1 семестр / Funkcii_dvuh_i_treh__peremennyh_dlja_tipovogo__vveden_ostatochnyj_chlen_dlja_sajta1

Функции нескольких переменных.

1. Основные понятия.

Исследование функции нескольких переменных проведем на примерах функций двух и трех переменных, так как все данные определения и полученные результаты справедливы для функций n переменных.

z

3

Рис. 1.

x

Областью определения функции трех переменных u=f(x,y,z) является множество трехмерного пространства . График функции лежит в четырёхмерном пространстве, представить его затруднительно.

В пространстве расстояние между двумя точками

Как видим, понятие предела для функции многих переменных такое же, как и для функции одной переменной.

Но существует и небольшое отличие:

Если в (на прямой) мы можем стремится к точке двумя способами, слева

Для существования предела мы должны показать, что получаемый результат( предел) не зависит от способа подхода к предельной точке. Если при различных подходах к предельной точке получаем разные значения предела

2

функции, то это является доказательством того, что предел функции не существует.

Иногда встречаются задачи, в которых необходимо вычислить предел функции двух( или трех) переменных только по одной заданной линии подхода к предельной точке. И если не существует общего предела, то предел по какомунибудь частному направлению может существовать.

стремлении к началу координат, к точке

Такой же вывод могли получить, если бы перешли к полярным координатам, тогда

| |

Предел существует и не меняет значения при произвольном способе подхода к

2. Непрерывность функций нескольких переменных.

2.существует конечный предела при

3.предел существует и равен значению функции в точке

2.Не существует конечного предела при

3.предел существует, но не равен значению функции в точке

4

Функция трех ( двух )переменных может иметь множество точек разрыва, образующих например, одну, две линии разрыва или даже произвольное множество.

{

Таким образом, функции многих переменных предполагают огромное разнообразие различных задач.

ВЫУЧИТЬ!!!

3. Дифференцирование функций нескольких переменных.

Определение. Частной производной первого порядка функции

Частную производную первого порядка функции

5

по y

по z

называется частным приращением данной

функции по переменной .

Из определения частной производной первого порядка функции

видно, что при дифференцировании функции нескольких переменных по одной из них, все остальные переменные следует считать

6

постоянными и, следовательно, можно пользоваться известными правилами и формулами дифференцирования функции одной переменной.

Пример 2.

a) Найти все частные производные первого порядка функции двух переменных

√

Решение: При вычислении частной производной по переменной переменную считаем константой

√ √

при вычислении частной производной по переменной переменную считаем константой

√

б) Вычислить все частные производные первого порядка функции трех переменных

Решение: Аналогично предыдущему примеру из пункта а), при вычислении частной производной по переменной , переменные и считаем константами.

Частная производная вычисляется при фиксированных и z , т.е.

и

7

Геометрический смысл частных производных для функций двух переменных.

Предположим, что функция нескольких переменных имеет частные производные первого порядка во всех точках области определения D. Эти производные являются функциями нескольких переменных в области D и они тоже могут иметь частные производные первого порядка.

Определение. Частные производные первого порядка от частных производных первого порядка функции нескольких

8

переменных называются частными производными второго порядка функции нескольких переменных и обозначаются

( ) или ( ) .

Аналогично определяются частные производные более высокого порядка.

Определение. Частная производная высшего порядка, взятая по разным

Вобщем случае, смешанные производные не равны друг другу, например

,поэтому порядок написания переменной в знаменателе частной производной имеет важное значение.

9

Имеет место теорема о равенстве смешанных производных. ВЫУЧИТЬ!!!

ого порядка включительно, то смешанные производные функции до k-ого порядка включительно в этой точке, не зависят от порядка дифференцирования.

частными производными до третьего порядка включительно в окрестности точки (

.

Пример 3.

а) Найти смешанные производные второго порядка функции

и проверить их равенство.

Решение: Функция является непрерывной по переменным x и y. Найдем вторые смешанные производные

( )

10