Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

6044

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

1.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

ПРАКТИКА № 2

22.02.2016

Задача 1. Вычислить

cos 3x

dx .

sin 3x

Решение.

cos 3x

dx =

sin 3x 14 cos3xdx =

sin 3x

sin 3x 14

(3cos3xdx)

sin 3x 14 d (sin 3x) =

t 14 dt =

t 34 C =

t 34 C

sin 3x 34

C .

Задача 2. Вычислить

2x 4

dx .

x2 4x 8

Решение. Заметим, что в числителе производная того выражения, которое в знаменателе. Поэтому

2x 4

d (x 2 4x 8)

= ln

C =

4x 8

ln x2 4x 8 C .

x 1

Задача 3. Вычислить x2 4x 8 dx .

Решение. Здесь, в отличие от прошлой задачи, в числителе уже произвольный многочлен, не соответствующий производной знаменателя. Тем не менее, можно путём арифметических операций получить там дифференциал знаменателя:

Домножим и поделим на 2, чтобы исправился коэффициент при x :

x 1		1	2x 2
	dx =			dx
x2 4x 8		2	x2 4x 8

Теперь осталось прибавить и отнять 2, и будет получено 2x 4 :

1	2x 2		1	(2x 4) 2
		dx =			dx =
2	x2 4x 8		2	x2 4x 8

	1	2x 4		1	2
=			dx				dx .
	2	x2 4x 8		2		x2 4x 8

В первом слагаемом делается ровно то же самое, что в прошлой задаче, а во втором - выделить полный квадрат, и в итоге сводится к арктангенсу:

	1		d (x2 4x 8)					dx		1						dx =
2				x		2	4x 8	dx		(x 2)		2		2	2	dx =
2				x			4x 8			(x 2)				2
1					2	4x 8		1		x 2				C .
1					2			1		x 2
		ln		x					arctg
		ln		x					arctg
2								2		2
2								2		2
Задача 4. Вычислить											x		dx .


										1 x 2
										1 x 2
Решение. Несмотря на то, что интеграл похож на																	1	dx , но, тем


																	1 x2
																	1 x2

не менее, в числителе есть переменная x , поэтому это не табличный интеграл, и ответ здесь вовсе не арксинус. Заметим, что в числителе 1- я степень, а под корнем в знаменателе 2-я. Домножим и поделим так, чтобы в числителе оказалось то выражение, которое под корнем в знаменателе.

1 2x

d (1 x 2 )

dx =

1 x 2

1 x2

1 x 2

после замены переменной, это можно переписать так:

1 x2

а значит,

t C и после обратной замены, ответ:

C .

Задача 5.

Вычислить

9x 2 18 x 5

Решение.

9x 2

18 x 5

( 9x2 18x 9) 4

4 9(x2 2x 1)

2 32 (x 1)2

2 (3x 3)2

Для того, чтобы применить формулу,		1	dx arcsin	x	C
				a
	a 2	x 2

нужно обозначить t 3x 3. Но сначала сделаем так, чтобы и в числителе оказался не просто dx а d(3x 3) :


		dx	=	1		3dx		=		1	d (3x 3)			.
				3						3

	2	2 (3x 3)2			22 (3x 3)2						22 (3x 3)2
						1	dt					1	t		C .
Теперь интеграл имеет вид									, и равен				arcsin
Теперь интеграл имеет вид						3			, и равен				arcsin
						3	22 t 2					3	2

	1	3x 3		C .
После обратной замены, ответ:		arcsin

	3		2
Задачи по теме «Интегрирование по частям»
Вспомнить формулу uv dx uv vu dx .

Задача 6. Вычислить xe3x dx .

Решение. Пусть u x , так надо, чтобы понизилась степень на


следующем шаге. Составим таблицу:
u x	v		1		e3x
			1

	3
u 1	v e3x
Тогда xe3x dx =								1	xe3x	1	e3x dx =		1	xe3x			1	e3x	C .
Тогда xe3x dx =									xe3x		e3x dx =			xe3x				e3x	C .
	3									3		3					9
Задача 7. Вычислить x cos5xdx .
Решение.
u x	v	1		sin 5x
		1

	5
u 1	v cos5x
x cos5xdx =						1	x sin 5x			1	sin 5xdx	=			1	x sin 5x			1	cos5x C .
	5									5				5					25

Задача 8. Вычислить интеграл x2 e x dx .

Решение. Так как степенная функция 2-й степени, то эта задача

решается в 2 шага. На первом шаге, обозначаем u

x 2 , v e x .

x 2

e x

Тогда

2 e x dx = x2ex 2 xex dx .

