- •Тема 3. Лабораторная работа Интерполяция функций
- •3.1. Вопросы, подлежащие изучению
- •3.2. Задание
- •3.3. Варианты задания
- •3.4. Содержание отчета
- •3.5. Пример выполнения задания
- •Задание для интерполяции функции
- •Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Ньютона
- •Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Лагранжа
- •Интерполяционные многочлены в явном виде и значения построенных многочленов во всех выбранных узлах интерполяции.
- •3.6. Контрольные вопросы по теме Интерполяция функций
- •Тема 1.3. Интерполяция функций (Лабораторный практикум) Страница 16
Тема 3. Лабораторная работа Интерполяция функций
3.1. Вопросы, подлежащие изучению
Постановка задач аппроксимации и интерполяции.
Основные понятия: интерполирующая и интерполируемая функции, условие интерполяции. Связь между числом узлов интерполяции и порядком интерполирующего многочлена.
Условие единственности решения задачи интерполирования.
Интерполяционный многочлен Лагранжа: назначение, область применения.
Методика выбора узлов интерполяции при использовании формул Лагранжа и Ньютона.
Способы оценки погрешностей интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона. Способы повышения точности интерполяции.
Интерполяционная формула Ньютона, область применения.
Конечные разности, их назначение и использование. Свойства конечных разностей.
Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.
Практическое правило определения степени интерполяционного многочлена.
Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
Погрешность интерполяции.
3.2. Задание
Выбрать индивидуальное задание из табл. 3-1 и табл. 3-2:
из табл. 3-1 выбрать значения точек интерполяции x=a (для построения многочлена Ньютона) и x=b (для построения многочлена Лагранжа);
для построения многочлена Ньютона узлы интерполяции выбираются самостоятельно из табл. 3-2. В соответствии с методикой выбора узлов интерполяции по значению x=a выбираем 5 узлов интерполяции, используя всю таблицу (область задания интерполируемой функции) и значения функции в этих узлах. Число используемых узлов определяется заданной степенью интерполяционного многочлена, однако для построения таблицы конечных разностей следует выбрать именно 5 узлов. Для интерполяции следует выбрать ту формулу Ньютона, которая обеспечит меньшую погрешность;
для построения многочлена Лагранжа в табл. 3-1 уже заданы номера узлов интерполяции. Узлы выбираются из табл. 3-2 и затем перенумеровываются для обеспечения наименьшей погрешности интерполяции в заданной точке x=b.
Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию табличной функции (табл.3-2) методом Ньютона по формуле, обеспечивающей меньшую погрешность:
построить таблицу конечных разностей;
построить интерполяционные многочлены в явном виде;
вычислить значение интерполирующих многочленов Ньютона в точке x=a;
провести оценку погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.
Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию табличной функции (табл.3-2) методом Лагранжа:
построить интерполяционные многочлены в явном виде;
вычислить значение интерполирующих многочленов Лагранжа в точке ;
оценить погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.
Для построенных в явном виде интерполяционных многочленов второй и третьей степени (Ньютона или Лагранжа) вычислить значения этих многочленов во всех выбранных узлах интерполяции. Сравнить полученные результаты с таблично заданными значениями.