6044

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тогда t 1 z 2 , t

z 2 1 , dt 2zdz , соответственно:

= z2(z 2 1)2zdz

= 4 (z 4 z 2 )dz .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Но внешний корень ещё не устранили, поэтому сделаем 2-ю замену:

После второй замены, уже получили интеграл от степенных функций!

4 (z 4 z 2 )dz =

z3 С .

Сделаем обратную замену:

3 С

3 С =

t 1

3 С .

1 x

Задача 4.

Вычислить интеграл

dx .

1 x

dx обозначим t

Решение.

В интеграле

x , при этом

1 x

dx 2tdt . При этом, правда, второй корень усложняется:

t 2

dx =

2tdt = 2

dt .

1 t 2

Необходима 2-я замена, чтобы устранить корень

a2 t 2 .

У нас здесь a 1 . Вводим замену t sin z . Тогда

1 t 2 cosz .

Итак,

t 2

dt =

sin 2

cos zdz = 2 sin 2 zdz .

1 t 2

cos z

Теперь уже просто по формуле понижения степени.

2 sin 2 zdz			= 2	1 cos2z		dz =	1 cos2z dz =	z	1	sin 2z C =
					2				2

z	1	2sin z cosz C			= z sin z cosz C .
	2

Обратные замены: сначала обращаем обратно вторую замену, которыу сделали последней: если t sin z то arcsint t1 t 2 C .

Далее, обращаем 1-ю замену: t
Далее, обращаем 1-ю замену: t															x , тогда в итоге:
Ответ. arcsin
Ответ. arcsin					x				x 1 x C .
					1																=
Проверка.					1					x	x	1 x						x	1 x

				1			2
				1		x	2
1		1			1								1
1		1			1			1 x			x		1			=


	1 x 2													x
	1 x 2		x 2 x								2 1			x
1		1										1			2x
1		1		1 (1 x) x =								1			2x		=			x		.
				1 (1 x) x =													=					.
	1 x 2		x								1 x 2 x								1 x

Интегрирование тригонометрических функций:

Задача 5. Вычислить интеграл 2 sin x dx . 1 cosx

Решение. Функция не обладает свойствами чётности или нечётности, то есть, сменив знак синуса или косинуса, мы не получим, что знак минус будет у всей дроби. Поэтому применяем универсальную

тригонометрическую подстановку:

t tg

. Напомним, что при

этом

x 2arctgt ,

2dt

, sin x

, cos x

1 t 2

t 2

1 t 2

Итак, сделаем замену:

2 2t 2t 2

t 2

1 t 2

2t 2 2t 2

dx =

1 t

t 1

1 t 2

2 1

dx = 2t

dx =

ln(t 2

1) C .

Теперь сделаем обратную замену:

		2	x
ln 1	tg			C .
ln 1	tg			C .
			2
			2

Задача 6. Вычислить интеграл cos3 xdx .

Решение. Видим, что здесь функция нечётная относительно косинуса, то есть ( cos x)3 cos3 x . Поэтому применим замену t sin x .

В этом случае cosx

1 t 2 ,

x arcsint , dx

dt .

1 t 2

cos3 xdx = 1 t 2

dt . Нечётная степень этого корня

1 t 2

сократится с одним дополнительным корнем, который появился при пересчёте дифференциала, и станет чётная степень корня квадратного.

	3	1	dt =		2	1 t 2 dt .
1 t 2				1 t 2
					dt =

		1 t 2

Знак модуля здесь вовсе не нужен, ведь t sin x с областью значений [ 1,1] , так что заведомо выполняется 1 t 2 0 .

1 t 2 dt	= t	1	t 3	C	= sin x	1		sin 3	x C .

		3				3
						1
Задача 7. Вычислить интеграл									dx	.
							cos3 x

Решение. Здесь, как и в прошлом примере, функция нечётная относительно косинуса, замена t sin x ,

			1
cosx	1 t 2 ,	x arcsint , dx	1	dt .


			1 t 2
			1 t 2

Однако в этом примере квадратные корни не сокращаются, а наоборот, умножаются, ведь косинус теперь не в числителе, а в

знаменателе:	1		1			dt .

		3
		3		1 t 2
1	t 2			1 t 2
Но всё равно, будет чётная степень корня:							1		dt .

								4
							t 2	4
					1		t 2

1					1		=	1
Итак,			dt , что равно			dt			dt .
Итак,	1 t 2	2	dt , что равно	t 2	1 2	dt		(t 1)2 (t 1)2	dt .

Теперь мы можем воспользоваться тем разложением, которое получали для такого случая в теме «рациональные дроби» на прошлой практике, см. задачу где оба корня знаменателя кратные.

