Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции_4й_семестр / Семестр_4_Лекции_07_08

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

178.06 Кб

Скачать

☆

Семестр 4. Лекции 7-8.

Лекции 7 - 8. Представление физических величин операторами.

Операторы координаты, импульса, момента импульса, потенциальной и кинетической энергии. Гамильтониан квантовой системы как оператор полной энергии. Основные постулаты квантовой механики. Вероятностный характер результатов измерений в квантовой механике. Вычисление средних значений физических величин в квантовых системах.

Как уже было сказано процесс измерения любого параметра, характеризующего состояние системы, изменяет это состояние. Следовательно, меняется и волновая функция. Поэтому любому измерению какой-либо физической величины А в квантовой механике соответствует

ˆ
оператор, обозначаемый как A , переводящий волновую функцию состояния до измерения Y в
ɶ	ˆ	ɶ
волновую функцию состояния после измерения Y , т.е. A(Y) = Y . Принцип суперпозиции со-
стояний требует, чтобы этот оператор был линейным	ˆ	ˆ	ˆ
стояний требует, чтобы этот оператор был линейным	A(c1Y1	+ c2 Y2 ) = c1 AY1	+ c2 AY2 .

В квантовой механике любое значение измеряемой физической величины должно являться собственным значением оператора данной физической величины, т.е. если при измерении получается значение А, то существует такая волновая функция Y¢, что выполняется соот-

ношение	ˆ
	A(Y¢) = A × Y¢ . Эта функция называется собственной функцией данного оператора.

Так как измеряемые величины должны быть вещественными, то и все собственные значения данного оператора, соответствующего этой физической величине, должны быть вещественными. Это означает, что оператор должен быть эрмитовым (или комплексно самосопряжённым.)

Это следует понимать следующим образом. Паре любых комплексно-значных функций u и v, заданных в одной области V можно сопоставить скалярное произведение по следующему

правилу (u,v) = ∫v* ×u × dV

(при условии, что данный интеграл существует).

Аксиомы скалярного произведения выполняются

(u,u ) = ∫u* ×u × dV = ∫

2 × dV ³ 0 . Если (u,u ) = ∫

2 × dV = 0 , то u ≡ 0 .

В комплексном случае условие симметричности скалярного произведения принимает вид

(u,v) = ∫v* ×u × dV = ∫(u* ×v)* × dV = (v,u )* .

Для любого числа l справедливо (lu,v) = l(u,v) и (u,lv) = l* (u,v).

Линейность по аргументам очевидна.

Оператор

B называется сопряжённым к оператору A (относительно скалярного произ-

ведения) если для любых функций u и v выполняется равенство (A(u ),v)= (u,B (v)). Сопря-

ˆ *

женный оператор обозначается B =

A . Оператор называется самосопряжённым (или эрмито-

ˆ ˆ *

вым) если он совпадает со своим сопряжённым A = A .

1. Все собственные числа самосопряжённого оператора являются вещественными.

Пусть u –

собственная функция самосопряжённого оператора A . Тогда существует ненулевое

число A, такое, что выполняется равенство A(u ) = A ×u . Поэтому (A(u ),u )= A ×(u,u ). Но

ˆ *

- собственное зна-

(A(u ),u )= (u, A

(u ))= (u, A(u ))= (u, A ×u ) = A

×(u,u ). Следовательно, A = A

чение является вещественным.

2. Собственные функции самосопряжённого оператора, отвечающие разным собственным значениям взаимно ортогональны (u,v) = 0 .

Пусть	ˆ	(u ) = A1 ×u и		ˆ		ˆ	×(u,v) и
	A			A(v) = A2	×v . Тогда (A(u ),v)= A1
(A(u ),v)= (u, A			(v))= (u, A(v))= (u, A2			×v) = A2 ×(u,v) = A2 ×(u,v)
ˆ	ˆ *		ˆ			*

Семестр 4. Лекции 7-8.

Но т.к. A1 ¹ A2 , то равенство A1 ×(u,v) = A2 ×(u,v) выполняется при (u,v) = 0 .

Все собственные значения данного оператора образуют множество, которое называется спектр оператора. Если это множество является отрезком прямой (т.е. образуют континуум), то говорят, что у оператора непрерывный спектр. Если собственные значения образуют дискретное множество, то говорят о дискретном спектре оператора.

При измерениях конкретные значения физической величины получаются с некоторой вероятностью. Поэтому можно определить среднее значение физической величины, получаемое при измерениях в данном состоянии.

