Учебная литература / n1

Так как входные пары, как правило, являются одноподвижными (вращательными или поступательными), в которых относительное положение двух звеньев определяется одной обобщенной координа-

той, то степень подвижности механизма указывает на количе-

ство входных кинематических пар, которое должно быть в данном механизме.

В механизмах 1-го типа, в которых одним из звеньев входной пары является стойка, степень подвижности механизма указывает на количество входных звеньев, которое должно быть в данном механизме.

Далее, для большей определенности, будем говорить о механизмах 1-го типа.

Например, если W=1, то механическая система подвижна и для получения определенности в ее движении необходимо задать движение одному из ее звеньев, совершающему вращательное или поступательное движение.

При W=2 в механизме должно быть два входных звена.

Если W ≤ 0, то механическая система двигаться не может, т.к. она является жесткой системой, т.е. вырождается в ферму.

Если число входных звеньев будет меньше степени подвижности механизма, то движения выходных звеньев могут стать неопределенными, т.к. они становятся зависимыми от случайных силовых воздействий в механизме.

Если же число входных звеньев будет больше степени подвижности механизма, то в лучшем случае одно из входных звеньев превратится из ведущего звена в ведомое и перестанет существовать как входное. В худшем случае может произойти заклинивание и поломка механизма.

Поэтому количество входных звеньев должно совпадать со степенью подвижности механизма.

Формулой (1.5) пользуются в тех случаях, когда на движения

звеньев механизма не налагаются какие - то общие ограничения, т.е. для определения степени подвижности пространственных механизмов.

Если же на относительные движения звеньев механизма налагаются общие ограничения, то вид структурной формулы изменяется.

Так в плоских механизмах, наиболее распространенных в технике, для того чтобы обеспечить движение звеньев в параллельных

33

плоскостях, оси всех вращательных пар должны быть параллельными и перпендикулярными к плоскости движения. В результате на относительные движения звеньев налагаются 3 общих условия связей (говорят, что эти механизмы относятся к 3- му семейству).

Тогда свободные подвижные звенья будут обладать (6–3)n степенями свободы, пары пятого класса будут налагать (5-3)p5 условий связи, а пары четвертого класса – (4-3)p4 условий связи.

Кинематические пары третьего, второго и первого классов не должны входить в плоские механизмы, как обеспечивающие пространственный характер относительного движения звеньев.

В результате, степень подвижности плоских механизмов будет определяться по формуле

W =3n – 2p5 – p4 (1.6)

Эта формула была получена знаменитым русским ученым П.Л. Чебышевым и называется структурной формулой Чебышева.

Необходимо отметить, что в плоских механизмах к парам пятого класса относятся все низшие пары, а к парам четвертого класса - все высшие пары (пары идеальные, без зазоров).

Из структурных формул видно, что для того чтобы получить механизм определенной подвижности, т.е. с определенным числом входных звеньев, нельзя произвольно задаваться количеством звеньев, числом и видом кинематических пар. Все эти па-

раметры взаимосвязаны соотношением, которое нам дает структурная формула.

Рассмотрим несколько примеров на определение степени подвижности механизмов.

Пример 1

Определить степень подвижности механизма, показанного на рисунок 1.35.

Так как это механизм плоский, то для определения степени подвижности воспользуемся структурной формулой Чебышева.

W =3n – 2p5 – p4

Пронумеровав звенья, определяем, что количество подвижных звеньев n = 6. Затушевка на звене 2 показывает, что зубчатое колесо и кривошип жёстко соединены и, следовательно, составляют одно звено.

34

Рисунок 1.35 Для лучшего усвоения материала по структурному анализу ме-

ханизмов рекомендуется до получения должного навыка анализ проводить в табличной форме (таблицы 2 и 3).

Таблица 2

35

Таблица 3

Из таблицы видно, что число кинематических пар 5–го класса р5 = 8, число пар 4–го класса р4 = 1.

Тогда

W = 3·6 – 2·8 – 1 = 1,

т.е. данный механизм имеет одно входное звено.

Входное звено на кинематической схеме обозначается круговой стрелкой.

Пример 2.

Определить степень подвижности механической руки промышленного робота, показанной на рисунке 1.36.

Рисунок 1.36 Так как исследуемый механизм является пространственным,

то для определения его степени подвижности используем структурную формулу Сомова - Малышева.

W =6n –5p5 – 4 p4 - 3 p3 – 2 p2 – p1

36

Так как n = 4 (звенья пронумерованы), р5 = 4 (0 – 1) - вращательная пара, 1 - 2 и 2 – 3 - поступательные пары, 3 - 4 – вращательная пара) и пары остальных классов отсутствуют, то W = 6·4 – 5·4 = 4 т.е. данный механизм обладает 4-мя степенями свободы.

