Учебная литература / n1

Рисунок 4.42

- Для звена 4

∑mE (Fi) = mE (R34) + mE (Ф4) + mE (G4) + МФ4 = R34y (xД - хЕ) –

- R34х (уД - уЕ) + Ф4у (хS4 - xE) – Ф4х (уS4 - уЕ) + G4y (xS4 - xE) +МФ4 =0

(смотри формулу 4.68)

= 1153,52(0,355 − 0,3) − 21,66(0,287 − 0,424) + 112,06(0,327 − 0,3) + 40(0,287 − 0,424) + 1,528

0,1498 − 0,4243

R34y = - 239,99 Н

R05 = G5 + G4 – R34y – Ф4у = 300 + 40 + 239,99 – 21,66 = 558,33 Н

Чтобы найти положение линии действия R05, т.е. плечо h05, запишем уравнение для звена 5

∑mE (Fi) = mE (R05) + mE (Pc) = R05y ·h05 – Pcx (yH - yE) =0

Определение реакции в шарнире Е.

Для этого нужно рассмотреть равновесие либо звена 4, либо звена 5.

- Для звена 5

∑Fix = R45x + Ф5х – Рс =0

R45x = Рс - Ф5х = 2100 – 834,42 = 1265,58 Н

413

∑Fiу = R45у – G5 + R05 =0

R45у = G5 - R05 = 300 – 558,33 = - 258,33 H

Модули полных реакций

R34 = R342 x + R342 y = 1153,522 + 239,992 =1178,22H R45 = R452 x + R452 y = 1265,582 + 258,332 =1291,62H

Расчет структурной группы (2,3)

Расчетная схема для этой группы показана на рисунке 4.43. Для этой группы известны сле-

дующие силы, действующие на нее:

R43x = - R34x = -1153,52 Н

R43y = - R34y = -239,99 Н Ф3Х = 211,6 Н, Ф3У = 81,24 Н, МФ3 = -36,52 Нм,

G3Х = 0, G3У = - G3 = -150 Н

Реакции в шарнирах В и С представлены их проекциями на координатные оси.

Запишем уравнение равновесия звена 2

R12 + R32 = 0 или R12 = −R32

Здесь R32 реакция в поступатель-

ной паре 3-2, направленная без учета потерь на трение перпендикулярно к кулисе 3 (см. рисунок 4.39).

Рисунок 4.43

Тогда

R12 X = R12 cos(ϕ3 +90), R12Y = R12 sin(ϕ3 +90) ,

т.е. эти две проекции силы дают только одну неизвестную величину R12 (угол φ3 был найден в ходе предварительного кинематического

анализа, φ3 =258,8º, см. таблицу 4.1).

Уравнение равновесия для группы 2-3.

∑mС (Fi) = mС (R43) + mС (R12) + mС (Ф3) + МФ3 + mС (G3) = = R43У (xД - хС) - R43Х (уД - уС) + R12У (хВ - хС) – R12Х (уВ -уС) +

414

+Ф3У (хS3 –xC) – Ф3Х (уS3 - yC) + MФ3 + G3У (xS3 -xC) = 0

Отсюда определяем R12

R12 [sin (φ3+90)(хВ - хС) – cos(φ3+90)(уВ -уС)] = - R43У (xД - хС) +

+R43Х (уД - уС) - Ф3У (хS3 –xC) + Ф3Х (уS3 - yC) - MФ3 - G3У (xS3 -xC)

−239,99(0,1498 − 0) − 1153,52(0,3553 + 0,4) − 81,24(0,0749 − 0) + 211,6(−0,0223 − 0,4) + 36,52 + 150(0,0749 − 0)

R12 =

+90)(0.09899 − 0) − cos(258.8 + 90)(0.09899 + 0.4)

R12 = 1544,65 Н

R32 = - R12 = -1544,65 Н

R12 X = R12 cos(ϕ3 +90) =1544,65cos(258,8 +90) =1515,23Н R12Y = R12 sin(ϕ3 +90) =1544,65sin(258,8 +90) = −300Н

Чтобы найти R03Х и R03У, записываем уравнение равновесия для группы 2-3 в виде суммы проекций сил на координатные оси

∑Fiх =R43х + R12х + Ф3х + R03x = 0

∑Fiy =R43y + R12y + Ф3y – G3 + R03y = 0

Отсюда

R03x = - R43х -R12х -Ф3х = 1153,52 – 1515,23 – 211,6 = -573,31 Н

R03y = -R43y - R12y - Ф3y + G3 = -239,99 + 300 – 81,24 + 150 = 128,77 Н R03 = R032 x + R032 y = 573,312 +128,772 = 587Н

Расчет входного звена

Привод входного звена (кривошипа) АВ осуществляется через зубчатую передачу (рисунок 4.44), линия центров которой составляет с осью абсцисс угол β = 210º.

