Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5906

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.02.2023

Размер:

917.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

1 7				3		x				0		6			3 x									0			, система:
							1					,									1						, система:
		6 7
2		6 7				x2				0		2		1 x2										0
6x1		3x2				0		. Общее решение:												x2	2x1 ,
2x1			x2				0	. Общее решение:												x2	2x1 ,
2x1			x2				0
вектор (1,2) .
Проверка:
1	3		3				0			3									1				3 1							7				1
										0		,																					7 .
	6		1																															2
2	6		1				0				1								2				6 2						14					2
Задачи для практического занятия.
Задача 1. Решить однородную систему, найти ФСР
x1		x2				x3				0
	2x2					3x3
x1	2x2					3x3				0
2x		x		2		2x			3	0
1				2					3
Ответ. Общее решение:												x	1			x			, x						4	x		,		ФСР: {( 1, 4,3)}.
												1	3				3				2				3		3
Задача 2. Решить однородную систему, найти ФСР
x1	x2					x3				x4		0
x1	2x2				3x3
x1	2x2				3x3					x4 0
Ответ: Общее решение:												x		1		x				x			,	x					4	x		.
												1	3					3				4			2				3		3

ФСР из 2 векторов: {( 1, 4,3,0),( 1,0,0,1)}.

Задача 3. Построить матрицу линейного оператора в 2-мерном пространстве

L : (x1 , x2 ) (x1 2x2 ,3x1 5x2 )

Находим, в какие векторы отображаются два базисных: (1,0) (1,3) , (0,1) ( 2,5) . Эти результаты запишем по столбцам, в итоге ответ:

1		2
A
	3	5

Задача 4. Построить матрицу линейного оператора в 3-мерном пространстве

L : (x1 , x2 , x3 ) (3x1 2x2 x3 ,2x2 , 2x1 4x2 )

3		2	1

Ответ: A	0	2	0	.
	2	4	0
	2	4	0

Найти собственные числа и векторы.
Задача 5.	1	2		1 ему соотв. вектор (1,0),	3 соотв. вектор
Задача 5.				1 ему соотв. вектор (1,0),	3 соотв. вектор

	0	3
(1,1)
Задача 6.	2	3
Задача 6.			. Корни -1 и 5. Векторы (-1,1) и (1,1).
		2
	3	2
Задача 7.	1	1		Здесь хар. корень кратности 2: 1. Собственный
Задача 7.				Здесь хар. корень кратности 2: 1. Собственный

	0	1

вектор (1,0). Двух линейно-независимых собственных векторов для этого оператора нет. Вообще, количество собственных векторов меньше или равно кратности корня.

1		2	не имеет
Задача 8. Доказать, что линейный оператор			не имеет
	2	1
	2	1

собственных векторов.
Здесь D < 0	для характеристического уравнения, поэтому нет.
	1			2	1
		0		1	0
Задача 9.Найти собственные числа и векторы
		6		6	4

Ответ. Кратный корень 1 два вектора: (1,0,2) (0,1,2)					Корень 2
вектор (1,0,3).
		2		1	1
			0	3	1
Задача 10. Найти собственные числа и векторы						.
			0	0	4

Ответ 2	вектор (1,0,0) 3 вектор (1,1,0)			4 вектор
(1,1,1).

Д/З. Задача на повторение соб. чисел и векторов

7		1	1		1	(0, 1,1)
					2	(1, 5,0)
	0	2	1	Ответ:	2	(1, 5,0)
	0	0			7 (1,0,0)
	0	0	1		7 (1,0,0)

Практика 7 Примеры ре шения задач.

Квадратичные формы.

Пример 1. Построить матрицу квадратичной формы:

				3		3	8
Q 3x12 4x2	2 5x3		2 6x1 x2 16x1 x3 .
Q 3x12 4x2	2 5x3		2 6x1 x2 16x1 x3 .	Матрица A	3	4	0	.
					8	0	5
					8	0	5
Пример 2. Q 3x 2 4xy 3y 2 . Привести к главным осям.
3	2	. Найдѐм собственные числа и векторы.
Матрица		. Найдѐм собственные числа и векторы.

2	3

Характеристическое уравнение	3	2	0 ,	(3 )2 4 0 ,

	2	3

2 6 5 0 Собственные числа 5 и 1.

Решаем две однородные системы, для каждого по отдельности.

