1.3.3 Содержание и требования к оформлению отчета
Отчет должен содержать титульный лист, название работы и цель работы, исходные данные, результаты расчетов, таблицы и графики, анализ результатов и выводы по работе.
Оформление должно соответствовать ОС ТУСУР 01-2013 "работы студенческие по направлениям подготовки и специальностям технического профиля. Общие требования и правила оформления".
1.4 QR-разложение
Цель работы – изучение и программная реализация QR-разложения матриц. Длядостиженияпоставленнойцелииспользуетсяпрограммноеобеспечение GNU Octave. В ходе работы необходимо программно реализовать алгоритм QRразложения матрицы и сравнить разложение с результатами, полученными с
помощью встроенных функций Octave.
1.4.1 Краткая теоретическая справка
QR-разложение является основой одного из методов решения СЛАУ и поиска собственных значений (чисел) и векторов матрицы. Пусть A – квадратная невырожденная матрица, тогда существует единственное QR-разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы R являются положительными вещественными числами.
Пусть A – матрица размерности 3×3, т.е.
A =[a1 a2 a3 ], |
(1.8) |
где a1, a2, a3 – вектор-столбцы, причем векторы a1, a2 и a3 линейно независимы. С помощью процесса ортогонализации построим ортонормированный базис q1, q2, q3 в пространстве столбцов матрицы A. Тогда матрица Q будет ортогональной. Процесс ортогонализации приводит к следующим соотношениям:
b1 =a1, |
(1.9) |
b2 = a2 + c b1, |
(1.10) |
|
26 |
b3 = a3 + d1 b1 + d2 b2 ,
где числа c, d1 и d2 выбираются из условия ортогональности векторов
′
c = −b1T a2 , b1T b1
d1 |
= |
−(bT |
a |
|
|
) |
, |
||
|
1 |
|
3 |
|
|||||
|
|
b1T b1 |
|
|
) |
|
|||
d2 |
= |
−(bT |
a |
|
. |
||||
bT2 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
b2 |
|
|
|
|
|||
Пронормировав векторы b1, b2 и b3, получим:
q1 = |
|
b1 |
|
|
, q2 = |
|
|
b2 |
|
|
, q3 = |
|
|
b3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b1 |
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
b3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.11) b1, b2 и b3:
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
Запишем |
процесс ортогонализации в |
матричном виде. |
Получим, что |
|||||||||||||||
A = Q R, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
b |
|
|
aT2 b1 |
|
aT3 b1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
b1 |
|
|
|
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aT |
|
b |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
R = |
0 |
|
|
|
b2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
. |
(1.16) |
|||
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
b3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4.2Порядок выполнения работы
1.Сформировать матрицу А размерностью 3×3 таким образом, чтобы её столбцы были линейно независимыми.
2.Выполнить разложение матрицы А согласно (1.8)–(1.16) для получения QR-разложения. Выполнить проверку полученных матриц Q и R.
3.НайтиQR-разложениематрицыA спомощьювстроенныхсредствOctave. Сравнить полученное разложение с результатом предыдущего пункта. Сделать выводы.
4.Создать копию матрицы A и удалить в ней последний столбец. Пусть B – полученная в результате матрица. Найти QR-разложение для матрицы B с помощью встроенной функции Octave. Объяснить принцип QR-разложения
прямоугольных матриц.
27