1.5 Метод Якоби

1.4.3 Содержание и требования к оформлению отчета

1.5.1 Краткая теоретическая справка

1.5.2Порядок выполнения работы

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7911.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Отчет должен содержать титульный лист, название работы и цель работы, исходные данные, результаты расчетов, таблицы и графики, анализ результатов и выводы по работе.

Оформление должно соответствовать ОС ТУСУР 01-2013 "работы студенческие по направлениям подготовки и специальностям технического профиля. Общие требования и правила оформления".

Цель работы – изучение и программная реализация итерационного метода Якоби для решения СЛАУ.

Длядостиженияпоставленнойцелииспользуетсяпрограммноеобеспечение Octave. В ходе работы необходимо программно реализовать итерационный метод и оценить его сходимости для заданной точности решения.

Метод Гаусса, как и методы, основанные на LU- и QR-разложении, относятся к прямым методам решения СЛАУ, т.е. если отбросить ошибку округления, решение, полученное посредством данных методов, является точным. Другую группу составляют итерационные методы, при помощи которых решение находится путем последовательных приближений. Если итерационный процесс сходится, то каждое последующее приближение уточняет предыдущее. Представим матрицу системы (1.1) в виде:

где

a11 D = 00

00 0

a22 0 0

0 0 0

A = L + P + D ,

	0		0
	0
	0		a21
			,L =



	ann		an1

(1.17)

0	0		0	0
0	0		0	0
					,



an2	an3	an,n−1
				ann

	0	a	a	a		a
		12	13		1,n−1	1n
	0	0	a23	a2,n−1		a2n
P =							.


	0	0	0		0	0
	0	0	0		0	0

Предполагаем, что aii ≠ 0, i = 1, 2, … , n. Тогда систему (1.1) с учетом (1.17) можно записать в виде:

Lx + Dx + Px =b ,

или

x = −D−1(L + P)x + D−1b .

(1.18)

Сравнивая (1.1) и (1.18), видно, что

B = −D−1(L + P), C = D−1 .

На основе формулы (1.18) записывается итерационный процесс метода Якоби:

xk +1 = −D−1(L + P)xk + D−1b .

(1.19)

Пусть x

= (x(k ),x(k ), ,x(k )). Тогда матричная формула (1.19)

с учетом вида

1 2

матриц L, P и D–1 записывается покомпонентно в виде:

x(k +1)

−

a12

(k )

−

a13

x(k ) − −

a1n

x(k )

a11

x(k+1) =

−

a21

(k )

− a23 x(k ) − − a2n x(k )

a22

x(k ) −

n3 x(k ) − −

an,n−1

x(k )

x(k

−

ann

или

xi(k +1) =

i−1aij

x(jk ) −

aij

x(jk ) , i =1,2, ,n .

−

∑

(1.20)

aii

j=1aii

j=i+1 aii

Тогда матрица В имеет вид:

a1,n−1

− a

−

− a

a2,n−1

B =

−

− a

−

− a

an,n−1

−

− a

−

Для сходимости метода Якоби достаточно, чтобы ||B|| < 1. Достаточном условием сходимости метода Якоби является:

∑j=1 aij < aii , i =1,2, ,n . (1.21)

i≠ j

Неравенство (1.21) означает диагональное преобладание в исходной матрице A, которого следует добиться до вычислений согласно формуле (1.20).

Рассмотрим пример. Пусть дана система уравнений:

100x1		+ 30x2 − 70x3 = 60
	15x1	−50x2 −5x3 = −40 ,
	15x1	−50x2 −5x3 = −40 ,
	6x	+ 2x	2	+ 20x	3	= 28
	1		2		3
где
100		30		− 70			60
		−50		−5			−40
A = 15		−50		−5		,b =	−40	.
	6	2		20			28
	6	2		20			28

В исходной матрице A диагонального преобладания нет. Поэтому до основных вычислений выполним преобразования. Сложим первые два уравнения:

115x1 − 20x2 − 75x3 = 20

15x1 −50x2 −5x3 = −40 .6x1 + 2x2 + 20x3 = 28

В результате матрица СЛАУ преобразуется к матрице с диагональным преобладанием. Тогда итерационный процесс можно записать следующим образом:

x (k +1)			= 20		+			20 x(k ) + 75 xk
	1										2						3
	1		115			115					2		115				3
			115			115							115
	(k +1)			40		15					(k )		5				(k )	.
x2			=	50	+				x1			−			x3
x2			=		+				x1			−			x3
						50							50
x (k +1)			= 28		−		6		x		(k ) −			2		x	(k )
	3			20		20				1			20			2
				20		20							20
При этом матрица B примет вид:
			0		0,17391							0,65217
		0,3				0							− 0,1
B =		0,3				0							− 0,1				.
		−	0,3		− 0,1								0
		−	0,3		− 0,1								0