Курс специально построен так, чтобы использовать некоторые коэффициенты из старых примеров и не искать их здесь повторно.

Разложение было такое:	A		B	C		D	.
	t		(t 1)2	t		(t 1)2
		1			1

После приведения к общему знаменателю и решения системы

уравнений, там получалось A																						1	, B						1	,	C			1	,		D			1	.
уравнений, там получалось A																					4		, B					4		,	C		4		,		D			4	.
																					4							4					4							4
Итак,							1										1				1							1				1							1

				(t 1)			2	(t 1)				2 dt				=	4											1)			2	t 1						(t	1)		2	dt =
				(t 1)				(t 1)									4			t 1						(t		1)				t 1						(t	1)
	1			t 1						1	ln				t 1				1				C =
	1									1									1
=			ln
=			ln							1										t
		4						t													1				1 t
		4						t													1
1			1_ t		1	1								1			C =				1										1	2t						C .
1			1_ t		1	1								1							1										1	2t
	ln																						ln
4			1 t		4	t				1			t	1										4	1 t						4 t 2 1
Сделаем обратную замену.
1			1 sin x						1		sin x												1				1 sin x						1			sin x
1			1 sin x						1		sin x												1				1 sin x						1			sin x
	ln																	C			=				ln															C .
	ln		1 sin x															C			=				ln		1 sin x						2 cos2							C .
4			1 sin x						2 sin 2					x 1									4				1 sin x						2 cos2						x

Задача 8. Вычислить интеграл sin3 x cos8 xdx .

Решение. Здесь нечётная степень синуса, применяем замену t cos x .

Тогда sin3 x cos8 xdx = 1 t 2

= 1

t 8

t 2

t 8 dt =

1 t 2

(1 t 2 )t8dt = (t10 t8 )dt =

t11

t 9

cos11 x

cos9 x

C .

Задача 9. Вычислить интеграл

dx .

sin 2 x cos2 x

Решение. Здесь суммарная степень чётная, то есть, если сменить знак перед sin и cos, то знак сменится 2 раза, и останется «+». Поэтому надо применить замену t tgx . Тогда (см. в лекции):

dx					1		dt . sin x								t				,		cos x					1					.

			t 2		1
			t 2		1								1 t 2												1 t 2
																																					4
					1					dx =									1							1				dt =				1 t 2			4			1	dt =
	sin	2						2	x	dx =					t	2					1			t		2	1			dt =					t	2		t	2	1	dt =
	sin			x cos					x						t						1			t			1								t			t		1
																		2					2
	t 2	1 2												1 t 2				2				1 t 2	2
	t 2	1 2							1		dt	=			t 2		1			dt = dt							1			dt		= t	1		C .
	t		2			t		2			dt	=				t	2			dt = dt								t	2	dt		= t		t	C .
	t					t			1							t												t						t

После обратной замены получается ответ: tgx ctgx C .

Задача 10. Вычислить интеграл																																											1							dx .

																																							sin 3 x cos5 x
Решение. Здесь тоже суммарная степень чётная, замена t tgx .
dx									1				dt . sin x														t							,	cos x									1					.

						t 2			1
						t 2			1															1 t 2																			1 t 2
																																																								8
									1									dx =																1										1			dt			=			1 t 2			8			1	dt =
			sin		3									5				dx =									t	3										1				t	2				dt			=				t	3		t	2		dt =
			sin					x cos x																			t											1				t			1									t			t		1
																																	3							5
																									1 t 2								3			1 t 2				5
			t 2		1 4										1				dt =					t 2 1 3											dt =						t 6		3t 4 3t 2 1											dt
				t			3				t			2					dt =									t	3						dt =												t	3						dt
				t							t						1											t																			t
здесь мы воспользовались формулой (a b)3																																																		a3		3a 2b 3ab2								b3 .
				3	3t											1				1						1					4				3			2	3ln							1 1					C .
				3												1				1						1					4				3			2								1 1
		t												3								dt		=						t							t							t
		t												3							3	dt		=						t							t							t						2
																	t			t	3					4									2												2 t			2
																	t			t						4									2												2 t
После обратной замены получаем ответ:
	1		tg 4 x							3		tg 2 x 3ln											tgx							1		ctg 2 x C .
	1									3																				1

4									2																				2
4									2																				2

Иррациональности, содержащие сумму или разность квадратов, с применением тригонометрических замен.

