3 курс ЦЗОПБ Методичка_2

Учебно–методическое пособие

Теоретические основы электротехники

Основы компьютерного анализа электрических цепей

направление подготовки 11.03.02

Москва 2020

1

Учебно-методическое пособие

Теоретические основы электротехники. Основы компьютерного анализа электрических цепей

Составители: Е.Д. Григорьева, к.т.н., доцент В.Б. Крейнделин, д.т.н., профессор Т.Н. Семенова, доцент А.Г. Степанова, ст. преподаватель

Рецензент: С.Н. Елисеев, д.т.н., профессор

Издание утверждено на заседании кафедры, протокол № 5 от 10.02.2020 г.

2

Общие сведения о дисциплинах ТОЭ и ОКАЭЦ

Целями дисциплины «Теоретические основы электротехники» являются формирование способностей использовать положения, законы и методы естественных наук и математики для решения задач инженерной деятельности, самостоятельно проводить экспериментальные исследования и использовать основные приемы обработки и представления полученных данных при решении задач анализа электрических цепей. В процессе обучения формируется способность осваивать методики использования программных средств для решения практических задач в области электротехники. Задачи дисциплины - изучение базовых понятий электротехники и методов расчёта и анализа электрических цепей; изучение основных электротехнических устройств; освоение методов подготовки и проведения экспериментальных исследований электротехнических устройств; ознакомление с методами компьютерного моделирования электромагнитных процессов в электротехнических устройствах. Излагаются фундаментальные основы, посвящённые анализу физических процессов в электрических цепях во временной и частотноспектральной областях.

Целями дисциплины «Основы компьютерного анализа электрических цепей» являются формирование знаний, умений и компетенций для формирования способности организовывать и проводить экспериментальные испытания с целью оценки качества предоставляемых услуг в области телекоммуникации и соответствия требованиям технических регламентов. Формируется способность самостоятельно организовывать и проводить экспериментальные исследования и использовать основные приёмы обработки и представления полученных данных. Формируется способность применять современные теоретические и экспериментальные методы исследования с целью создания новых перспективных средств инфокоммуникаций, использовать и внедрять результаты исследований. Изучаются методы применения различных информационных систем и баз данных. Формируется способность обрабатывать информацию с использованием современных технических средств.

3

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

1. Основные законы и общие методы анализа цепей

Упорядоченное движение свободных носителей электрических зарядов в проводящей среде называется током проводимости (электрическим током).

Постоянный ток — это неизменный во времени электрический ток. Значение силы тока равно скорости переноса заряда через поперечное сечение проводника: I = dQ/dt.

Единица измерения силы тока — ампер (А = Кл/с).

При своем движении носители зарядов испытывают противодействие проводящей среды (столкновение с другими частицами). Степень этого противодействия называется электрическим сопротивлением R, которое измеряется в омах (Ом).

Свойство среды проводить электрический ток называется электрической проводимостью G, которая количественно оценивается величиной обратной сопротивлению и измеряется в сименсах: G = 1/R (См = 1/Ом).

Электрическая цепь представляет собой математическую модель

электротехнических и радиотехнических систем, в которой отражаются основные электромагнитные явления, возникающие в реальных электротехнических и электронных объектах.

Простейшая электрическая цепь состоит из источника энергии, приёмника, или потребителя энергии и соединительных проводов. Для каждой цепи составляют электрическую схему из отдельных элементов, отражающих основные физические процессы в данном электротехническом и электронном устройстве (объекте).

В источниках электрической энергии неэлектрические её виды (химическая, механическая, тепловая и др.) преобразуются в потенциальную энергию электрического поля Wп за счёт разделения положительных и отрицательных электрических зарядов внутри источника.

Отношение энергии Wп к единице заряда называется электродвижущей силой Е (ЭДС), которая характеризует способность этих зарядов выполнять некоторую работу: Е = Wп/q.

ЭДС измеряется в вольтах (В) и направлена внутри источника из области отрицательных зарядов в область положительных зарядов. Разность потенциальных энергий положительных φ+ и отрицательных φ– зарядов называют напряжением на клеммах источника: U12 = φ+ – φ–.

Напряжение U12 численно равно ЭДС (U12 = Е) и направлено навстречу ЭДС (рис. 1.1а).

Один и тот же источник электрической энергии может быть представлен одной из следующих эквивалентных схем.

Реальный источник ЭДС, или источник напряжения. Характеризуется значением ЭДС Е и внутренним сопротивлением Rвн (рис. 1.1а).

Идеальный источник ЭДС. Имеет внутреннее сопротивление, равное нулю

(Rвн = 0, рис. 1.1б).

4

Реальный источник тока. Характеризуется значением тока J и внутренней проводимостью Gвн (рис. 1.1в).

