задачи:

­о положениях звеньевмеханизма.Определение траекторий движения точек; ­о скоростях звеньевили отдельных точекмеханизма;

­об ускорениях звеньевили отдельных точекмеханизма.

Методы:

­графический (или метод графикови диаграмм);

­графоаналитический (или метод плановскоростей и ускорений); ­аналитический;

­экспериментальный.

Графический метод кинематического анализа

Преимущество этого метода заключается в наглядности и простоте. Он хорош для кинематического анализа звеньев, совершающих возвратно­поступательное движение. Недостаток метода – невысокая точность, которая зависит от точности графических построений.

Задача о положениях решается построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин при различных последовательных положениях ведущего звена.

Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением графиков (диаграмм) перемещений, скоростей и ускорений исследуемой точки.

Последовательность кинематического анализа:

1.Сначала строят несколько (чаще всего 12 и более)совмёщенных планов механизма в произвольно выбранном масштабе длин.

2.Затем строят график пути (перемещения) исследуемой точки или звена, для чего используют совмещённые планы механизма и последовательные положения на них исследуемой точки или звена.

3.Графическимдифференцированиемграфика перемещений строят графикскорости исследуемой точки.

4.Графическимдифференцированиемграфика скоростей строят графикускорений.

Графическое дифференцирование можно производить методом хорд и методом касательных. С целью повышения точности удобно использовать оба метода одновременно.

Пример 1.

Даны кривошипно­ползунный механизм, длины звеньев которого – кривошипа и шатуна – LOA и LAB

соответственно,и угловая скорость кривошипа .

Определить скорости и ускорения ползуна при различных положениях кривошипа.

Решение.

Выбираем масштабы длин ,м/мм, где AO – длина отрезка, мм, изображающая кривошип длиной LОА на строящемся плане механизма; эта длина выбирается произвольно с учётом того, что совмещённые планы механизма должны разместиться на отведённомместе чертежа,а саммасштаб длин был бы удобен для дальнейших расчётов.

Вычисляем длину отрезка , мм, изображающего шатун на плане механизма. При построении совмещенных плановмеханизма используют метод засечек (рис.3.1).

Для построения графиков скоростей и ускорений (рис. 3.1) выбираются полюсные расстояния h и ha, где h – полюсное расстояние при построении графика скоростей, которое выбирается произвольной длины; рекомендуется его величину выбирать в пределах h =30…40 мм; ha – полюсное расстояние при построении графика ускорений; его рекомендуется принимать впределах ha=30…40 мм.

Масштабы времени,скорости и ускорения вычисляют по формулам,вывод которых приводится ниже. Масштаб времениможно вычислить по формуле

,

где Т – период одного оборота кривошипа, с; LX – длина отрезка между точками 1 и 1 на графике (диаграмме) перемещений,мм.

Таккакпериод Тможно вычислить по формулам

,или ,с,

где – угловая скорость кривошипа,1/с; n1 – частота вращения кривошипа,об/мин,то масштаб времени

,с/мм.

Масштаб скорости можно вывести из условия, что скорость исследуемой точки является производной перемещения S по времени:

Таккак,то ,отсюда

,.

Масштаб ускорения,вывод которого аналогичен предыдущему,вычисляется по формуле

,.

Для определения величины скорости или ускорения в каком­либо положении точки В необходимо длину

ординаты соответствующего графика умножить на масштаб или соответственно.

Рис.3.1.Совмещённые планы механизма,графики перемещений,скоростей и ускорений

Графоаналитический метод кинематического анализа

Графоаналитический метод называют методомпланов скоростейиускорений.

Задача о положениях решается графическим методом, то есть построением нескольких совмещённых планов механизма ввыбранноммасштабе длин.

Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений скоростей и ускорений звеньевмеханизма.

Преимущество этого метода по сравнению с графическим в том, что он менее трудоёмок, так как позволяет

План скоростей подобен самому звену,и повёрнут на девяносто градусоввсторону мгновенного вращения. Если план скоростей жёсткого звена подобен своему звену, то план скоростей механизма не подобен самому

механизму,таккаквотличие от жёсткого звена механизместь изменяемая подвижная система.

План скоростей механизма – совокупность планов скоростей отдельных звеньев, построенных из одной общей точки ,называемой полюсомплана скоростей.

Пример 2.

Дано:, и (рис.3.3).

Требуетсяопределить:.

Зададимся некиммасштабнымкоэффициентом.

Рис.3.3

Решение:

Для построения плана скоростей механизма существуют различные методы, наиболее распространённым из которых является метод векторных уравнений,разработанный советскими учёными.

Модуль скорости точки можно определить по следующей формуле: . Линия действия вектора скорости точки перпендикулярна звену ,а самвектор направлен всторону вращения звена .

Допустим, что точка не закреплена, и представим себе, что все точки звена совершают переносное движение со скоростью ,то есть .С одной стороны ,с другой стороны .

Вернём точку на действительную траекторию , для чего придадим точке скорость относительного

соответствующих точек, а векторы, которые не проходят через полюс плана ускорений, являются относительных

Определение ускорений графоаналитическим методом.

Рассуждая аналогично теореме подобия для определения скоростей отдельных точек звеньев, очевидно, что план ускорений жёсткого звена подобен самому звену,и повёрнут на девяносто градусов.

Полное ускорение можно найти геометрически просуммировав нормальное и тангенциальное ускорения, то

есть: (рис.3.4).

Рис.3.5

Решение:

Построение плана скоростей.

Скорости точек и равны нулю, поэтому на плане скоростей точки и совпадают с полюсом плана скоростей (рис.3.6).