Известно также, что угол зацепления в паре колес αw = 26º и радиус основной окружности колеса, вращающегося заодно с кривошипом АВ rв = 0,2 м (рисунок 4.44).

Известны силы, приложенные к звену 1:

G1 = 1000 Н, R21Х = - R12Х = -1515,23 Н, R21У = - R12У = 300 Н

Требуется определить:

- реакцию в шарнире А, которую мы представляем ее проекция-

ми R01x и R01у;

- уравновешивающую силу Рур.

В рассматриваемой задаче уравновешивающая сила – это усилие зацепления, т.е. усилие, передаваемое через зубья со стороны одного колеса на другое.

415

Это усилие (без учета потерь на трение) передается по нормали к соприкасающимся профилям зубьев.

Нормаль проходит через полюс П (точку касания начальных окружностей колес) под углом αw (углом зацепле-ния) к общей касательной к начальным окружностям и касается основной окружности колеса радиуса rв.

Чтобы найти направление Рур , нужно показать вектор

скорости VП полюса и повер-

нуть его на угол αw в сторону вращения ведомого в паре колеса (в нашем случае в сторону w1).

Тогда угол, который составит вектор Рур с осью Х будет равен

αр = β – 90 - αw

и Рур х = Рур cos( β – 90 - αw), Рур у = Рур sin( β – 90 - αw).

Так как плечом Рур относительно точки А является радиус rв ос-

новной окружности соответствующего колеса, то момент Мур этой силы

Мур = Рур · rв.

Если не заданы координаты полюса П, то для определения Рур можно найти сначала Мур из следующего уравнения равновесия, записанного для звена 1:

∑mА (Fi) = Мур + mА (R21) = Мур + R21У (хВ –хА) - R21Х (уВ –уА)= 0 Мур = R21Х (уВ –уА) -R21У (хВ –хА) =

= -1515,23(0,09899-0) – 300(0,09899-0) = -179,7 Н

Знак «-» показывает, что уравновешивающий момент направлен по ходу часовой стрелки, что соответствует расчетной схеме, показанной на рисунке 4.44.

=Мур = 179,7 =

Рур rв 0,2 898,5Н

Тогда

416

Рур х = Рур cos( β – 90 - αw) = 898,5 cos(210-90-26) = -62,67 Н Рур у = Рур sin( β – 90 - αw) = 898,5 sin(210-90-26) = 896,31 Н

Чтобы найти реакцию в кинематической паре А, запишем для кривошипа следующие уравнения равновесия:

∑Fiх =R21х + R01х + Рур х = 0 ∑Fiy =R21y + R01y + Рур у – G1 = 0

Отсюда

R01х = - R21х - Рур х = 1515,23 +62,67 = 1577,9 Н

R01y = - R21y - Рур у + G1 = -300 – 896,31 + 100 = 1096,31 Н

4.11 Силовой расчет зубчатых механизмов

При силовом расчете зубчатых механизмов следует запомнить, что усилие в зацеплении (без учета потерь на трение) направлено по нормали к соприкасающимся профилям; линия его действия проходит через полюс зацепления под углом αw (углом

зацепления) к общей касательной к начальным окружностям сопряженных колес.

Рассмотрим рядовую передачу, образованную двумя зубчатыми колесами (рисунок 4.45а) с числами зубьев Z1 и Z2, модулем зацепления m мм. Угол зацепления в паре колес - αw. К колесу 1 приложен момент М1 движущих сил. Колеса вращаются с постоянными угловыми скоростями. Центры масс колес расположены на их осях вращения.

Определить реакции в опорах зубчатых колес и величину момента М2 сил сопротивления, приложенного к колесу 2.

Силовой расчет зубчатых механизмов обычно ведут по отдельным звеньям механизма, начиная с зубчатого колеса, к которому приложен заданный момент либо искомый момент (такой случай может встретиться в сателлитной зубчатой передаче).