Идеальный источник тока. Имеет внутреннюю проводимость Gвн = 0, или

Rвн = ∞ (рис. 1.1г).

Рис. 1.1. Эквивалентные схемы источников электрической энергии

Эквивалентные преобразования схем источников электрической энергии:

• источника напряжения Е в эквивалентный источник тока

JЭ = Е / Rвн, GЭ = 1 / Rвн;

• источника тока в эквивалентный источник ЭДС

Еэ = J / Gвн, RЭ = 1 / Gвн.

Вкачестве приемника в схемах цепей постоянного тока рассматривается резистор с сопротивлением R.

Втаком приемнике электрической энергии происходят необратимые преобразования энергии электрических зарядов в полезные виды энергии (тепловую, механическую, световую и др.).

Простой цепью является неразветвлённая цепь,

вкоторой все элементы (источники и приёмники)

соединены последовательно друг за другом и через

Задача расчёта электрической цепи состоит в расчёте токов и мощности, потребляемой приёмниками.

При расчёте цепей положительное направление токов в цепи выбирается произвольно и в дальнейшем не меняется.

В электрической цепи различают пассивные и активные участки. Пассивные участки содержат только приёмники электрической энергии. В цепи постоянного тока это резисторы (например, участки 1-2-3, 0-4 на рис. 1.2). Активные участки включают в себя источники энергии (участки 0-1-2, 2-3-4 и др.).

Закон Ома

На любом пассивном участке цепи (a – b) ток, протекающий из точки a

Для некоторого активного участка цепи (a–b) записывается обобщённый

закон Ома:

Ток на активном участке цепи равен напряжению на этом участке плюс алгебраическая сумма ЭДС источников участка, делённая на сумму сопротивлений.

с током; Ек — ЭДС источников участка, которые записываются со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением тока в цепи, и со знаком «–» в противном случае.

Так, при выбранном направлении тока в цепи на рис. 1.2 ток на участке

По результатам расчёта ток может получиться со знаком (+) или (–).

Закон Джоуля - Ленца

Мощность P, характеризующая интенсивность преобразования электрической энергии в единицу времени в источнике и в приёмнике, определяется

законом Джоуля - Ленца и измеряется в ваттах (Вт):

для источника ЭДС PЕ = EI, Вт;

для источника тока PJ = UI, Вт,

где U — напряжение на клеммах источника;

для приёмника (нагрузки) Pпр = UR IR = I2R R = U2R /R, Вт.

Для электрической цепи должен соблюдаться баланс мощностей:

Мощность, развиваемая всеми источниками энергии PЕ и PJ, должна быть равна мощности Pпр, потребляемой всеми приёмниками цепи:

∑Pи = ∑Pпр.

При этом мощность источника может быть как положительной, так и отрицательной, тогда как мощность приёмника всегда положительна.

Пример. В цепи (рис. 1.3) Е1 = 50 В, Е2 = 22 В, Е3 = 20 В, R1 = 2 Ом,

R2 = 4 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 1 Ом. Определить ток цепи, напряжение между точками 2-0, проверить баланс мощностей, рассчитать и построить потенциальную диаграмму цепи.

6

Решение.

Выберем направление тока в цепи I по часовой стрелке. Тогда по обобщённому закону Ома для замкнутой цепи ток в цепи:

Записав закон Ома для активного участка 0-1-

2,

Составим уравнение баланса мощностей:

I(E1– E2+ E3) = I2(R1 + R2+ R3 + R4); 4·48 = 16·12 = 192 Вт.

Баланс мощностей выполняется. Вывод ― задача решена правильно. Определим потенциалы точек схемы, приняв 0 = 0 и направление обхода

Цепь на рис. 1.4 содержит три ветви с токами I1, I2, I3, которые соединяются в двух узлах — «a» и «b».

Контуры цепи: b – c – a – b, b – a – d – b, b – c – a – d – b.

Независимыми являются контуры b – c

– a – b и b – a – d – b.

Пример. Для цепи, приведённой на рисунке, рассчитать токи в ветвях с резистивными сопротивлениями, используя закон Ома.

Заданы параметры элементов:

E1 = E3 = 10 B; E2 = 20 B;

7

R1 = R2 = R3 = 10 Ом

Решение. Цепь содержит два узла и три ветви. Обозначим токи ветвей и произвольно зададим их положительные направления.

Идеальный источник ЭДС E3 задаёт напряжение между узлами a и b. Учитывая, что стрелка ЭДС направлена в сторону большего потенциала, получаем:

Uab E3 .

Теперь по закону Ома рассчитываем токи в ветвях с резистивными сопротивлениями:

Значение второго тока получилось отрицательным, следовательно, действительное направление данного тока противоположно направлению, выбранному нами.