Для оператора с дискретным спектром среднее значение соответствующей физической величины определяется соотношением A = ∑ pn An , где pn = p (An ) - вероятность получения

значения An .

В большинстве случаев собственные функции самосопряжённого оператора образуют полную систему функций. Это значит, что любую функцию можно представить в виде суммы Y = ∑cn Yn , где Yn - все собственные функции, образующие полную систему. (Предполагает-

ся, что этот ряд сходится равномерно.) Для поиска коэффициентов разложения следует использовать свойство ортогональности функций. Умножим левую и правую части на Yn

(Y,Yn ) = cn (Yn ,Yn ), cn =	(Y,Yn )
		.
	(Yn ,Yn )

Пусть полная система функций ортонормированна, т.е.

(Yn ,Ym ) =1 при n = m и (Yn ,Ym ) = 0 при n ¹ m .

Это условие записывают в виде (Yn ,Ym ) = dnm , где символ Кронекера определяют как функ-

цию от двух натуральных чисел

d(n,m) = dnm

n = m

n ¹ m

При выполнении этих условий получаем, что cn

= (Y,Yn ).

Будем предполагать, что для функции Y выполняется условие нормировки ∫

2 dV = 1,

которое можно переписать в виде (Y,Y) = 1 . Тогда

∑cn Yn

,Ym ) = ∑

= 1.

(Y,Y) =

,∑cm Ym = ∑cn (cm ) (Yn

Если функцию, нормированную на единицу, разложить в ряд по полной ортонормированной системе собственных функций самосопряжённого оператора физической величины, то квадраты модулей коэффициентов разложения дадут вероятности получения собственных значений, соответствующих данным собственным функциям. Т.е. если (Y,Y) = 1 и

(Yn ,Ym ) = dnm , то pn

= p (An )

, где cn

= (Y,Yn ) при выполнении

× Yn . В этом

A(Yn ) = An

случае среднее значение можно определить равенством

A = ∑ pn An = ∑

∑Ancn Yn

(Y),Y).

= ∑cn (cm ) (Yn ,Ym )An =

,∑cm Ym

= (A

Если оператор имеет непрерывный спектр, то среднее значение соответствующей физи-

ческой величины определяется аналогично

A = (A(Y),Y)= ∫Y A(Y)dV .

* ˆ

Семестр 4. Лекции 7-8.

Следовательно, если функция Y, описывающая состояние системы является собственной для


данного оператора	ˆ							ɶ
данного оператора	A , то при измерении мы получаем пропорциональную функцию Y = A × Y ,
которая «теряет условие нормировки на единицу» ∫		ɶ	2	dV = ∫		2	2
			2			2	2
							dV = A . Т.е. можно счи-
		Y			A × Y		dV = A . Т.е. можно счи-
	V			V

тать, что состояние системы не меняется. Очевидно, что вероятность получения результата А при измерениях в этой ситуации равна 1. И среднее значение совпадает с результатом <A>=A.

Если в каком-то состоянии, определяемом функцией Y надо измерить одновременно две физические величины А и В, то согласно общим правилам измерений надо подействовать соот-

ветствующими операторами	ˆ	ˆ	на пси-функцию данного состояния. Если эта функция яв-
	A и	B

ляется собственной одновременно для обоих операторов, то состояние системы не изменится и вероятность получения обоих результатов равна единице. Говорят, что в этом случае две вели-

чины одновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью. В этом случае результа-

ты измерений не зависят от порядка их проведения, т.к. A(B (Y))

= B (A(Y)).

В общем случае каждое измерение меняет состояние системы, поэтому результаты будут

зависеть от порядка измерений A(B (Y))¹ B (A(Y)).

Коммутатором двух операторов

A и

B называется оператор

A,B , определяемый со-

ˆ ˆ

отношением A,B

(Y) = A(B (Y))- B (A(Y)).

Смысл этого определения можно уяснить, если переписать определение в другом виде

A(B (Y))= B

(A(Y))+ A,B (Y).

ˆ ˆ

Т.е. коммутатор –

это добавочный оператор, позволяющий переставлять порядок операторов.

Если для двух операторов

их коммутатор является нулевым оператором

A и

перестановочны или коммутируют друг с

A,B

= 0 , то говорят, что эти операторы A

и B

другом.

Оказывается, что если для операторов двух величин

выполняется соотношение

A и

A,B

= i × K , где

K - оператор некоторой величины, то для неопределённостей этих величин

можно написать соотношение DA × DB ³

< K >

Как известно, две физические величины могут быть одновременно измерены со сколь

угодно точностью только в случае, если они канонически не сопряжены DA × DB = 0 . Поэтому

для них должно быть

< K >

= 0 , т.е.