Возможные независимые движения звеньев в этом механизме показаны стрелками.

1.6Механизмы с избыточными связями

Вэтом параграфе мы изучим случаи, когда структурные формулы дают искаженную информацию о количестве входных кинематических пар (входных звеньев), которое должно быть в исследуемом механизме. Такая ситуация возникает при наличии в механизме избыточных или пассивных связей.

Избыточными или пассивными связями называют такие связи, которые повторяют (дублируют) ограничения, наложенные другими связями на относительное движение некоторых звеньев.

Так как избыточные связи – это повторяющиеся связи, то характер движения механизма не изменится, если удалить избыточные связи из механизма.

Избыточные связи вводят в механизмы сознательно для решения специальных проблем, несвязанных обычно с передачей движения: для увеличения жесткости и несущей способности механизма, для уменьшения потерь на трение, для создания более прочной конструкции и т.д.

Существуют различные виды избыточных связей: избыточные связи на элементах кинематических пар, избыточные связи в замкнутой идеальной кинематической цепи (с абсолютно точно выполненными недеформируемыми звеньями и кинематическими парами), избыточные связи в структурной схеме механизма и некоторые другие.

Избыточные (пассивные) связи в замкнутой кинематической цепи.

Такого рода избыточные связи существуют в виде некоторых звеньев со строго определенными размерами и их особом положении, и не влияющих на кинематику данного механизма.

37

Звенья и кинематические пары, образованные с их участием, которые можно удалить из механизма, не влияя на характер его движения, называются избыточными или пассивными связями.

Пассивные связи могут формально либо уменьшить, либо увеличить степень подвижности механизма. Несовпадение фактической степени подвижности механизма со степенью подвижности, подсчитанной по структурной формуле, и служит формальным признаком наличия избыточных связей.

Поэтому, чтобы правильно определить степень подвижности механизма, необходимо предварительно удалить из механизма избыточные связи, если они имеются.

Избыточные связи можно обнаружить, если попытаться построить новое положение механизма. Если нам удается определить положение выходного звена без участия какого-либо звена, то данное звено и будет являться избыточной связью.

Рассмотрим несколько механизмов с избыточными связями.

I Механизм спарника тепловоза (рисунок 1.З7а)

Если подсчитать степень подвижности механизма, то получим

n = 4, р5 = 6 (1 – 0 , 1 – 4 , 1 – 2 , 2 – 3 , 3 – 4 , 3 – 0 ), p4 = 0 и W =3n –2p5 – p4 = 3·4 - 2·6 = 0

т.е. механизм должен быть неподвижным.

На самом же деле - это механизм с одной степенью подвижности.

Если мы попытаемся построить положение выходного звена CD, считая входным звено АВ, то можно убедиться, что это можно сделать без участия звена EF. Следовательно, звено EF будет избыточ-

38

ной связью. Если удалить это звено из механизма, то получим кинематическую схему (рисунок 1.37б) механизма, в котором выходное звено CD будет двигаться точно так же, как и в исходном механизме. Причем, в этом механизме

n = 3, р5 = 4 (1 – 0, 1 – 2, 2 – 3, 3 – 0), р5 = 0 и W = 3·3 - 2·4 = 1,

что соответствует действительности.

Избыточная связь EF была введена для увеличения жесткости и прочности механизма.

2 Кулачковый механизм с роликовым толкателем

(рисунок 1.38а)

W =3n –2p5 – p4 = 3·3 - 2·3 = 2,

т.е. в данном механизме должно быть 2 входных звена.

В то же время совершенно очевидно, что достаточно задать движение кулачку 1 и толкатель 3 будет совершать вполне определенное движение.

Лишняя степень свободы появилась из-за наличия свободно проворачивающегося круглого ролика. Ролик 2 является пассивной связью, т.к. если его удалить из механизма и рассмотреть центровой профиль кулачка, равноотстоящий от действительного профиля на расстояние, равное радиусу ролика (показан штриховой линией), то

39

закон движения толкателя 3 не изменится, т.к. этот закон полностью определяется формой профиля кулачка.

После удаления пассивной связи (звено 2) мы получим кинематическую схему механизма, показанную на рисунке 1.38б, для которой

n = 2, р5 = 2 ( 1 – 0 , 2 – 0 ), р4 = 1 (1 – 2) W = 3·2 - 2·2 = 1.

Круглый ролик был введен в механизм для замены трения скольжения между кулачком и толкателем на трение качения, т.е. для уменьшения износа рабочих поверхностей и потерь на трение.

Необходимо очень внимательно относиться к наличию избыточных связей в механизмах.

