7005

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

n 2n 1 (n 1)!

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

2.15 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Тогда lim

an 1

= lim

(2n 5)

72n 1 (5n2 4)

2n 1 (5n 10n 1)

(2n 3)

n 7

lim

2n 5

lim

5n2 4

lim

72n 1

= 1 1

n 2n 3 n

5n 10n

1 n 72n 1

q 491 1 ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 8. Выяснить сходимость ряда

n 1

Решение. По признаку Даламбера.

n n

(n 1)n 1

, a

n 1

Тогда lim

n 1

2n n!

2n 1 (n 1)!

lim		2n			n!

n 2n 1 (n					1)!
1				1	n
	lim		1		=

2 n				n

(n 1)n 1

(n 1)(n 1)n

n 1

lim

2 n n 1

2 n

1, ряд расходится.

Ответ. Расходится.


	n		n 2


Задача 9. Выяснить сходимость ряда		.

n 1	n 1

Решение. Здесь можно действовать по радикальному признаку Коши.

		n	n2
lim	n

n	n 1

/ n

n 1

= lim

lim

n n 1

n 1

	1		используя 2-й замечательный предел, получаем	1	1.
n 1		n	используя 2-й замечательный предел, получаем	e	1.
n 1		n		e
lim
lim
n	n

q 1e 1, ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

121

2n 1

Задача 10. Выяснить сходимость ряда ( 1)

n 1

3n 1

Решение. По радикальному признаку Коши:

2n 1

n 2n 1

n 2

lim n

= lim

3n 1

n 3n 1

3n 1

Здесь даже не надо использовать 2-й замеч. предел, так как нет неопределѐнности: и числитель, и знаменатель стремятся каждый к конечному числу.


	1
	n 2
		n
lim

n	3n 1

	1	2	1
=		=		< 1, абсолютно сходится.

	3		9

Так как мы изначально рассматривали модуль, то сходимость абсолютная.

Ответ. Сходится абсолютно.

		.
Задача 11. Выяснить сходимость ряда cos		.
	n 1	n
	n 1
Решение. Заметим, что lim	0 , тогда lim cos			cos0 1. Таким
n n	n		n

образом, lim an 1, то есть слагаемые не уменьшаются и не стремятся

к нулю, тогда по необходимому признаку ряд расходится. Не выполнено необходимое условие сходимости (слагаемые должны уменьшаться к 0 при росте n).

Ответ. Расходится.

Поиск области сходимости функциональных рядов.

Задача 12. Найти область сходимости ряда 2 .

n 1 n

Решение. По признаку Даламбера, надо найти отношение модуля следующего слагаемого к модулю предыдущего, причѐм здесь мы это делаем для произвольного параметра x .

122

n 1

lim

n (n 1)

n n2

2n 1

Теперь надо решить неравенство q(x)

1. Если

1, то

x ( 1,1) есть область гарантированной абсолютной сходимости. За

пределами этого интервала расходимость. А вот поведение ряда в граничных точках 1 и 1 надо исследовать вручную, подставляя каждую точку и получая числовой ряд.

		1
При x 1:			, такой ряд сходится, так как степень 2, больше 1,
		2
	n 1 n

(про это был факт в лекциях).

			n
При x 1:		( 1)		, такой ряд тем более сходится, причѐм
При x 1:				, такой ряд тем более сходится, причѐм
	n 1 n2
					1
абсолютно, так как по модулю было бы					1	, а этот ряд сходится
абсолютно, так как по модулю было бы					2	, а этот ряд сходится

n 1 n

(только что заметили, на 1 строку выше).

Таким образом, точки 1 и 1 здесь тоже войдут в область сходимости, и ответ: ряд абсолютно сходится в [-1,1]. Ответ. Сходится абсолютно в [-1,1].

Задача 13. Найти область сходимости ряда

n 1

Решение. По признаку Коши, lim

x 2

Замечание: есть и 2-й способ: по признаку Даламбера.

lim

3n 1

x 2

1 , то есть в итоге всѐ равно пришли к

x 2

n 1

x 2

тому же неравенству.

123

x 2

3 , что равносильно:

x 5

или x 1, т.е. x , 1 5, .