= 0 (нулевой оператор). Это значит, что две величины

одновременно могут быть измерены с сколь угодно точностью, если их операторы коммутируют, т.е. их коммутатор является нулевым оператором.

		Операторы квантовой механики.
1. Операторы координаты определяются действием на функции
	x (Y) = x ×Y , y (Y) = y × Y , z (Y) = z × Y .
	ˆ	ˆ	ˆ
Все три оператора перестановочны между собой.			Например,
ˆ ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ		ˆ ˆ	= ˆ
коммутатор [x, y](Y)= x (y (Y))- y (x (Y))= x × y × Y - y × x × Y = 0				, т.е. [x, y]	0 .

Следовательно, координаты могут быть одновременно измерены с любой точностью. Оператор координаты является самосопряженным. Проверим это, например, для xˆ :

Семестр 4. Лекции 7-8.

(ˆx (Y1 ),Y2 ) = ∫Y2* ×ˆx (Y1 )×dV = ∫Y2* × x ×Y1 × dV = ∫Y2* × x* × Y1 × dV =

V V V

= ∫(xY2 )* × Y1 ×dV = (Y1 , ˆx (Y2 ))

Собственные числа этого оператора – это значения координат. Очевидно, что эти значения - действительные числа. Оператор координаты обладает непрерывным спектром, поэтому среднее значение, например, координаты x определяется равенством

x = ∫Y* ˆx (Y)dV = ∫Y* xYdV = ∫x Y 2 dV .

V V V

Оператор радиус-вектора определяется как векторная функция

R (Y) = ex ˆx (Y)+ ey ˆy (Y)+ ez ˆz (Y) = x × Y ×ex + y × Y ×ey + z × Y ×ez

где ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.

2. Оператор проекции импульса на ось декартовой системы координат

ˆ	¶Y		ˆ	¶Y		ˆ	¶Y
		,			,			.
px (Y) =			py (Y) =			pz (Y) =
	i ¶x			i ¶y			i ¶z

Проверим, что этот оператор самосопряженный для одномерного случая. Т.к. частица находится в ограниченной области, то на границе области волновая функция частицы обязательно обращается в ноль. Если область задана интервалом a < x < b , то Y (a) = 0 и Y (b) = 0

¶Y1

(px (Y1 ),Y2 )= ∫Y

× px (Y1 )× dx = ∫Y

× dx =

∫Y

× dx =

i ¶x

¶x

¶Y2*

¶Y2

2 ))

× Y1

× dx

× Y1

- ∫

= ∫

× Y1 × dx = ∫

× Y1 × dx = (Y1 , px (Y

¶x

i ¶x

a i

¶x

Собственные значения оператора проекции импульса – это значения проекции импульса. Найдём, например, собственные функции оператора проекции импульса на ось Х. Для этого надо

разрешить операторное уравнение

С учётом определения оператора получаем

px (Y) = px × Y .

обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

¶Y = px × Y ,

¶x

d Y

= i

× dx , откуда Y = C ×ei

×x , где С не

которое решаем методом разделения переменных

зависит от х.

Коммутатор операторов проекций импульса на разные координатные оси

, py

(Y) = px (py (Y))- py

(px (Y))

¶Y

= 0 .

ˆ ˆ

¶x i ¶y

i ¶y i ¶x

Т.е. координаты импульсов могут быть измерены одновременно с произвольной точностью. Найдём коммутатор оператора координаты и проекции импульса на одну и ту же ось

[px

, x](Y)= px (x (Y))- x (px (Y))=

¶Y

Y + x

¶Y

Y .

(xY)- x

- x

ˆ ˆ

i ¶x

¶x

i ¶x

]= -i

(Y) = Y .

Таким образом, [px

, x

× I , где

I - единичный оператор,

т.е. I

С учётом того, что

= 1 для импульса вдоль оси Х и координаты х можно написать соотно-

шение Dx × Dpx ³ . Т.е. эти величины являются канонически сопряжёнными. 2

Найдём коммутатор оператора координаты и проекции импульса на разные оси

Семестр 4. Лекции 7-8.

[px , y](Y) = px (y (Y))- y (px (Y))

(y × Y)

¶Y

= 0 .

- y

i ¶x

¶x

Т.е. эти величины не являются канонически сопряжёнными.

