Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6044

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Докажем это:

lim

= lim

=1.

x3 1

x3 1 x3

x3 1

Поэтому сходимость интеграла

dx эквивалентна сходимости

x3 1

интеграла

dx . Обозначим его (III). А про этот интеграл уже

известно, что он сходится, ведь здесь классический случай,

рассмотренный в лекциях, а именно

dx где степень a

Итак, (III) сходится, что эквивалентно тому, что (II) сходится, а (II) > (I), поэтому исходный интеграл (I) тоже сходится.

Двойные интегралы в декартовых координатах. Вычисление.

Задача 7.		Вычислить двойной интеграл xydxdy , где D
				D
прямоугольник, x [0,1], y [0,2] .
Решение. Есть эквивалентные формы записи в таком случае:
1	2	1	2
dx xydy
dx xydy		=	xydy dx . Итак, сначала во внутреннем цикле найдём
0	0	0	0

1	y	2	2		1

					= 2x dx =		2	1
первообразную по переменной y : x				dx		x		0	= 1.
	2
0			0		0

Замечание. Если изменили бы порядок интегрирования, то есть внутреннее действие по x а внешнее по y то по объёму вычислений было бы то же самое.

2 1	2	x	2	1		2	y			y	2	2


xydx dy	= y				dy	=		dy	=				= 1.
0 0	0	2		0		0	2			4		0

Задача 8. Вычислить двойной интеграл ye xy dxdy , где D квадрат,

						D
x [0,1], y [0,1] .
Решение. У			нас	есть	2 варианта:	сделать внешний цикл по x , а
						1 1
							xy
внутренний			по	y ,	то есть	ye	xy	dy dx , либо наоборот,
внутренний			по	y ,	то есть	ye		dy dx , либо наоборот,
						0 0
1 1
	xy
ye	xy	dx dy . Несмотря на то, что область квадрат, и казалось бы,
ye		dx dy . Несмотря на то, что область квадрат, и казалось бы,
0 0

всё равно, каков порядок интегрирования, но если сделать внутренний цикл по y то в обоих множителях есть переменная интегрирования, то есть мы сразу столкнёмся с интегрированием по частям, а вот если внутренний цикл по x , то только в одном множителе есть переменная, по которой интегрируем. Более того, y служит коэффициентом при x в степени экспоненты, то есть надо будет разделить на y , и он сократится, останется вообще одна экспонента!

Этот путь более рациональный и предпочтительно здесь сделать именно так.

1	1				1	1				1		1		1
										1

			xy						xy				xy
		ye		dx dy	= y		y	e			dy	= e		0
0		0			0		y			0		0
0		0			0					0		0
1
e y 1 dy = e y y						1 = e1 e0						(1 0)
0						0
0

	1	e				dy =
	=		y	e	0
dy	=			e
	0
	0
= e 2 .		Ответ:				e 2 .

Замечание. А если xe xy dxdy то наоборот, надо сделать внутренний

цикл по y , а внешний по x .

Задача 9. Вычислить интеграл (x y)dxdy по треугольнику D,

вершины которого: (0,0),(1,0),(0,1).

Решение. Строение треугольника понятно (см. чертёж). Наклонная линия задаётся уравнением y 1 x .

1	1 x	1		y	2	1 x
1	1 x	1			2	1 x
Вычисление: dx (x y)dy			1 x
			1 x
		= xy	0
		= xy	0	2
0	0	0		2		0
		0				0

dx =

1						(1 x)				2			1	2	1 2x x 2		1	1	x 2

x(1 x)								2			dx = x x				2	dx =		2	2	dx	=
0								2				0			2		0	2	2
x	1		x3	1	=		1		1			1	.


						2			6			3
2	0	6		0
2	0	6

Задача 10. Вычислить интеграл (3x 2 y)dxdy по треугольнику D,

вершины которого: (0,0),(1,1),(1,2).

Решение. Итак, по чертежу видно, что x [0,1] , а в свою очередь при каждой фиксированной абсциссе, y [x,2x].

	1	2 x	1				2 x		2		2 x
	1	2 x	1
(3x 2 y)dxdy = dx (3x 2 y)dy			=					y						=
(3x 2 y)dxdy = dx (3x 2 y)dy			=	3xy			x	y					dx	=
D	0	x	0								x
D	0	x	0
1		1			3	1
1		1			3	1
6x 2 3x 2 4x 2 x2		dx = 6x 2 dx	= 6	x		= 2.
6x 2 3x 2 4x 2 x2		dx = 6x 2 dx	= 6			= 2.
0		0		3		0
0		0				0

								1		3		x
Задача 11. Изменить порядок интегрирования:								dx f (x, y)dy .
								0			x2

Решение. Сделаем чертёж, также выразим в каждом уравнении через обратную функцию.