Механизмы с избыточными связями при произвольных размерах звеньев не могут быть собраны и работать без деформации звеньев, что вызывает дополнительные нагрузки в кинематических парах и может вызвать даже заклинивание механизма. Поэтому с этой точки зрения избыточные связи в механизмах нежелательны. Так, если вернуться к механизму, показанному на рисунке 1.37а, то совершенно очевидно, что его работоспособность сохранится только при высокой точности изготовления звеньев. Если будет нарушено равенство ВС = EF, то механизм работать не будет, т.е. его степень подвижности будет равна нулю.

Если в кулачковом механизме (рисунок 1.38а) ролик будет некруглым, то его вращение вокруг своей оси, безусловно, будет влиять на закон движения толкателя, т.е. мы будем иметь механизм с двумя степенями подвижности.

Избыточные связи в механизмах нежелательны еще и потому, что обращают механическую систему с точки зрения статики в статически неопределенную систему. В результате статической неопределимости, реакции в кинематических парах могут значительно возрасти по сравнению с теми значениями, которые были бы при тех же условиях работы при отсутствии избыточных связей.

Из изложенного выше следует, что нужно стремиться проек-

тировать механизмы без избыточных связей или самоустанавливающиеся (рациональные), по терминологии Л.Н. Решетова [4], механизмы, которые легко собираются и нормально работа-

ют и при погрешностях изготовления звеньев.

Если же необходимо сознательно вводить избыточные связи, то их число должно быть минимальным.

40

Избыточные связи в структурной схеме механизма.

Количество избыточных связей в механизме может быть подсчитано с помощью структурных формул.

Пусть

q – количество избыточных связей.

Так как избыточные связи дублируют часть наложенных уже ограничений на относительное движение звеньев, то структурная формула Сомова - Малышева принимает следующий вид

Эта формула может быть использована для определения числа избыточных связей в механизмах с известной степенью подвижности W.

Избыточные связи на уровне структурной схемы обнаруживаются обычно в плоских механизмах.

Признаком наличия таких связей являются разные значения степени подвижности W или числа избыточных связей q, подсчитанные для конкретного плоского механизма по структурным формулам Сомова – Малышева (1.5) или (1.8) и Чебышева (1.6) или (1.9).

Любой механизм является трехмерным объектом, т.к. он находится в трехмерном пространстве и на него действует пространственная система сил. Поэтому полное исследование механизма возможно только в трехмерном пространстве, где каждое свободное тело имеет 6 степеней свободы.

Условием существования и работоспособности плоских механизмов является обязательное выполнение условия взаимной параллельности осей всех его вращательных пар и их перпендикулярности к плоскости движения.

Если эти условия будут нарушены, что неизбежно при изготовлении, сборке и эксплуатации механизма, то механизм перестает быть плоским и здесь обнаруживается, что у него могут появиться избыточные связи, заметно снижающие надежность и долговечность данного механизма.

Поэтому уже на стадии проектирования структурной схемы механизма конструктор должен выявить возможность появления избыточных связей при изготовлении и эксплуатации механизма и

41

принять дополнительные меры по устранению их отрицательных воздействий.

В качестве примера рассмотрим шарнирно-стержневой четырехзвенник, показанный на рисунке 1.39а.

Для этого механизма

n = 3, p5 = 4, p4 = p3 = p2 = p1 = 0, W = 1.

Тогда по формуле (1.9)

q = W - 3n + 2p5 + p4 = 1 - 3·3 + 2·4 =0,

а по формуле (1.8)

q = W - 6n + 5p5 + 4 p4 + 3 p3 + 2 p2 + p1 = 1-6·3 + 5·4 =3.

Отсюда видно, что в идеально плоском механизме избыточные связи отсутствуют.

Однако если параллельность осей вращательных пар будет нарушена, то в механизме будут 3 избыточные связи, которые превратят его в статически неопределимую ферму.

Впервые на вредное влияние избыточных связей в механизмах указал Л.Н. Решетов в 1934 г. Он же предложил и метод устранения избыточных связей [4].

Чтобы устранить избыточные связи в структурной схеме механизма, нужно изменить эту структуру, используя кинематические пары с большей подвижностью.

Например, в механизме, показанном на рисунке 1.39б, вращательная пара В заменена сферической парой 3-го класса, а пара С

– цилиндрической парой 4-го класса. В результате, введя 3 дополнительные степени свободы в относительные движения звеньев, получим:

n = 3, p5 = 2 (1 – 0, 3 – 0), p4 = 1 (2 – 3), p3 = 1 (1 – 2), p2 = p1 = 0, W = 1.

q = W - 6n + 5p5 + 4 p4 + 3 p3 + 2 p2 + p1 =

42