Лекции_4й_семестр / Семестр_4_Лекции_14_15

Учтём, что объём потенциальной ямы (в обычном пространстве) равен V = a1a2 a3 , а p = 2me E - величина (нерелятивистского) импульса. Поэтому

1

Семестр 4. Лекции 14-15.

Теперь рассмотрим фазовое пространство, каждая точка в котором задаётся 6-ю коор-

динатами – это три пространственные координаты и три проекции импульса (x, y,z, px , py , pz ).

Частица, находящаяся в потенциальной яме, в состояниях, энергия которых не превышает некоторое значение E, движется в некоторой области 6-ти мерного фазового пространства.

Т.к. величина импульса частицы не превосходит величины p = 2me E , то в импульсной части фазового пространства (px , py , pz ) эта область задается соотношением px2 + p2y + pz2 £ p2 -

т.е. является шаром радиуса p, объём которого Vp = 4 pp3 . Поэтому полная область в 6-ти мер- 3

ном фазовом пространстве является прямым произведением прямоугольной трёхмерной ямы в обычном пространстве и шара в импульсном пространстве. Следовательно, величина объёма

общей области в фазовом пространстве равна Vфаз = V × 4 pp3 . Тогда общее количество узлов

3

= Vфаз

равно N (2p )3 .

Обозначим возможное количество состояний, приходящихся на один узел как qs . На-

пример, для электрона qs = 2 , т.к. возможны два состояния с одинаковым набором квантовых чисел, но различающиеся проекциями спина. Тогда общее число состояний со значением энер-

гда элементарный объем фазового пространства, приходящийся на одно квантовое состояние можно определить как отношение фазового объёма к количеству состояний

DVфаз = Vфаз = (2p )3 . Учитывая соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат и

G0

проекций импульсов, записанные в виде Dx × Dpx = 2p , Dy × Dpy = 2p , Dz × Dpz = 2p получаем выражение для элементарного объёма фазового пространства, соответствующего одному кван-

Плотностью квантовых состояний называется такая функция g (E ), зависящая от энер-

гии, что количество квантовых состояний, энергия которых не превышает значения E0, опреде-

Т.к. можно записать g (E ) = dG (E ) dp , то в рассматриваемом случае получаем равенство

2

Семестр 4. Лекции 14-15.

2) Для фотонов можно считать, что qs = 2 , что соответствует двум независимым направлениям

где ЕК и U - кинетическая и потенциальная энергии частицы, Т - температура, k - постоянная Больцмана, A - нормировочный коэффициент.

Для вывода статистических распределений необходимо найти наиболее вероятное распределение частиц, т.е. распределение, которое может быть реализовано наибольшим числом способов. По основному постулату статистической физики именно это распределение и является равновесным.

Предположим, что частицы не взаимодействуют друг с другом (модель идеального газа), а также, что все распределения, которые приводят к одной и той же суммарной энергии частиц, реализуются с одинаковой вероятностью.

Рассмотрим систему, состоящую из двух частиц. Пусть число возможных состояний, в которых может находиться каждая из частиц, равно трём.

По классическим представлениям две частицы всегда различимы. Присвоим частицам номера 1 и 2. Если в каком-то состоянии частицы переставить просто местами, то получится новое состояние. Поэтому общее число состояний системы равно 9.

В квантовой механике тождественные частицы принципиально неразличимы. При перестановке местами тождественных частиц состояние системы не меняется. Поэтому занумеровать частицы нельзя. Если в одном состоянии может находиться только один фермион, то для бозонов никаких ограничений нет. Поэтому число состояний системы из бозонов равно 6, а из фермионов равно – 3.

Распределение Бозе-Эйнштейна.

Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Пусть имеется длинный пенал, который может быть разделен на Z ячеек с помощью (Z-1) перегородок. Найдем число способов размещения N неразличимых частиц по ячейкам. В каждой ячейке может находиться произвольное число частиц бозе-частиц. Будем считать, что система состоит из N частиц и (Z-1) пере-

3

Семестр 4. Лекции 14-15.