Оператор вектора импульса

∂Ψ

pz (Y)=

p (Y) = ex px (Y)+ ey

py (Y)+ ez

ÑY ,

¶x

¶y

¶z

∂Ψ e

∂Ψ e +

∂Ψ e .

где оператор «набла» в декартовых координатах задаётся в виде ÑY =

¶x

¶y

¶z

В квантовой механике вводят оператор полной энергии

, такой, что изменение волно-

вой функции во времени (или как говорят эволюция) полностью определяется этим оператором:

										∂Ψ	ˆ
										i ¶t	= E (Y).
		Собственные значения оператора полной энергии – это значения энергии системы:
ˆ	(Y) = E × Y .		Найдём вид собственных функций для оператора полной энергии.
E	(Y) = E × Y .
	∂Ψ			d Ψ		E		-i	E	×t
	∂Ψ			d Ψ		E		-i		×t
i	¶t	= E × Y ,			= -i		× dt , Y = y ×e		, где y - функция, не зависящая от времени.
i	¶t	= E × Y ,		Y	= -i		× dt , Y = y ×e		, где y - функция, не зависящая от времени.

Если энергия системы не меняется (стационарное состояние), то волновая функция имеет вид

Y = y ×e-i	E	×t .

Построение операторов квантовой механики Для построения оператора квантовой механики, соответствующей некоторой динамиче-

ской переменной в классической механике, следует сначала записать классическое выражение этой величины через импульс и координаты, а затем заменить импульс и координату соответствующими операторами.

3. Оператор момента импульса.

В классической физике вектор момента импульса относительно некоторой точки определяется

= e

(yp

- zp

)+ e

(zp

- xp

)+ e

(xp

- yp

выражением L

= R ´ p =

где ex , ey , ez - орты декартовой системы координат.

Тогда вектор-оператор момента импульса должен принять вид

ˆ ˆ

ˆˆ

ˆ ˆ

L = R ´ p = ex (ypz - zpy )+ ey

(zpx

- xpz )

+ ez (xpy - ypx ).

Операторы проекций моментов импульса на оси

ˆ ˆ

ˆˆ

ˆ ˆ

= ypz

- zpy ,

Ly = zpx

- xpz ,

Lz = xpy

- ypx .

Замечание. Т.к. операторы проекции импульса на ось и координаты на другую ось коммутируют друг с другом, то в последних трёх равенствах их порядок не влияет на результат.

Рассмотрим, например, коммутатор

,Ly (Y) = Lx (Ly (Y))- Ly

(Lx (Y))= (ypz - zpy )(zpx - xpz )(Y)- (zpx - xpz )(ypz - zpy )(Y) =

ˆ ˆ

ˆˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆˆ

¶Y

= y

- z

- x

- z

- x

- z

¶z

i ¶x

i ¶y

i ¶z

¶z i ¶z

¶y

= - y 2 ¶Y - yz 2

¶2 Y

+ yx 2 ¶2 Y

+ z2 2

¶2 Y

- zx 2

¶2 Y

+ zy 2

¶2 Y

- zz 2

¶2 Y

- xy 2 ¶2 Y

¶z¶x

¶y¶x

¶y¶z

¶x¶z

¶x¶y

¶x

¶z2

Семестр 4. Лекции 7-8.

¶Y

¶2 Y

¶Y

(ypx - xpy )(Y)

+ zx

= y

- x

= -

Lz (Y)

¶y

¶z¶y

i i

¶x

i i ¶y

i i ¶x

i ¶y

ˆ ˆ

Т.е. проекции импульса на разные оси не могут быть измерены одновременно с произ-

вольной точностью.

Запишем оператор проекции момента импульса на ось z, т.е. Lz , в цилиндрической сис-

теме координат (r ,j, z ): x = r cos ϕ,

j = arctg

y = r sin ϕ. Откуда r =

x2 + y2

¶r =

= cos j,

= sin j ,

¶x

x2 + y2

¶y

x2 + y2

¶j = -

= -

sin j

¶j =

cos j

¶x

2 x2

¶y

y 2 x

Выразим производные

¶Y = ¶Y ¶r +

¶Y ¶j = cos j

¶Y -

sin j

¶Y

¶Y =

¶Y ¶r +

¶Y ¶j = sin j

¶Y +

cos j

¶Y .