5 тогда	3 5		2 x	0	2		2 x		0	, ранг
5 тогда					,					, ранг
		2				2	2		0
		2	3 5 y	0		2	2	y	0

системы = 1, остаѐтся одно уравнение x y , собственный вектор

(1,1).
Аналогично,
1 тогда	3 1		2 x	0	2		2 x		0	, ранг системы =
1 тогда					,					, ранг системы =
		2				2	2		0
		2	3 1 y	0		2	2	y	0

1, остаѐтся одно уравнение x y , собственный вектор (-1,1). Как видим, эти векторы ортогональны. Это потому, что матрица оператора симметрична, что и так следует из теоремы 7.

Затем нужно нормировать их, то есть поделить на длину. Итак получили новый ортонормированный базис:

1		1		1		1
	,		и		,		.
	,		и		,		.
2		2		2		2

Обратите внимание, что этот новый базис - повѐрнутый на 450 декартов базис, то есть (1,0) и (0,1).

Обозначим новые координаты z, w , тогда взаимосвязь старых и новых координат через матрицу перехода выглядит так:

1		1		x

	2	2	z
					- отсюда, умножив матрицу на столбец,
	1	1
			w	y

	2	2

можно записать формулы связи старых и новых координат:


x	z		w	,	y	z		w	.

2		2			2		2
Если мы подставим эти x, y в исходную квадратичную форму
Q 3x 2		4xy 3y 2 , то увидим, что в ней не будет произведений типа

zw, wz , а коэффициенты при квадратах - это и будут ранее найденные собственные числа. Покажем это подробнее:


Q 3x 2 4xy 3y 2 =
	z				w				2			z			w						z		w					z			w		2
3										4																3							=
3										4																3							=
	2					2						2					2				2			2			2				2
z 2			w2								zw						z 2					w2			z 2			w2						zw
3								2						4									3							2						=
3								2						4									3							2						=
	2		2																		2					2	2
	2		2								2 2						2				2					2	2							2 2
3		4			3					2	3		4			3			2										2	1w		2
							z											w		3zw 3zw =							5z							.	Итак,
							z											w		3zw 3zw =							5z							.	Итак,
2		2			2						2		2			2
Q 5z 2				w2 .

Построение уравнения прямой в плоскости.

Пример 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) перпендикулярно вектору (3,4).

Решение. M 0 M = (x 1, y 2) , n (3,4) , они перпендикулярны. Тогда

3(x 1) 4( y 2) 0

3x 4y 11 0 . Замечание. Здесь можно явно выразить y и привести к форме y 114 34 x .

Пример 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1,2) параллельно вектору (3,4).

Решение.	x 1	y 2	,	4x 4 3y 6 ,	4x 3y 2 0 .
	3	4

Построение уравнения прямой по двум точкам сводится к этому же методу, так как вектор, проведѐнный между этими точками, и есть направляющий к прямой.

Пример 5. Найти уравнение прямой, проходящей через точки (3,4) и

(5,7).

Решение Направляющий вектор здесь (5-3, 7-4) = (2,3).

x 3	y 4	,	3x 9 2y 8 ,	3x 2y 1 0 .
2	3

Поиск расстояний от точки до прямой

Пример 6. Найти расстояние от точки M1(1,4) до прямой

3x 4y 1 0 .

Решение. Ищем какую-то точку на прямой. Присвоим y = 0, тогда

x		1						1							4
			, т.е.		M	0				,0	.	M	0 M 1			,4 . n (3,4)	. Тогда
		3	, т.е.		M	0		3		,0	.	M	0 M 1			,4 . n (3,4)	. Тогда
		3						3							3
	(M 0 M1 , n)							4	3 16				20
d							=	3	3 16					4 .



				n					9 16				5

Уравнение плоскости в пространстве.

Пример 7. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1,1,1) перпендикулярно вектору (1,2,3).

Решение. Вектор (x 1, y 1, z 1) ортогонален вектору (1,2,3).

Тогда 1(x 1) 2( y 1) 3(z 1) 0 следовательно,

x 2 y 3z 6 0 . Если бы изначально было дано, что

перпендикуляр (2,4,6) то получили бы

2x 4y 6z 12 0 , но это уравнение задаѐт ту же самую плоскость.

Достаточно вынести 2 за скобку, и сократить на 2, получили бы то же самое уравнение. 2(x 2 y 3z 6) 2 0 0 .

Пример 8. Построить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельно 2 направляющим (1,2,3) и (1,1,1)


					x		y	z
Решение:					1		2	3		0	Можем разложить по первой строке:
					1		1	1
x		3	y	1		3	z		1	2	= x 2y z 0 .
x	2	3	y	1		3	z		1	2	= x 2y z 0 .
	1	1		1		1			1	1

Для удобства, чтобы 1-й коэффициент был положителен, можно домножить на (-1). Ответ: x 2 y z 0 .