Рис.3.6

Модуль скорости точки : . Линия действия вектора скорости точки : перпендикулярно звену

.

Скорость точки определяется изрешения векторного уравнения ,где ­ скорость точки

; ­ скорость точки , ­ скорость звена в его относительном вращении около точки . Вектор

известен. Линия действия вектора : перпендикулярно звену . Линия действия вектора : параллельно направляющей .

Скорость точки определяется с помощью теоремы подобия и правила чтения букв. Правило чтения букв заключается в том, что порядок написания букв на плане скоростей или ускорений жёсткого звена должен в точности

и, построив его на плане скоростей, получить точку .Соединив полюс плана скоростей с точкой получимвектор скорости точки ­.

1.Каквидно изпостроений,план скоростей механизма не подобен самому механизму.

2.План скоростей даёт возможность найти скорость любой точки любого звена по величине и направлению.

Построение плана ускорений.

Ускорения точек и равны нулю, поэтому соответствующие им точки и на плане ускорений совпадают с полюсомплана ускорений (рис.3.7).

Рис.3.7

Ускорение точки можно найти с помощью решения векторного уравнения , где ­

ускорение точки , которое равно нулю; ­ ускорение звена в его относительном движении около точки . Ускорение звена можно представить в виде векторной суммы его нормального и тангенциального ускорений, то

есть: .Тангенциальное ускорение звена равно нулю, поскольку его угловая скорость не меняется,

поэтому ускорение точки равно нормальному ускорению звена , то есть Модуль нормального

действия вектора : параллельно звену ; направление вектора : к точке . Линия действия вектора тангенциального ускорения звена : перпендикулярно звену .

Планы скоростей и ускорений шарнирного четырёхзвенника. Понятие о теореме подобия для определения скоростей и ускорений.

При решении задач такого типа известны угловая скорость ведущего звена 1 – кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек.

Последовательность решения задачи:

1.Строится план механизма (рис.3.8)ввыбранноммасштабе длин:

,м/мм,

где LOA – длина кривошипа,м; AO – длина отрезка,изображающего кривошип на плане механизма,мм.

Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис.3.8)переводятся масштабомдлин вотрезки:

,мм,

,мм,

,мм.

2. Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащих звеньям механизма.

Векторное уравнение для звена 2 (шатуна)

(1)

где – скорость точки А, которая равна скорости точки А относительно оси вращения кривошипа

точки О; – вектор относительной скорости точки В шатуна относительно А имеет направление, перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма.

Векторное уравнение для звена 3 (коромысла)

(2)

Так как точка С (ось вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость равна нулю (), а вектор

относительной скорости точки В относительно С ( ) имеет направление, перпендикулярное отрезку ВС на плане механизма.

3. Строится план скоростей механизма – это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторных уравнений (1)и (2)вкаком­либо масштабе.

План скоростей механизма и его свойства

План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. 3.8). Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа:

,м/с.

Затемвыбирается масштаб плана скоростей по соотношению

,,

где – скорость точки А, м/с; PVa – длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость

, выбирается произвольной длины в мм; при выборе желательно придерживаться условий: во­первых, план скоростей должен размещаться на отведённом месте чертежа, во­вторых, численное значение масштаба должно

быть удобнымдля расчётов( должно быть круглымчислом).

После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его следует проводить в последовательности,соответствующей написанию векторных уравнений (1)и (2).

Сначала проводится из произвольно выбранной рядомс планоммеханизма точки (полюса плана скоростей)

вектор скорости , который перпендикулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину PVa, выбранную нами

при определении масштаба плана скоростей . Затем через точку a проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана механизма, а через полюс PV – линия, перпендикулярная отрезку ВС. Пересечение этих линий даёт точку b. В

соответствии с векторными уравнениями (1)и (2)на построенномплане наносятся направления (стрелки)векторов и

.

Определим скорость точки К, принадлежащей шатуну. Для неё можно записать векторные уравнения скоростей:

где вектор скорости перпендикулярен отрезку АК на плане механизма,а вектор – отрезку КВ. Построением этих векторных уравнений получаем точку k на плане скоростей. При этом из точки a плана

скоростей проводим линию, перпендикулярную отрезку АК, а через точку b плана скоростей – линию, перпендикулярную отрезку ВК плана механизма.Величину скорости точки К можно вычислить по формуле

,

где – длина соответствующего вектора на плане скоростей.

Можно заметить,что треугольники на плане скоростей и плане механизма подобны:

,

так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно использовать для определения скорости любой другой точки, принадлежащей какому­либо звену механизма. Отсюда следует теорема подобия: отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма.Стороны фигур взаимно перпендикулярны.

Угловые скоростишатуна 2 и коромысла 3 рассчитываются по формулам

,c­1, ,c­1.

Направления угловых скоростей определяются по направлениям векторов и . Для этого вектор условно переносится вточку В плана механизма. Куда он будет вращать шатун 2 относительно точки А, в ту сторону и

будет направлена угловая скорость шатуна .

Аналогично поступают со скоростью . В каком направлении будет вращаться коромысло относительно точки С,туда и будет направлена угловая скорость .

План ускорений механизма и его свойства

Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. Рассмотрим её на примере механизма шарнирного четырехзвенника (рис. 3.8). Примем угловую скорость

Выбираем масштаб плана ускорений: , , где pаа’ – длина отрезка, изображающего ускорение на плане ускорений. Его длина выбирается произвольно из расчета, чтобы план ускорений разместился на отведенномместе чертежа и численное значение было удобнымдля расчетов( должно быть круглымчислом).

Затем строится план ускорений (рис. 3.8) с использованием составленных векторных уравнений ускорений. Из