Уравнение y x 2	переходит в x	y , а y 3		x в x y3 .

Нижняя граница здесь фактически становится правой, а верхняя граница исполняет роль левой. Тогда после смены порядка, интеграл

1		y
будет в виде: dy f (x, y)dx .
0	y2

1	x 2	0	x2
Задача 12. Изменить порядок интегрирования: dx		fdy dx fdy .
2	0	1	0

Решение. Построим чертёж.

Перепишем через обратные функции. Уравнение y x 2

	y x 2
записывается в виде x y 2 , а	y x 2	в виде x y .

1 y

Тогда ответ такой: dy f dx .

0 y 2

Замечание. Перед корнем квадратным именно минус, потому что

x 0, то есть именно отрицательная ветвь корня. Если по ошибке не заметить этого и взять x y , то получится продление до правой ветви, и совсем другая область, а именно:

Тройной интеграл в декартовых координатах.
Задача 13.
Вычислить							(x yz)dxdydz															по кубу x, y, z [0,1] .
								D
				1			1				1
Решение. dx dy (x yz)dz . Здесь уже 3 а не 2 вложенных цикла.
				0			0				0
																								1		1 1
																											(x
Это также можно записать в виде:																											(x					yz)dz dy					dx .
																								0		0	0
Сначала вычислим внутренний интеграл по z и применим формулу
Ньютона-Лейбница именно к переменной z , остальные при этом
вычислении остаются в роли параметров, вместо них ничего не
подставляется.
1 1								2	1									1		1
1 1								2	1									1		1
		1					z																		y
xz		0	y								dy		dx =							x						dy			dx .
xz		0					2				dy		dx =							x				2					dx .
							2											0						2
0 0									0											0
0 0									0											0
Теперь первообразная по y и формула Ньютона-Лейбница
применяется в этой скобке именно к y .
1			y	2		1					1							1
1				2		1					1
	1
	1
xy	0						dx				= x								dx . А теперь уже обычный определённый
xy	0						dx				= x								dx . А теперь уже обычный определённый
0			4			0					0							4					1
			4															4

				1						1					x2						x					1 1 3

интеграл.					x							dx =												=								.
				0						4							2 4						0			2 4 4
																														1				x		xy
Задача 14. Вычислить тройной интеграл																														dx dy (x3 y3 z)dz .
																														0				0		0
				1				x				xy										1			x			3		y	3	z	2		xy		1	x	x	5	y	5
				1				x				xy										1			x			3			3		2		xy		1	x		5		5
				dx dy (x										3		3										x
Решение.															y		z)dz = dx																			dy = dx							dy	=
Решение.															y		z)dz = dx													2						dy = dx				2			dy	=
				0				0			0											0		0						2					0		0	0		2
																						0		0											0		0	0

1		5	y	6	x	1	x	11				x	12	1		1
1		5		6	x	1		11					12	1
	x					dx =			dx	=					=		.

	12						12				144					144
0					0	0								0
0					0	0								0

Задача 15. Найти объём тела, ограниченного поверхностями:

y x, y x 2 , z 0, z x 2 y 2 .

Решение. Метод построения 3-мерного чертежа: сначала выбрать все те уравнения, которые не содержат z , и построить плоскую проекцию

(вид сверху) этой фигуры. Строим графики y x, y x 2 .

Теперь видно,	что x [0,1] , а при каждом фиксированном x ,
y [x 2 , x] .	y x, y x 2 в плоскости это - уравнения кривых, но
Вообще,	y x, y x 2 в плоскости это - уравнения кривых, но

для пространства это уравнения поверхностей. Отсутствие z означает, что z любое, то есть к прямой и параболе присоединены вертикальные образующие. Представьте, что один вертикально поставленный лист ровный, а второй изогнут по параболе. Внутри такой узкой «шахты» как раз и располагается искомая фигура.

А теперь определим границы по высоте, чтобы окончательно построить чертёж. Для каждой точки, взятой на плоскости в том основании, которое показано на предыдущем чертеже, высота

меняется	от z 0 до	z x 2 y 2 , эти	линии отмечены зелёным
цветом.	Эллиптический	параболоид	пересекается с каждой из

указанных ранее вертикальных стенок, пересечения показаны красным цветом.