Чтобы найти максимум энтропии для заданного числа частиц системы N и энергии E, применяем метод множителей Лагранжа, согласно которому необходимо построить вспомогательную функцию F = S + λ1 N + λ2 E (где l1 и l2 – постоянные множители) и найти её экстре-

Отношение Ni = ni представляет собой среднее число частиц, приходящихся на одну

Zi

ячейку фазового пространства, т.е. на одно состояние в i-ом энергетическом слое.

Найдем множители Лагранжа l1 и l2. Т.к. все частные производные функции F равны нулю, то это означает, что равен нулю дифференциал этой функции dF, т.е. dF = dS + l1dN + l2 dE = 0 .

Но так как число частиц системы N постоянно, то dN=0 и, поэтомуdS = -l2 dE .

Предположим теперь, что рассматриваемая система получает в обратимом процессе некоторое количество теплоты dQ при неизменном объеме V. Поэтому изменение энтропии сис-

темы равно dS = δQ . Поскольку V=const, то dA=0 и δQ = dE , следовательно, dS = dE откуда

T T

l2 = - 1 .

T

Множитель l1 запишем в виде l1 = μ , где m - некоторая функция параметров состояния

T

системы, в частности, температуры. Эту функцию называют химическим потенциалом. С уче-

Освобождаясь от индекса i, окончательно получаем распределение Бозе-Эйнштейна

Оно описывает распределение бозе-частиц по энергиям и определяет среднее число бозе-частиц n , находящихся в квантовом состоянии с энергией E. Величину n называют также числом

заполнения энергетического уровня с энергией E.

Как следует из распределения Бозе-Эйнштейна, число бозе-частиц, находящихся на одном энергетическом уровне (в одном состоянии), ничем не ограничено и при малых значениях

5

Семестр 4. Лекции 14-15.

параметра E −μ может оказаться очень большим. Это важная отличительная особенность бозе- kT

частиц.

Замечание. Химический потенциал m для систем бозонов с постоянным числом частиц N может

принимать только отрицательные значения, т.е. m<0. Действительно, если бы m мог быть поло-

E −μ

жительным, то при E < m экспонента в знаменателе была бы меньше единицы e kT < 1 и соответствующие числа заполнения n стали бы отрицательными, что невозможно.

Рассмотрим случай малых чисел заполнения n << 1 . Это условие выполняется при

e kT

рят, в случае разреженного бозе-газа, распределение Бозе-Эйнштейна переходит в классическое распределение Больцмана.

Газ, свойства которого отличаются от свойств классического идеального газа, называется вырожденным газом. Поскольку распределение Бозе-Эйнштейна существенным образом отличается от распределения Больцмана, то газ бозонов является вырожденным газом. И только в случае малой плотности ( n << 1 ) вырождение снимается и разреженный бозе-газ ведет себя

подобно идеальному газу.

Число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне, может быть очень большим. Кроме того, при определенных условиях в системе бозе-частиц может происходить бозеконденсация - скопление очень большого числа частиц в состоянии с энергией E=0. Именно с бозе-конденсацией связаны такие явления, как сверхтекучесть и сверхпроводимость.

Распределение Бозе-Эйнштейна используется для описания свойств систем, состоящих из бозе-частиц: как простых, например, фотонов, фононов, так и более сложных, составных, например, атомов 4 He , электронов, образующих куперовские пары, и т.д. С его помощью описываются свойства теплового излучения, теплоемкость кристаллов и многие другие физические явления. Что же касается поведения обычных газов, атомы которых являются бозе-частицами, то анализ показывает, что при нормальных температурах и давлениях эти газы не являются вырожденными и подчиняются классической статистике. Вырождение наступает либо при очень низких температурах, либо при очень высоких давлениях, т.е. при тех условиях, при которых газы перестают быть идеальными. Таким образом, для этих газов статистика Бозе-Эйнштейна в той области, в которой справедлива кинетическая теория газов, практически не отличается от классической статистики Больцмана.