¶x

¶r ¶x

¶j ¶x

¶r

r ¶j

¶y

¶r ¶y

¶j ¶y

¶r

¶j

(py (Y))

¶Y

(Y)

= x

- y (px (Y))= x

- y

¶y

¶x

¶Y

cos j ¶Y

¶Y

sin j ¶Y

¶Y

r cos j sin j

- r sin j cos j

¶r

¶j

¶r

i ¶j

¶j

Собственные значения оператора проекции импульса на ось –

это величины проекции

момента импульса

Lz (Y) = Lz × Y . Найдем вид собственных функций, отвечающих этим собст-

¶Y = L × Y , откуда Y = C ×ei

венным значениям:

×j

(где С –

функция, не зависящая от j).

i ¶j

Учитывая, что при повороте вокруг оси z на угол 2pm (m - целое число) вид функции не меня-

ется, получаем равенство Lz = m , т.е. проекция момента импульса на ось z может принимать

значения, кратные приведённой постоянноё Планка ħ: Lz = m × . В этом смысле постоянную Планка иногда называют квантом действия.

4.Оператор потенциальной энергии

Вклассической механике потенциальная энергия зависит от взаимного положения тел.

Выражение для потенциальной энергии квазиупругой силы (вдоль оси Х) U = kx2 в опе-

kxˆ 2

kx2

раторном виде будет выглядеть так же U (Y) =

2 x × x × Y =

× Y .

(Y) = 2 x (x (Y))=

Выражение для потенциальной энергии кулоновского взаимодействия двух точечных за-

q × q

1 1

рядов U =

перейдет в оператор такого же вида U (Y) =

(Y), где оператор

4pe0

(Y) =

является обратным к оператору R (Y) = R × Y

. Очевидно, что

× Y , поэтому

q1 × q1

U (Y) =

× Y

4pe0 R

Семестр 4. Лекции 7-8.

5.Оператор кинетической энергии.

Вклассической механике кинетическая энергия тела определяется выражением

mv2

. Поэтому оператор кинетической энергии имеет вид

ˆp2

p (p (Y))=

EK (Y) =

(Y) =

Ñ(Y) = -

(Y) = -

DY .

ˆ ˆ

2m i i

Найдём собственные значения оператора кинетической энергии для одномерного случая

(Y)= EK × Y или -

d 2 Y

= EK × Y . Получаем уравнение, с котором уже встречались в за-

dx2

даче об одномерной яме с непроницаемыми стенками

d 2 Y

× Y = 0 .

dx2

2mE

Откуда Y = C sin

x .

6. Оператор Гамильтона.

В классической механике механическая энергия тела, записанная как функция импульса

и координат, называется функцией Гамильтона H = EK +U =

+U .

В квантовой механике соответствующий оператор называется оператором Гамильтона

(или гамильтонианом)

ˆp2

H (Y)=

(Y)+U (Y)= -

DY +U × Y .

Уравнение Шрёдингера.

Если рассматривать нерелятивистские частицы, то их полную энергию можно опреде-

лять формулой H = EK +U =

+U . Поэтому оператор полной энергии в нерелятивистском

(Y). Поставляя это равенство в уравне-

случае совпадает с оператором Гамильтона E

(Y) = H

∂Ψ

ние эволюции волновой функции i

¶t

= E (Y), получаем временное уравнение Шрёдингера

i ¶Y = -

DY +U × Y .

¶t

Таким образом, временное уравнение Шрёдингера описывает нерелятивистские частицы. Замечание. Если рассматривать релятивистские частицы, то их полная энергия связана с

импульсом соотношением E 2 = c2 p2 + m02c4 . Поэтому соответствующее операторное равенство

ˆ 2	2	ˆ	2	2 4
		ˆ		(Y)+ m0 c × Y . Но
примет вид E (Y) = c p				(Y)+ m0 c × Y . Но

ˆp2 = - 2 DY . В итоге получается уравнение

ˆ	2		ˆ	ˆ	¶		¶Y		2 ¶2 Y
E		(Y) = E		(E (Y))= i		i		= -	¶t	2	,
E		(Y) = E		(E (Y))= i		i		= -		2	,
					¶t		¶t
2 ¶2 Y			= c2	2DY - m2c4	× Y , которое описывает
		¶t 2		0

свободные релятивистские частицы (с целым спином) и носит название уравнения Гордона-

Фока.

Если попытаться записать линейную связь между энергией и импульсом для релятивистского случая в виде E = csx px + csy py + csz pz + s0 m0c2 , так, чтобы выполнялось равенство

(csx px + csy py + csz pz + s0m0c2 )2 = c2 p2 + m02c4 , то после подстановки в уравнение эволюции волновой функции получится уравнение Дирака

Семестр 4. Лекции 7-8.

i ∂Ψ = s

∂Ψ

+ s

∂Ψ + s

∂Ψ + s m c2 Y .