Самая верхняя точка (1,1,2). Итак, покажем получившийся чертёж этой фигуры:

Так как вычисляется объём, то надо полагать																																			f 1 .
1	x x2 y2																1	x													1			x
																						x	2 y2														2	y		2
																						x	2 y2														2			2
			1dz					dy dx =												z		0			dy			dx =						x							dy dx =
			1dz					dy dx =														0												x
		2																	2																2
0 x			0														0 x														0 x
1											3			x					1		3									3		6						1	4						6
1											3			x					1											3		6						1							6
	2				x				y																	4			x		x										3		4	x
					x
0		x y					2									dx =					x			x									dx =								x x					dx
					x		2					3							0									3			3							0 3						3
					x							3		x2					0									3			3							0 3						3

x4						x5				x			7		1		1			1				1			35 21 5										9				3
x4						x5				x			7		1		1			1				1			35 21 5										9				3
=															=										=									=					=			.
=															=										=									=					=			.
		3					5										3			5			21					105								105					35
		3					5			21					0		3			5			21					105								105					35
Ответ:				V					3			.
Ответ:				V				35				.
								35
																																														58

445 ПРАКТИКА № 7	04.04.2016
Двойные интегралы в полярных координатах.
Задача 1. Вычислить	x9 ydxdy , где D - четверть круга радиуса 1 (в
	D
первой координатной четверти).
Решение.

Заменим x cos , y sin , а также умножим на якобиан .

2 1												2	1
				9											11	9
( cos)					( sin ) d					d		=				cos	sin d d =
0 0												0		0
2							12	1		1		2
2							12	1				2
		9										9
	cos		sin						d =		cos		sin d
	cos		sin			12			d =	12	cos		sin d
0						12		0		12	0
0								0			0

Дальше остаётся интеграл от одной переменной, там можно применять обычный способ, подведение под знак дифференциала.

1		2			1	2
1	cos9 sin d =				1	cos9 ( sin d ) =
12	cos9 sin d =			12		cos9 ( sin d ) =
12	0			12		0
	0					0

	1	2				1 1		2		1				1
	1	cos9	d (cos ) =			1 1	cos10	2	=	1	(0 1)	=		1	.
		cos9	d (cos ) =				cos10		=		(0 1)	=			.
12		0				12 10		0		120			120
		0						0

Задача 2. Вычислить интеграл xdxdy по полукругу радиуса 1 в

правой полуплоскости.

		2			1						2		1
														2
Решение.						( cos ) d d =							(	2	cos)d d =
Решение.				2		( cos ) d d =							(		cos)d d =
				2	0							2	0

2			3		1			1	2			1					1			2
2			3		1				2
	cos					d	=			cos d	=		sin		2	=		(1	( 1)) =		.
															2

		3						3				3				2	3			3
		3			0			3				3				2	3			3
2					0					2

Задача 3. Записать в полярных координатах двойной интеграл по треугольнику с вершинами (0,0), (1,0), (1,1).

Решение.

1	x

В декартовых координатах интеграл был бы в виде:		f (x, y)dy dx .
0		0

Границы изменения угла от 0 до 45 градусов. Определим верхнюю границу роста радиуса в зависимости от угла поворота. Для этого нужно задать линию x 1 в полярных координатах. Подставим выражение x через полярные координаты в уравнение этой линии,

получим cos 1 , тогда 1 . cos

	1
4	cos
Тогда:	f ( cos, sin )	d d .
0	0

Как видим, полярные координаты можно применять далеко не только в случае круговых областей, однако большого преимущества здесь это уже не даёт, пределы внутреннего интеграла здесь тоже зависят от внешнего.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021280.15 Кб16036.pdf
#
05.02.2023540.2 Кб06038.pdf
#
05.02.2023617.72 Кб16040.pdf
#
05.02.2023540.44 Кб06041.pdf
#
05.02.2023305.26 Кб06042.pdf
#
05.02.20231.2 Mб16044.pdf
#
13.02.2021517.85 Кб06045.pdf
#
13.02.2021177.86 Кб06060.pdf
#
13.02.2021938.68 Кб26077.PDF
#
13.02.2021344.02 Кб06079.pdf
#
05.02.2023757.12 Кб266082.pdf