Случай переменного числа частиц.

При выводе распределения Бозе-Эйнштейна число частиц системы N оставалось постоянным. Какой вид имеет распределение Бозе-Эйнштейна для системы с переменным числом частиц? Примером такой системы является тепловое излучение внутри замкнутой полости. Стенки полости непрерывно поглощают и испускают излучение, поэтому число фотонов внутри полости постоянно меняется. Фотоны являются бозе-частицами и при не очень сильных (нелазерных) интенсивностях излучения не взаимодействуют друг с другом. Так что излучение в замкнутой полости представляет собой идеальный бозе-газ фотонов с переменным числом частиц.

Рассматриваем систему бозонов с переменным числом частиц N. Решаем задачу так же как и выше. Поскольку в данном случае ∑Ni = N ¹ const то при нахождении условного экс-

i

тремума энтропии S методом множителей Лагранжа вместо функции F = S + l1 N + l2 E следует

6

Семестр 4. Лекции 14-15.

взять функцию F = S + λ2 E (исчезло условие постоянства числа частиц системы). Поэтому со-

ответствующий множитель Лагранжа следует считать l1 = 0 . В силу того, что химический потенциал m и множитель l1 связаны соотношением m=l1 Т, получаем, что и m=0. Таким образом,

химический потенциал системы бозонов с переменным числом частиц равен нулю и распреде-

Пример. Получим формулу Планка для равновесного теплового излучения из распределения Бозе-Эйнштейна.

Рассмотрим излучение, находящееся внутри замкнутой полости, стенки которой нагреты до некоторой температуры Т. Это излучение представляет собой идеальный газ фотонов. По-

e kT −1

Энергия излучения в узком энергетическом интервале от E до E+dE складывается из энергий отдельных фотонов. Плотность квантовых состояний g(E), т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал, для фотонов определяется выражением

внутри интервала dE. Умножая это произведение на среднее число фотонов в данном состоянии

n и на энергию фотона E, получаем, что суммарная энергия фотонов в интервале dE равна n × g (E )× EdE .

Данному энергетическому интервалу от E до E+dE соответствует частотный интервал частот от w = E до w + dw = E + dE .

Спектральная плотность объёмной плотности энергии uω,T представляет собой энергию излучения в единичном частотном интервале, отнесенную к единице объема. Т.к. энергия фотонов в частотном интервале dω равна uω,T ×V × dw, (V - объем полости), то

Распределение Ферми-Дирака Найдем распределение ферми-частиц, т.е. частиц, обладающих полуцелым спином. Фер-

ми-частицы подчиняются принципу (запрету) Паули, согласно которому в одном и том же состоянии одновременно не может находится более одного фермиона. Т.е. можно сказать, что фермионы являются частицами-индивидуалистами. Рассмотрим идеальный ферми-газ, т.е систему, состоящую из невзаимодействующих фермионов.

Сначала найдем число возможных распределений N частиц по Z ячейкам пенала при условии, что в каждой ячейке не может находится более одной частицы. Число ячеек Z и число частиц N должны удовлетворять условию Z³N.

Число всевозможных перестановок пустых ячеек пенала и ячеек с частицами равно Z!. При этом перестановки только ячеек с частицами в силу тождественности частиц не приводят к новым распределениям. Число таких перестановок равно N!. Перестановки местами пустых ячеек тоже не дают новых распределений, их число равно (Z-N)!. Таким образом, число различных распределений N частиц по Z ячейкам в данном случае равно

7

Семестр 4. Лекции 14-15.

Это выражение определяет число возможных распределений N фермионов по Z ячейкам, т.е. статистический вес макросостояния системы фермионов.

Вывод статистического распределения, которому подчиняются ферми-частицы, проводится также как и для бозе-частиц.

В шестимерном фазовом пространстве с координатами (x, y, z, px , py , pz ) две изоэнерге-