Для граничных точек получаются числовые ряды

1 , либо

( 1)n ,

n 1

для которых нет сходимости (по необходимому признаку, т.к.

слагаемые не стремятся к 0).

, 1 5, .

Ответ. Ряд абсолютно сходится в

ПРАКТИКА № 19

3x 2)

Задача 1. Найти область сходимости ряда

n 1

Решение. По радикальному признаку Коши,

lim n

x 2 3x 2

x2 3x 2

1 , тогда

x2 3x 2

2 , аналогичное неравенство

можно получить и по признаку Даламбера:

lim

x2 3x 2

n 1

x2 3x 2

2 .

2n 1

x2 3x 2

Это равносильно выполнению одновременно двух неравенств:

2 x2 3x 2 2 .

Для правого неравенства, получаем x2 3x 0 , корни 0, 3 , оно верно для x 3,0 .

Для левого неравенства, x2 3x 4 0 , но это выполняется на всей числовой прямой, т.к. корней нет, а ветви этой параболы направлены вверх. Верно для x , . Пересечением этих двух множеств

является интервал 3,0 .

Также легко заметить, что в граничных точках ряд принимает вид

124

1, расходится.

n 1

3,0 .

Ответ. абсолютно сходится в

Задача 2.

Найти область сходимости ряда (ln x)n .

n 1

Решение. По признаку Коши,

lim n

ln x

n =

ln x

1 , тогда

1 ln x 1. Из правого неравенства следует eln x

e1 ,

т.е. x e .

Из левого неравенства, ln x 1, eln x e 1 ,

Проверяем граничные точки.

(ln e)n

1 расходится,

n 1

( 1)

, тоже расходится.

n 1

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале

, e

Задача 3.

Найти область сходимости ряда

(x 1)2n 9n .

n 1

2 = 9(x 1)2 1

Решение.

lim n

x 1

= 9

x 1

(x 1)2

x 1

n 1

В обеих граничных точках получим 9

1 , расходится.

n 1

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале

(x 10)n

Задача 4. Найти область сходимости ряда .

n 1 7n

125

Решение. lim n

x 10

7 x 10 7

3 x 17 x 3,17 .

В граничных точках получим 1

( 1)n , эти ряды расходятся.

n 1

3,17 .

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале

Степенные ряды - поиск радиуса сходимости.

Вспомним формулы из лекций: R lim

| an

R lim

n | an 1

n n | an |

Задача 5.

Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение. Запишем коэффициенты с номерами n и n+1.

, an 1

Тогда R lim

1 (n 1)2n 1

n2n

1)2n 1

n n2n

2 lim

n 1

= 2.

Ответ. R 2 .

Задача 6. Найти радиус сходимости ряда

n(n 1)

n 1

Решение.

, an 1

. Тогда R lim

(n 1)n

n(n 1)

(n 1)n

n n(n 1)

lim

n n2

Ответ.

R 1.

Задача 7.

Найти радиус сходимости ряда

(2n 1)3

n 1

126

Решение.

an 1

(2n

1)3n

(2n 1)3n 1

R lim

(2n 1)3n 1

= 3 lim

2n 1

= 3.

1)3n

n (2n

Ответ. R 3 .

(x 1)n

Задача 8. Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение.

, a

, R

lim

4n 1

4 .

n 1

4n 1

n 4n

Ответ. R 4 .

10 n xn

Задача 9.

Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение.

10 n

, an 1

10n 1

, тогда R

lim

10 n

(n 1)!

10 n 1

(n 1)!

lim

n 1

= .

Ответ. R , то есть сходимость на всей числовой оси.

32n xn

Задача 11. Найти радиус сходимости ряда

n 1

Решение.

32n

, a

32n 1

. Тогда R lim

32n

n 1

n 32n 1

n 1

32n

0 .

lim

= 1 lim

lim

= lim

32n2

n 32n 2

n 32n 32n

n 32n

Ответ. R 0, т.е. сходимость только в точке x 0.

Поиск суммы степенного ряда.

(n 1)x n

Задача 11. Найти сумму ряда

n 0 3n

127

(n 1)x

Решение. Если S(x)

то первообразная от S(x) равна

n 0

n 1

= x

...

