6044

Площадь поверхности (с помощью двойного интеграла).

Задача 4. Найти площадь поверхности z x 2

y 2 (z 1) .

Физический смысл задачи: сколько металла потребуется на

изготовление параболической антенны.

dxdy где D

Решение.

Найдём интеграл S

1 f x 2 f y 2

D

окружность радиуса 1. Здесь

f x 2x ,

f y 2 y .

S

1 4x2

4 y 2 dxdy , перейдём к полярным координатам.

D

2 1

1

2 1

2

2

1 4

d

1 4 8 d

d =

8

d =

0

0

0

0

1

2

1

1 2

1

1

2

2

2

2

1 4

d (1 4

1 4

2

d (1 4

8

)

d =

) d =

0

0

8 0

0

1

2

2

3

1

1 2

2

3

3

2

1 4 2

2

d

=

5 2

1

2 d

=

1

5 3

1

d =

8

0

3

0

8 3

0

12

0

1

3

5 5 1

.

5

1

2

=

6

12

x2 y 2 1 и двумя плоскостями

z 0, z x в цилиндрических

координатах.

фигуры, требуется

,

,

[0,1] . Определим теперь

2

2

1

1 x2

1 x2 y 2

так: dx

dy

x 2 y 2

z 2 dz . Чтобы избежать таких

0

0

0

Если у нас часть шара только в 1 октанте, то 0,

, 0,

.

2

2

При этом радиус равен 1, так что очевидно, 0,1 .

1

2

1

.

.

=

d =

=

Ответ

4 2

4

0

8

8

Задача 7.

Решить уравнение y 5y .

Решение.

Запишем

dy

5 y . Теперь домножим на dx, разделим на

y .

dx

dy

5dx .

Особое

решение

y 0 .

Далее,

dy

5dx

y

y

ln

y

5x C

y

eC1 e5x

= Сe5x (где C > 0 так как С eC1 ). Но

1

нам надо

выразить

не

y

,

а

само y ,

тогда

и ограничение

на

уравнения, что и является ответом:

y Ce5 x , где C R .

Задача 8.

Решить уравнение

y xy .

Решение.

y xy

dy

xy

dy

xdx

dy

xdx

dx

y

y

ln

y

x 2

C

y

eC1 e x2

2 y Ce x2 2 .

2

1

x2

Ответ: y Ce

2 .

x2

x2

Проверка. Если y Ce 2 , то

y Cxe

2 , действительно, производная

имеет лишний множитель x по сравнению с исходной функцией, и

подходит в качестве решения уравнения y xy .

Задача 9.

Решить уравнение xyy 1 x 2 .

2

dy

2

2

Решение.

xyy

1 x

xy dx 1 x

xydy (1 x

)dx

2Cx

2x

Проверка: y

Cx 2

, тогда:

2

ln(Cx 2 ) x 2

2Cx

2x

Cx 2

1

2

xyy x ln(Cx

2

) x

2

x

x

=

x

= 1

.

2

ln(Cx 2 ) x2

x

Задача 10. Решить уравнение xy y 2

y , и найти частное решение

задачи Коши:

y(2) 1.

2

dy

2

dy

dx

Решение. xy

y

y x dx y

y y 2

y

x .

дроби, а именно

1

1

=

A

B

. При приведении к

y 2 y

y( y 1)

y y 1

общему знаменателю, получается

Ay A By

0 y 1

, что

y( y 1)

y( y 1)

приводит к системе уравнений

A B 0

, тогда A 1, B 1.

A 1

dy

dx

1

1

dx

2

y y

x

y

y 1

dy

x

ln

y 1

ln

y

ln

x

ln C

ln

y 1

ln C

x

y 1

Cx

1

1

Cx

1

1 Cx , и

y

y

y

y

ответ: y

1

. Это «общее решение», то есть бесконечный набор

1 Cx

решений. Теперь найдём частное решение. Применим условие

y(2) 1, то есть подставим x 2, y 1 и сможем найти С.

1

1

1 2C 1 C 1.

y

1

1 Cx

1 2C

1

Тогда частное решение: y

.

1 x

Однородные уравнения

Задача 11.

Решить уравнение y

y x

.

x

Решение.

Уравнение можно рассматривать как «однородное», то есть

y

y

вида y f

. Оно может быть записано в виде y

1 .

x

x

y

Сделаем замену u x , при этом y ux , а значит, y

u xu

. Тогда

уравнение приводится к виду u xu u 1, то есть xu 1

x

du

1 du

dx

u ln

x

C .

dx

x

y

ln

C y x ln

Cx .

надо сделать обратную замену,

x

x

x

Ответ. y x ln

x

Cx .

Линейные уравнения 1 порядка.

Линейное однородное:

Задача 12.

Решить уравнение (1 x2 ) y 2xy 0 .

Решение.

Линейное однородное фактически является уравнением с

2

2 dy

dy

2x

(1 x ) y

2xy