На 2-м шаге, обозначим u

x , v

ex .

e x

В скобке происходит вычисление как бы для нового примера,

выполним это вложенное действие:

xex dx = x2ex

2 xex

ex dx = x 2 e x 2 xe x e x C .

x2ex

Итак, ответ:

x2e x 2xex 2e x C .

Задача 9.

arcsin xdx

Решение. Пусть u arcsinx , второго множителя нет, но мы формально можем считать, что он есть, только равен 1. Итак, v 1. Построим таблицу:

u arcsinx

v x

v 1

1 x2

Тогда arcsin xdx =

x arcsin x

dx =

1 x2

1 2x

d (1 x 2 )

x arcsinx

dx = x arcsinx

1 x2

1 x 2

x arcsinx

t C .

Ответ: x arcsinx 1 x2 C .

Задача 10. Вычислить xarctgxdx .

Решение. На этом примере вы увидите, что иногда полезно отступить от того, что мы, как правило, степенную функцию обозначали через u. Дело в том, что если так сделать, то при переходе от dv к v возникает целая новая задача, связанная с поиском интеграла от арктангенса. Напротив, если u arctgx , то его производная состоит только из

степенных, то есть происходит значительное упрощение. Конечно же здесь придётся смириться с тем что v x усложняется, растёт его

степень, т.е. перейдёт в v x 2 , но зато арктангенс упрощается очень

сильно. Итак, построим таблицу:

u arctgx

x 2

v x

x2 1

xarctgxdx =

x 2

arctgx

x 2

arctgx

x 2 1 1

x 2

x arctgx

C =

arctgx

C .

Задача 11. Вычислить eax cosbx dx .

Решение.

На первом шаге,

u1 eax

sin bx

cosbx

eax cosbx dx =

eax sin bx

eax sin bxdx . Теперь в скобках

аналогичное выражение, применим к нему такие же преобразования.

u2	eax		v2		1	cosbx
u2					b


	ae	ax	v	sin bx
u2	ae		2

Продолжим преобразования:

eax sin bx

eax sin bxdx =

sin bx

cosbx

cos bxdx .

После двух действий, мы видим снова интеграл I

в конце строки.

Можно записать так, раскрыв скобки:

eax sin bx

eax cos bx

a 2

I . А теперь можно просто выразить

это I

арифметическим путём.

a 2

a 2 b2

ax 1

I e

sin bx

cosbx

eax

b sin bx a cosbx C .

a 2 b2

Итак,

eax cosbx dx =

eax

b sin bx a cos bx C .

Задача 12.

Получить формулу вычисления интегралов I n

(x 2

a 2 )n

Решение. Обозначим всю функцию u и применим интегрирование по частям, при этом формально считаем второй множитель равным 1.

Для удобства, временно применим отрицательные степени вместо дробей.

u (x 2 a 2 ) n	v x
u n(x 2 a 2 ) n 1 2x	v 1

I n =

( 2n)

x2 dx

(x 2 a 2 )n

(x2 a

2 )n

(x2

a2 )n 1

(x2 a2 ) a

)

n 1

Теперь можем разбить на две дроби, интеграл от первой сводится к I n

второй к I n 1 .

2na2

, то есть

(x 2 a 2 )n

(x 2 a 2 )n 1

2nI

2na2 I

откуда выразим I

через I

n 1

(x 2 a 2 )n

2na

2 I

(2n 1)I

n 1

(x 2

a 2 )n

вывели

«рекурсивную»

формулу

I n 1

2n 1

2na2 (x 2 a 2 )n

2na2

, а

I n , с

помощью которой интеграл такого типа для большей степени сводится к меньшей степени, а значит, все они последовательно сводятся к

, который равен

arctg

C .

a 2

Задача 13. Вычислить интеграл

Решение. Применим формулу, при этом n+1 = 2 (n=2 неправильно, ведь в формуле та степень, которую выражаем, это n+1 а та, через которую, это n).

При этом n = 1. a = 1.

Формула приобретает такой вид:	I		1 x	1	I		.
		2				1
			2 x2 1	2

Ответ:		dx		=	1	x	1	arctgx C .
Ответ:	(x	2	2	=	2 x	2	2	arctgx C .
	(x	1)			2 x	1	2
Задача 14.		Вычислить интеграл									dx			.