а это уже геометрическая прогрессия со

n 0

знаменателем

, еѐ сумма равна

. После

3 x

3(3 x) ( 1)3x

дифференцирования получим S(x)

3 x

x)2

. Ответ. S(x) =

(3 x) 2

Задача 12. Найти сумму ряда (2n 1)x2n .

n 0

Решение. Проинтегрируем почленно каждое слагаемое:

S(x)dx (2n 1)x2n dx = x 2n 1 = x x3

x5 x7 ...

n 0

Это геометрическая прогрессия, еѐ сумма

. Тогда S(x) =

1 x 2

1(1 x2 ) ( 2x)x

1 x2 2x2

1 x2

(1 x2 )2

1 x2

Ответ.

S(x) =

(1 x2 )2

Задача 13. Найти сумму ряда

(n 1)(n 2)xn .

n 0

Решение. Эта задача решается в 2 шага. Видно, что только 2-я первообразная здесь не будет иметь коэффициентов, так, чтобы можно было использовать прогрессию.

(n 2) (n 1)x n (n 2)x n 1 x n 2 .

128

Найдѐм xn 2

= x2 x3

... =

n 0

x 2

Тогда S(x) =

. Найдѐм поочерѐдно 2 производных.

1 x

2x(1

x) ( 1)x2

2x 2x2 x2

2x x2

(1 x)

1 x

2x x

(2 2x)(1 x)2 2(1 x)( 1)(2x x2 )

сократим на (1-x)

(1 x)

(2 2x)(1 x) 2( 1)(2x x2 )

2(1 x)2

2(2x x2 )

(1 x)3

x)3

2(1 2x x2 ) 4x 2x2

2 4x 2x2

4x 2x2

(1 x)3

x)3

Ответ.

S(x) =

(1 x)3

Задача 14. Найти сумму ряда ( 1)n (n 1)xn .

n 1

Решение.

S(x)dx ( 1)n xn 1

= x2

...

( x)

n 1

x 2

. Знакочередование приводит к тому, что в знаменателе

1 x

появилась сумма, а не разность.

2x(1 x)

2x(1 x) x2

S(x) =

1 x

(1 x)

2x 2x2

2x x

Ответ.

S(x) =

x 2

x)2

(1 x)

(1 x)2

129

ПРАКТИКА № 20 Первые 45 минут:

Повторение и контрольная работа на 30 минут (3 задачи).

1.формула Муавра.

2.Числовые ряды.

3.Функциональные ряды.

Вторые 45 минут:

Задача 1. Найти сумму ряда nxn .

n 1

Решение. Здесь степень не соответствует коэффициенту, то есть прямое интегрирование или дифференцирование не избавит от

наличия коэффициента. Производная равна n2 xn 1 а первообразная

n	xn 1	. Но вот если бы степень была (n-1) то всѐ бы получилось.

n 1

Так вот, мы можем сделать сдвиг степени, и получить более удобное выражение, если вынести x за скобку, то есть за знак ряда.


nxn	= x 2x2 3x3 ... = x 1 2x 3x 2 ... = x nxn 1 .
n 1	n 1

Теперь обозначим новое выражение через S1 и для него уже задача вполне решаема тем методом, который изучили ранее.

S(x) xS1 (x) , где S1 (x) nxn 1 . Первообразная от S1 это

n 1

nxn 1dx = xn

= x x2

... =

n 1

1(1 x) ( 1)x

S1 (x)

. Вспомним про то, что

(1 x)

x)2

мы отделили одну степень, чтобы улучшить функцию. А сейчас мы нашли S1 (x) . При этом S(x) xS1 (x) . Тогда ответ S(x) = (1 xx)2 .

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.02.2023625.95 Кб06899.pdf
#
13.02.202149.22 Кб2690.pdf
#
05.02.2023505.3 Кб06905.pdf
#
05.02.2023475.83 Кб06990.pdf
#
13.02.2021815.65 Кб06OMkzBKrZ3.pdf
#
05.02.20232.15 Mб07005.pdf
#
05.02.2023618.28 Кб07014.pdf
#
05.02.2023225.21 Кб07046.pdf
#
05.02.20231.01 Mб47067.pdf
#
05.02.2023266.87 Кб17089.pdf
#
05.02.2023288.25 Кб07090.pdf