¶t

i ¶x

¶y

i ¶z

0 0

В этом уравнении s0, sx, sy, sz –

специальные матричные операторы (4х4), а

Y = (Y1 ,Y2 ,Y3 ,Y4 ) - вектор-функция.

Пример. В момент времени t=0 волновая функция частицы в одномерной потенциальной

яме с бесконечно высокими стенками имеет вид

3px

y (x) = A ×cos

sin

Считая, что масса частицы равна m0, найдите среднюю кинетическую энергию частицы в данном состоянии. Укажите, суперпозицией каких состояний частицы в потенциальной яме является данное состояние. Найдите волновую функцию Y(x, t).

Решение. В одномерной яме с непроницаемыми стенками как стационарной задаче, волновые функции частицы имеет вид

npx −i

(x,t ) =

, где En

sin

2ma

npx

При t=0 получаем, соответственно, Yn (x,0) = yn =

sin

Воспользуемся формулой Эйлера eiα = cos a + i sin a , откуда cos a =

eiα + e−iα

sin a =

eiα - e−iα

. Тогда

2πx

−i

2πx

i πx

−i πx

3px

3πx

−i

3πx

πx

- e

−i

πx

e a - e

a - e a - e

y (x) = A ×cos

e 2a

+ e

e 2a

sin

= A ×

2px

× sin

- sin

Нормируем функцию y на единицу

y (x)

2px

px 2

∫

dx =

× ∫ sin

- sin

dx =

2px

∫sin

- 2∫sin

sin

dx + ∫sin

dx = 1

kpx

spx

kπx

Теперь воспользуемся тем, что ∫sin

и ∫sin

sin

dx =

0 при

k ¹ s

dx =

y (x)

для

k > 0 . Поэтому ∫

dx =

= 1, откуда

, т.е. множитель можно взять

в виде A =

. В итоге получаем

3px

2px

y (x) = A ×cos

sin

× sin

- sin

Т.к. система функций yn

ортонормированная и функция y нормирована на единицу, то ищем

коэффициенты разложения

Семестр 4. Лекции 7-8.

npx 1

2px

= (y,yn ) = ∫yn

ydx = ∫

sin

× sin

- sin

npx

2px

npx

2 1

∫sin

× sin

dx - ∫sin

× sin

a a 0

откуда c =

, c

= -

, остальные c = 0 .

a 2

Т.е вероятность обнаружения частицы в основном состоянии ( n =1 ) равна p1 =

вом возбуждённом состоянии p	=	c	2	=			1	.
			2				1

2		2		2
				2						px					E1								2px

				1 2										−i					1	2					−i
Поэтому Y (x,t ) = Y1 (x,t )+ Y1 (x,t ) =				1 2										−i		t	-		1	2					−i
									sin			e										sin		e
																					a
																			2
					2 a					e									2				e
где
		E =				2 p2				, E		=	2 2 p2					.
		E =								, E		=						.
	1						2ma2				2			ma2

c1 2 = 1 и в пер- 2

E2 t

Т.к. энергия частицы в этом состоянии не определена однозначно, то данное состояние не является стационарным.

Найдём среднюю кинетическую энергию

= p E + p

2 p2

2 2 p2

3 2 p2

1 1 2

2 2ma2

2 ma2

4ma2

Найдём среднее значение кинетической энергии другим способом – прямым вычислением по формуле

* ˆ

2 d 2 Y

EK = ∫Y EK

(Y)dV = ∫Y

dx =

2m dx

2px

2p 2

∫

sin

- sin

1 a

2p 2

p 2

3 2 p2

2m a 2

4ma

	2px	p 2	px
sin		-	sin	a	dx =

	a	a

Соседние файлы в папке Лекции_4й_семестр

#
10.02.2015206.26 Кб28Семестр_4_Лекции_05_06.pdf
#
10.02.2015178.06 Кб27Семестр_4_Лекции_07_08.pdf
#
10.02.2015145.01 Кб27Семестр_4_Лекции_09_10.pdf
#
10.02.2015223.24 Кб28Семестр_4_Лекции_14_15.pdf
#
10.02.2015195.3 Кб26Семестр_4_Лекции_17_18.pdf
#
10.02.2015146.52 Кб26Семестр_4_Лекции_19_20.pdf
#
10.02.2015125.25 Кб26Семестр_4_Лекции_21_22.pdf