Ток в ветви с источником E3 рассчитать по закону Ома невозможно, т.к. сопротивление ветви равно нулю.

1.1. Законы Кирхгофа и их применение для расчёта цепей

Расчёты разветвленных цепей основываются на двух законах Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа относится к узлам цепи:

Справедлива другая формулировка 1-го закона: сумма токов, притекающих

Произвольно выберем направления токов в ветвях схемы (см. рис. 1.4) и условимся считать положительными токи, притекающие к узлу, и отрицательными — вытекающие из узла. Тогда, согласно первому закону Кирхгофа,

например, для узла «a» запишем: I1 + I2 – I3 = 0 или I1 + I2 = I3. Второй закон Кирхгофа относится к контурам цепи:

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на пассивных элементах цепи (на резисторах для цепи постоянного тока):

E = UR = RI.

Другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на всех элементах цепи равна нулю (с учётом напряжений на клеммах источников). Направление обхода контура выбирают произвольно и положительными считают направления ЭДС, токов и напряжений, совпадающие с направлением обхода контура.

Общее число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов.

8

По первому закону число уравнений равно числу узлов в цепи минус единица. Остальные записываются по второму закону.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока.

Пример. Для заданной схемы цепи (рис. 1.4) при Е1 = 100 В, Е2 = 50В,

R1 = 5 Oм, R2 = 10 Ом, R3 = 20 Ом составить систему уравнений по законам Кирхгофа и определить токи в ветвях цепи. Проверить баланс мощностей.

Решение.

В цепи два узла и три ветви. Следовательно, для определения трёх неизвестных токов I1, I2, I3 в ветвях необходимо составить одно уравнение по первому закону Кирхгофа (например, для узла «а») и два уравнения по второму закону, например, для внутренних контуров I и II при произвольно выбранных направлениях их обхода:

I1 + I2 – I3 = 0;

I1R1 + I3R3 = E1 → 5I1 + 20I3 = 100;

I3R3 + I2R2 = E2, → 20I3 + 10I2 = 50.

Токи можно определить, например, по формулам Крамера:

где — главный определитель системы; 1, 2, 3 — частные определители:

2

где pEk = PE1+PE2 = E1I1 + E2I2 100 5,714 50 ( 2,143) 464,25 Вт —

k 1

суммарная мощность источников энергии;

мощность нагрузки. Баланс мощностей выполняется.

Пример. Записать для заданной цепи (рис. 1.5) систему уравнений для расчёта токов по методу токов ветвей.

Решение. Число узлов цепи равно NУ = 3, число ветвей цепи NВ = 5, число ветвей цепи, содержащих источники тока, NТ = 1. Число неизвестных токов равно NНТ = NB – NT = 4. Следовательно, система уравнений по законам Кирхгофа должна содержать четыре независимых уравнения относительно токов ветвей. Число уравнений по первому закону Кирхгофа равняется NУ – 1,

9

следовательно, двум. Число уравнений по второму закону Кирхгофа равняется NB – (NУ – 1) – NT, следовательно, также двум.

Задаём произвольно положительные направления токов ветвей. Токи, направленные от узла, будем учитывать со знаком «+», а токи, направленные к узлу, – со знаком «-». Получаем систему уравнений:

I1 I3 J 0

I3 I2 I4 0

R1 I1 R3 I3 R2 I2 E1 E2R2 I2 E2 E3

Рис. 1.5

1.2. Метод контурных токов

При использовании метода контурных токов уравнения составляют только по второму закону Кирхгофа. При этом условно считают, что через все элементы рассматриваемого контура протекает один и тот же контурный ток, направление которого совпадает с направлением обхода контура.

Решив полученную систему уравнений, определяют контурные токи,

а затем токи в ветвях цепи как алгебраическую сумму соответствующих контурных токов, замыкающихся через данную ветвь.

Если в один из контуров входит ветвь с источником тока, его схему предварительно можно преобразовать в эквивалентную схему источника ЭДС (если это возможно) или контурный ток контура с источником тока следует принять равным току этого источника тока.

Пример. Для заданной схемы цепи при

Е1 = 100 В, Е2 = 50В,

R1 = 5 Oм, R2 = 10 Ом, R3 = 20 Ом определить токи в ветвях методом

контурных токов.

Решение

Произвольно выбираем направления обхода контуров по часовой стрелке.

Составляем систему уравнений по второму закону Кирхгофа относительно двух контурных токов I11 и I22:

I11(R1 + R3) ‒ I22 R3 = E1; 25 I11 ‒20 I22 = 100;

‒ I11R3 + I22(R2 + R3) = ‒Е2; ‒ 20I11 + 30I22 = ‒50.

Решаем систему уравнений и определяем контурные токи:

I11 = 5,714 А; I22 = 2,143 А.

10