									(x	2		4)	3
									(x			4)

Применим формулу, при этом n+1 = 3, n = 2. a = 2.
	I					1					x									3		I		, в свою очередь I																				надо выразить через I													,
	I	3			16 (x 2							4)2								16		I	2	, в свою очередь I																		2		надо выразить через I												1	,
		3			16 (x 2							4)2								16			2																			2														1
используя параметры n+1 = 2, n = 1. a = 2.
	I					1			x							1	I			, а вот							I				уже просто табличный интеграл, а именно:
	I	2				8 x2											I	1		, а вот							I	1			уже просто табличный интеграл, а именно:
		2				8 x2				4						8		1										1
				dx							1		arctg							x	C .
			x	2			2	2					arctg								C .
			x				2				2									2
						dx														1						x									3		1				x						1
										=			I																																			I			=
(x 2 4)3										=			I		3				16 (x 2											4)2																		I	1		=
(x 2 4)3															3				16 (x 2											4)2			16				8 x 2							4			8		1
					1						x									3 1										x					1								x
	I3																																					arctg						C				=
	I3				16 (x 2							4)2																							16			arctg					2	C				=
					16 (x 2							4)2								16 8 x 2 4															16								2
	1						x									3					x										3		arctg						x	C .
16 (x 2 4)2														128 x 2								4											arctg							C .
16 (x 2 4)2														128 x 2								4								256							2
Домашние задачи.																					1.								x 1					dx

																														2
																											x				9
Решение.													x 1							dx =					1						2x 2					dx =					1					2x				dx		1			2	dx =

												x		2		9										2					x	2			9						2				x	2		9				2	x	2	9
												x				9										2					x				9						2				x			9				2	x		9

1	d (x 2 9)					1		dx =
2	x	2	9	x	2	3	2

2. 9x2 18x 9 . Ответ.

1		2	9)	1	x		C .
	ln( x				arctg
	ln( x				arctg
2				3		3

13 ln 3x 3 C .

445 ПРАКТИКА № 3 04.03.2016 Рациональные дроби.

Ситуация 1. Если все корни знаменателя различны.

Задача 1. Вычислить интеграл (x 1)( x 2) dx . Решение. Разложение на простейшие дроби:

1	A	B	.
(x 1)( x 2)	x 1
		x 2

Приведём к общему знаменателю:

A(x 2) B(x 1) . (x 1)( x 2)

Приравняем к исходной дроби. Знаменатели у них и так равны, осталось приравнять числители:

A(x 2) B(x 1) 1 из этого следует:

( A B)x ( 2A B) 0x 1.

Так как в исходном числителе была только константа 1, то искусственно приписали 0x , для того, чтобы присутствовали все степени, коэффициенты при которых надо сравнить.

Получается система уравнений:

A B 0

2A B 1

Решаем систему, складывая уравнения между собой, получится

A 1, т.е. A 1,

тогда B 1.

Теперь интеграл можно разбить на

два интеграла от таких слагаемых:

dx .

1)( x 2)

x 1

x 2

Ответ: ln

x 2

x 1

C , либо в такой форме: ln

C .

x 1

Задача 2. Найти интеграл

dx .

Решение. Сначала разложим знаменатель на множители:

dx =

dx .

(x 1)( x 1)

A(x 1) B(x 1)

(x 1)( x 1)

x 1

(x 1)( x 1)

Ax A Bx B 0x 1, тогда

A B 0

, отсюда

, A

B 1

dx =

x 1

(x 1)( x 1)

x 1

= ln

C .

x 1

Задача 3.

(x 1)( x 2)( x 3)

Решение. В данном случае знаменатель уже разложен в произведение множителей первой степени. Теперь представим дробь в виде суммы:

(x 1)( x

x 2

2)( x 3)

x 1

После приведения к общему знаменателю:

A(x 2)( x 3) B(x 1)( x 3) C(x 1)( x 2)

(x 1)( x 2)( x 3)

Тогда A(x 2 5x 6) B(x 2

4x 3) C(x 2 3x 2) 1 .

Перегруппируем слагаемые, так, чтобы вынести отдельно вторые степени, первые степени и константы.

( A B C)x 2 ( 5A 4B 3C)x (6 A 3B 2C) 0x 2 0x 1 .

Отсюда строим систему уравнений:

	A B C 0

5A 4B 3C 0 чтобы её решить, построим расширенную
	6 A 3B 2C 1
	6 A 3B 2C 1

матрицу системы и применим метод Гаусса.

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021280.15 Кб16036.pdf
#
05.02.2023540.2 Кб06038.pdf
#
05.02.2023617.72 Кб16040.pdf
#
05.02.2023540.44 Кб06041.pdf
#
05.02.2023305.26 Кб06042.pdf
#
05.02.20231.2 Mб16044.pdf
#
13.02.2021517.85 Кб06045.pdf
#
13.02.2021177.86 Кб06060.pdf
#
13.02.2021938.68 Кб26077.PDF
#
13.02.2021344.02 Кб06079.pdf
#
05.02.2023757.12 Кб276082.pdf