Нормы матрицы ||B||1 = 0,826 < 1, ||B||2 = 0,75217 < 1, что говорит о выполнении условий сходимости метода Якоби. В качестве начального приближения возьмем:

		0,17391
x0		0,8
x0	= C b =	0,8	.
		1,4
		1,4

Результат вычисления 6 итераций приведен ниже:

x(1)	=1,2260	x(2)			=1,2246	x(3)	= 0,9817
1	= 0,7122		1			1
x2(1)	= 0,7122	, x2(2) =1,041				, x2(3) =1,0413,
(1)	=1,2678		(2)		= 0,961	(3)	=1,2829
x3	=1,2678	x3			= 0,961	x3	=1,2829
x(4)	=1,1917	x(5) = 0,9950				x(6) = 0,9747
(14)	= 0,9662		1(5)		=1,0574	1(6)	=1,0039.
x2	= 0,9662	, x2			=1,0574	, x2	=1,0039.
x3	=1,0014	x3		= 0,9459		x3	= 0,9958
(4)			(5)			(6)

Из полученных данных хорошо видна сходимость от итерации к итерации.

14x +3,5x + 7,1x

5,1x1 +17x2 +1,5x3 = 2

1.В соответствии с выданным преподавателем вариантом выполнить преобразования над матрицей Адля удовлетворения условия сходимости метода Якоби.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

10x1 + x2 − x3 =11x1 +10x2 − x3 =10− x1 + x2 +10x3 =10

20,9x1 +1,2x2 + 2,1x3 = 31

1,2x1 + 21,2x2 +1,5x3 =102,1x1 +1,5x2 +19,8x3 =14

	3x	+ 0,89x		2	+ 0,64x		= 2
	1			2		3
	1,11x1 + 4x2 +1,2x3 = 2.2

0,14x1 + 0,15x2 +9x3 = 22
	5,2x1 +1,23x2 + 2,11x3 =15
	0,01x1 + 7,41x2 +1,95x3 = 3
	0,01x1 + 7,41x2 +1,95x3 = 3

0,02x1 + 0,03x2 + 4,45x3 = 0,64
	75,2x1 +8,23x2 + 2,54x3 = 0,14
	2,51x1 + 24,8x2 +5,41x3 = 8
	2,51x1 + 24,8x2 +5,41x3 = 8

6,36x1 + 2,25x2 + 64,31x3 = 3,15
	14x		+ 2x	+3x =		5
		1	2		3
x1 + 7x2 + 4x3 = 0,12
4x		+3x +		74x =14
	1		2		3
			3x1 + x2 + x3 =15
	2x		+ 4x + 0,54x			=	0,012
	2x		+ 4x + 0,54x			=	0,012
	1		2		3		= 0,14
1,12x1 + 0,078x2 +9x3							= 0,14

2.Записать итерационный процесс и решить СЛАУ методом Якоби до шестой итерации включительно.

3.Реализовать в Octave метод Якоби для решения СЛАУ с точностью

ε= 0,001. Перед нахождением решения в программе выполнить проверку на соответствие исходных данных требованиям метода. Сравнить решения, полученные вручную до шестой итерации, с результатом решения реализованной программы в Octave. При нахождении решения для i-ой итерации построить вектор Vi = [x1, x2, ... , xk], где xk – получаемое k-е решение системы уравнений. По достижении заданной точности построить график зависимости Vi

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.20231.23 Mб57675.pdf
#
05.02.20231.88 Mб17754.pdf
#
05.02.20231.01 Mб97799.pdf
#
05.02.2023786.98 Кб07801.pdf
#
05.02.2023526.8 Кб17859.pdf
#
05.02.20231.43 Mб177911.pdf
#
05.02.2023411.87 Кб07946.pdf
#
05.02.2023529.56 Кб07951.pdf
#
05.02.2023444.47 Кб07952.pdf
#
05.02.2023465.31 Кб07953.pdf
#
05.02.2023298.78 Кб07965.pdf