Так как в рассматриваемой задаче колеса уравновешены (центры масс находятся на осях вращения) и вращаются равномерно, то Мфi

= ISi εi = 0, Фi = mi aSi = 0.

Рассмотрим колесо 1 (рисунок 4.45b), которое будет находиться в равновесии под действием момента М1, реакции R21 (усилие со стороны колеса 2 на колесо 1) и реакции R01 в опоре О1.

417

Рисунок 4.45

Реакция R21 направлена по линии зацепления таким образом, чтобы сумма моментов всех сил относительно оси О1 равнялась нулю.

Положение линии зацепления можно определить, если для колеса, являющимся ведущим в паре колес (в нашем случае это колесо 1), показать вектор скорости полюса П и повернуть его на угол зацепления αw в направлении, противоположном враще-

нию этого колеса.

Реакцию R21 находим из уравнения

∑m01 = R 21 rb1 − M1 = 0 .

418

R02 в опоре О2 и неизвестного момента М2 (весом колеса пренебрегаем).

Момент М2 находим из уравнения равновесия

∑mO2 (Pi )= R12 rb2 − M2 = 0 ,

Окружным усилием называют проекцию усилия в зацеплении R12 или R21 на общую касательную к начальным окружностям

(рисунок 4.45с).

Составляющая усилия зацепления R12n = R12 sin αw называ-

ется радиальным усилием.

Если подставить (4.71) в (4.72), получим

M2 = M1 Z2 = M1 U12 . (4.73) Z1

Отсюда

Знак “-” приписан передаточному отношению для того, чтобы согласовать тот факт, что при одинаковых направлениях М1 и М2 колеса вращаются в разные стороны, т.к. один из моментов, например М2, является моментом сил сопротивления и направлен противоположно вращению колеса 2.

Формула (4.74) выражает суть силового метода определения

передаточных отношений: замерив моменты на выходе и на входе зубчатой передачи и разделив одну величину на другую, получают соответствующее передаточное отношение.

К этому же выводу можно подойти и иначе. Пусть

N1 – мощность на входе зубчатой передачи, мощность момента движущих сил;

Nn – мощность на выходе, мощность момента сил сопротивления;

419

η1n – коэффициент полезного действия зубчатой передачи. Так как

Задача

Определить реакции в кинематических парах А, В и С и уравновешивающий момент Му, приложенный к колесу 1 двухступенчатой зубчатой передачи (рисунок 4.45а), если к колесу 3 приложен момент сил сопротивления М3 = 3 Нм. Модуль зацепления колес m = 10 мм, числа зубьев колес Z1 = 20, Z2 = 50, Z3 = 40, угол зацепления

α = 20°.

420

Решение

Покажем, прежде всего, направления вращения колес.

Так как М3 – момент сил сопротивления, то колесо 3 вращается против хода часовой стрелки.

Направления вращений остальных колес показаны круговыми стрелками.

Начнем силовой расчет с колеса 3, к которому приложен заданный момент М3 (рисунок 4.46b).

Покажем положение линии зацепления колес 2 и 3. Для этого вектор скорости точки П2 повернем на угол α = 20° противоположно направлению ω2 (колесо 2 является ведущим в паре колес 2 и 3).

Вдоль этой линии будет направлена реакция R23 таким образом,

чтобы сумма моментов всех сил, действующих на колесо 3, относительно центра С равнялась нулю.

∑mC (Pi )= R 23 rb3 − M3 = 0 ,

где

Чтобы определить положение линии действия R12 , поворачиваем вектор скорости Vп1 на угол α = 20° противоположно направле-

нию ω1 (в паре колес 1 – 2 ведущим является колесо 1). R12 находим из уравнения моментов

∑mB (Pi ) = R32 rb2 − R12 rb2 = 0

421

Это уравнение можно решать либо графическим способом, строя замкнутый векторный многоугольник, либо аналитическим способом, проецируя это уравнение на координатные оси.

∑X = R12 sin α + R32 cos α + R02x = 0,

∑Y = R12 cos α + R32 sin α + R02y .

∑mA (Pi )= Mу − R 21 rb1 = 0 .

Mу = R21 rb1 = R21 m 2Z1 cos α =15,96 0,0102 cos 20 =1,5 Нм Примечание:

Му - уравновешивающий момент можно было найти из соотношения

Му ω1 = − М3 ω3.

Знак «-» показывает, что Му направлен противоположно М3.

422