Задача 11. Вычислить интеграл

dx .

x 2 9

Решение. В этом случае нужно замена (см. лекции) x

sin t

Приэтом корень квадратный исчезает:

sin 2 t

cost

= 3

x2 9 =

9 = 3

sin 2 t

sin t

cost

dx 3sin 1 t

= 3sin

2 t cos tdt

= 3

dt .

sin

2 t

Итак,

dx =

sin t

( 3)

cost

sin t 3cost

x 2

sin

= 3ctgt C .

sin

Для обратной замены, вспомним, что x

, то есть sin t

sin t

t arcsin

Тогда 3ctgt C = 3ctg arcsin

C . Получается, что

надо найти котангенс того угла, синус которого равен

. Подпишем

соответствующие стороны на чертеже прямоугольного треугольника. Третья сторона вычисляется по теореме Пифагора: x2 9 .

Тогда котангенс этого угла:

x 2 9

x2 9

C .

3ctg arcsin

C =

Задача 12. Вычислить интеграл

dx .

x 2

Решение. Здесь под корнем сумма квадратов, и при этом a2

25 ,

поэтому замена x 5tgt . Тогда dx

dt ,

cos t

25tg 2t 25 = 5 1 tg 2t

cost

5tgt

5sin t cost

cos2 t

x 2 25

cost

sin t

dt =

d (cost)

C =

C .

cost

cos

cos t

Сделаем обратную замену.

x 5tgt , то есть t arctg

Тогда

cost

cos arctg

Упростим композицию (косинус арктангенса) с помощью прямоугольного треугольника, как в прошлой задаче. Тангенс некоторого угла равен x5 , а требуется найти его косинус.

Подпишем 2 катета x и 5. Гипотенуза легко вычислится по теореме

Пифагора. Теперь видно, что косинус это . x2 25

			5
Итак,			5	C	=	x2 25 C .

			5
			5


	x	2	25
	x		25

Ответ: x2 25 C .

Основы темы «определённый интеграл»

cosx

Вычислить

Задача 13.

1 sin 2 x

cosx

d (sin x)

Решение.

dx =

sin

1 sin

здесь мы можем заменить sin x на t , но тогда нужно сделать пересчёт верхнего и нижнего пределов. Если x [0, 2] то t [sin(0), sin( 2)] ,

т.е. t [0,1] .

1		dt			10						.
				= arctg(t)		= arctg(1) arctg(0)	=		0	=

		t	2					4
	1		2								4
0	1										4
0

А можно было сначала вычислять интеграл как неопределённый, тогда надо было бы вернуться к исходной переменной x (то есть сделать обратную замену), но пределы можно не пересчитывать.

	d (sin x)				=	dt		= arctg(t) C = arctg(sin x) C

1		sin	2	x		1 t	2

arctg(sin x) 0 2 = arctg sin 2 arctg sin 0 = arctg(1) arctg(0) = 4 .

Впрочем, как видно, от способа не зависит, получается один и тот же ответ 4 .

Домашнее задание:

1. Аналогично задаче 6, вычислить интеграл sin3 xdx .

Указание: замена t cosx .

2. В задаче 11 или 12, решить без замены, а подведением под знак дифференциала.

Группа 445!

Рекомендуется повторить к контрольной № 1 такие задачи:

ТЕМА: Подведение под знак дифференциала.

№1. Вычислить x2 4x 8 dx .

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при x :

x 1		=	1	2x 2
	dx				dx
x2 4x 8			2	x2 4x 8

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено 2x 4 :


1			2x 2			1			(2x 4) 2
				dx =							dx		=
2		x2 4x 8				2			x2 4x 8
	1		2x 4			1		2
=					dx							dx .
	2		x2 4x 8				2			x2 4x 8

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:


1		d (x2 4x 8)					dx		1				dx =
2			x		2	4x 8	dx		(x 2)	2	2	2	dx =
2			x			4x 8			(x 2)		2
1				2	4x 8		1		x 2		C .
1				2			1		x 2
	ln		x					arctg
	ln		x					arctg
2							2		2
2							2		2

№ 2. (было дом. задание)					Найти			x 1	dx .
№ 2. (было дом. задание)					Найти				dx .
							x2 9
Решение.
	2	9)	2	x		C .
Ответ ln( x				arctg
Ответ ln( x				arctg
			3	3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021280.15 Кб16036.pdf
#
05.02.2023540.2 Кб06038.pdf
#
05.02.2023617.72 Кб16040.pdf
#
05.02.2023540.44 Кб06041.pdf
#
05.02.2023305.26 Кб06042.pdf
#
05.02.20231.2 Mб16044.pdf
#
13.02.2021517.85 Кб06045.pdf
#
13.02.2021177.86 Кб06060.pdf
#
13.02.2021938.68 Кб26077.PDF
#
13.02.2021344.02 Кб06079.pdf
#
05.02.2023757.12 Кб266082.pdf