2.Реализовать в Octave вычисления согласно прямого и обратного ходов метода Гаусса и сравнить получено решение, с результатами, полученными в п. 1.
3.Вычислить число обусловленности матрицы А с помощью встроенных средств Octave. Произвести малое изменение одного из элементов вектора свободных членов и повторно найти решение СЛАУ. Оценить расхождение полученных результатов.
4.Реализовать в Octave метод Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцам. Оценить различия в полученных результатах.
1.2.3Содержание и требования к оформлению отчета
Отчетдолжен содержатьтитульныйлист,названиеицельработы,исходные данные, результаты расчетов, таблицы и графики, анализ результатов и выводы по работе.
Оформление должно соответствовать ОС ТУСУР 01-2013 "Работы студенческие по направлениям подготовки и специальностям технического профиля. Общие требования и правила оформления".
1.3 LU-разложение
Цель работы – изучение и программная реализация LU-разложения матриц для решения СЛАУ.
Длядостиженияпоставленнойцелииспользуетсяпрограммноеобеспечение GNU Octave. В ходе работы необходимо программно реализовать алгоритм LUразложения квадратной матрицы и на основе разложения найти решение СЛАУ.
1.3.1 Краткая теоретическая справка
LU-разложение – представление матрицы A в виде произведения нижнетреугольной матрицы с единичной диагональю L и верхнетреугольной
матрицы U. |
|
Будем использовать следующие обозначения для элементов матриц: |
|
L = (lij ), U = (uij ), i, j =1...n , |
(1.6) |
|
23 |
причем диагональные элементы матрицы L: lii =1, i =1...n .
Расчет элементов матриц (1.6) может быть выполнен на основе приведенного ниже алгоритма.
Алгоритм – Вычисление элементов матриц L и U
|
1. |
u1j = a1j , |
j =1...n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
l |
j1 |
= |
a j1 |
, |
j = 2...n |
(u |
|
≠ 0) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
u11 |
|
11 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
uij |
= aij |
− ∑l jk ukj , |
j =i...n i = 2...n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
l ji |
= |
|
|
a ji − ∑l jk uki , j =i +1...n |
i = 2...n |
||||||||||
uii |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
||||
Таким |
|
|
|
|||||||||||||
образом, решение СЛАУ сводится к виду: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ux = y |
. |
(1.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ly = b |
|
|
|
|||
При вычислениях сначала решается второе уравнение данной системы, а затем первое.
1.3.2Порядок выполнения работы
1.В соответствии с выданным преподавателем вариантом задания реализовать LU-разложение для матрицы А.
Вариант 1 |
|
x1 + x2 + x3 − x4 = 2,0005 |
|
|
|||||
|
|
|
x1 − x2 − x3 + x4 = 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
2x |
+ x |
− x |
+ 2x |
= 9,12301 |
|
|
||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
3x + x + |
2x − x |
= 7 |
|
|
|||
Вариант 2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
−12,73x1 +37,45x2 − 26,05x3 −0,52x4 = 0,09 |
||||||||
|
|
−65,26x1 −104,13x2 +11,69x3 +32,57x4 = 0,16 |
|||||||
|
|
||||||||
|
−5,18x |
+ 67,52x |
−53,30x −19,30x = |
0,356231 |
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
−31,82x + |
35,24x |
+15,50x |
+ 23,36x |
= 2,23 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
24
Вариант 3 |
|
0,85x1 + 0,50x2 +1,41x3 + 0,43x4 =1,05 |
|||||||||||||||||
|
|
1,15x1 + 0,88x2 + 0,66x3 +1,07x4 = 0,10 |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,43x1 +1,50x2 + 0,46x3 +1,05x4 = 0,00003 |
||||||||||||||||||
|
|
0,13x |
|
+1,20x |
+1,45x |
+1,47x |
=1,38 |
||||||||||||
Вариант 4 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
−3,22x1 +11,08x2 −16,29x3 − 2,54x4 =1,08 |
||||||||||||||||||
|
|
− 22,63x1 +50,14x2 + 0,15x3 +13,79x4 = 2,27 |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
−10,41x |
|
|
+ |
59,91x |
|
− |
30,05x |
−9,09x = |
0,30007 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
−36,64x |
+ 74,51x |
−18,71x |
|
+12,21x |
= 0,24 |
||||||||||||
Вариант 5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
1,91x1 +1,83x2 + 0,70x3 + 0,10x4 = 2,14 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,68x1 +1,15x2 +1,46x3 +1,88x4 = 0,861208 |
||||||||||||||||||
|
|
0,23x |
+ 0,30x |
+ 0,26x |
|
+ 2,17x |
= 2,47 |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2,48x |
|
+ 2,15x |
+1,35x |
+ 0,35x |
= 2,35 |
||||||||||||
Вариант 6 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
−1,38x1 +5,21x2 −7,29x3 + 7,77x4 = 0,43 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0,30x1 +1,73x2 −3,41x3 +3,65x4 = 0,2540025 |
||||||||||||||||||
|
|
−1,26x |
|
+3,64x |
− 2,08x |
|
+ 6,36x |
=1,19 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
||
|
|
−1,81x |
|
+ 4,19x |
− 4,58x |
|
+3,75x = 0,01 |
||||||||||||
Вариант 7 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
||
−2,11x1 +5,56x2 −4,53x3 +0,32x4 = 0,42 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,57x1 +1,62x2 −3,11x3 −0,77x4 = 0,10047 |
||||||||||||||||||
|
|
−9,36x |
|
|
+8,61x |
|
+5,10x |
|
+7,63x |
= 0,47 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
|
|
−5,23x |
|
+11,75x |
2 |
−1,16x |
|
|
+5,76x |
|
= 0,40 |
||||||||
Вариант 8 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|||||
|
1,83x1 + 4,34x2 − 7,49x3 +11,07x4 =1,49 |
||||||||||||||||||
|
|
− 2,15x1 + 4,94x2 −3,89x3 + 6,48x4 = 2,86 |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
−0,50x |
|
+1,94x |
−3,32x |
+ 4,33x |
= 0,2742 |
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
− 4,27x |
|
|
+8,45x |
|
|
−7,71x |
|
|
+12,30x |
=1,94 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
||||||
2.Реализовать в Octave алгоритм нахождения матриц L и U и последующее решение СЛАУ согласно (1.7). Для проверки корректности реализованного алгоритма применить результат предыдущего пункта.
3.Сравнить результаты решения СЛАУ, полученные методом Гаусса (из предыдущей работы) и методом LU-разложения.
4.Реализовать обращение матрицы с помощью полученного LUразложения.
25