Пример 9. Построить уравнение плоскости, проходящей через (1,1,1) параллельно 2 направляющим (1,1,2) и (2,1,3)

	x	y	z
Решение:	1	1	2	0	ответ x y z 0 .
	2	1	3

Задачи для практического занятия.

Задача 1. Привести к главным осям квадратичную форму: Q(x,y) = 14 x 2 +24 xy +21 y 2 Ответ 30 z 2 +5 w2

Задачи на построение уравнений прямых

Задача 2. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке M0 (1,2) и перпендикуляру n(3,5). Ответ 3х+5у-13=0

Задача 3. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке M0 (1,2) и направляющему l (3,5). Ответ 5х-3у+1=0

Задача 4. Построить уравнение прямой по точке и перпендикуляру (с произвольными параметрами, которые придумают студенты).

Задача 5. Построить уравнение прямой по 2 точкам (1,2) и (6,9) Ответ 7х-5у+3=0.

Задача 6.(10.17 [1]) Составить уравнение средней линии треугольника А(5,-4), В(-1,3), С(-3,-2)

параллельно стороне AB - ответ 7x+6y+11=0. параллельно стороне AC - ответ х+4у=0.

Задачи на поиск пересечений

Задача 7. Найти пересечения прямой 3х-4у+12=0 с осями координат и площадь треугольника, который она отсекает от одной из координатных четвертей. Ответ (-4,0) и (0,3), S = 6.

Задача 8.	Найти точку пересечения двух прямых х+4у-9=0 и 2х+у-4=0.
Отв (1,2).
Задача 9.	(10.23 [1]) При каком А три прямых 2х-у+3=0 ; х+у+3=0 ;
Ах+у-13=0 пересекаются в одной точке.		Ответ А = - 7.

Задачи на поиск расстояний

Задача 10. Найти расстояние от точки (1,4) до прямой 6х+2у-15=0. Ответ 1210 .

Задача 11. Найти 2 точки на оси Ох, отстоящие от прямой 3х+5у-2=0

2

на расстояние d=3. Отв		34 ,0

	3

Задача 11а: Найти 2 точки на оси Ох, отстоящие от прямой х- у-1=0 на расстояние 22 . Отв. (-3,0) и (5,0).

Задача 12. Найти расстояние между параллельными прямыми

2x y 3 0 и 6x 3y 4 0

(указание: берѐтся точка на одной и ищется расстояние до второй, как

раньше). Ответ

Уравнение плоскости в пространстве.

Задача 13. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку (1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2) Ответ х+4у+2 z -15=0 Задача 14. Построить уравнение плоскости по точке (2,2,8) и перпендикуляру (3,3,7). ( 3x 3y 7z 68 0 )

Задача 15. Построить уравнение плоскости по точке (-2,3,7) и 2 направляющим векторам (4,2,3) и (2,-5,0). ( 5x 2y 8z 60 0 ) Задача 16. Построить уравнение плоскости по трѐм точкам. А(1,2,3),

В(3,5,7), С(4,5,6). (отв x 2 y z 0 )

Вариант домашней задачи : Даны три точки А,В,С. Вывести уравнение прямой,содержащей АВ и найти расстояние от точки С до этой прямой (это = высота треугольника АВС).

Практика 8 Примеры ре шения задач.

Прямая в пространстве

Пример. Построить уравнение прямой по точке (1,1,1) и направляющему вектору (1,2,3).

(x 1, y 1, z 1) || (1,2,3) , тогда

уравнения. Параметрические:

x 1 y 1 1 2

x 1 ty 1 2tz 1 3t

z 1 - канонические

Задачи для практического занятия.

Задача 1. Найти расстояние от точки M0 (1,3,5) до плоскости

x 2 y z 0 d = 0
Точка M0 (7,15,22) d =	1		.
Точка M0 (7,15,22) d =		6	.

Задача 2. Найти угол между двумя плоскостями x 2 y z 0 и x y 3z 1 0 .

Номали (1, 2,1)
Номали (1, 2,1)		и (1,1,3) . Скал. произведение 2. Модули 6 и 11 .
	2
Ответ arccos				.
Ответ arccos				.

			66

Прямая в пространстве

Задача 3. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое, уметь строить оба вида и переводить один в другой) по точке (2,-3,4) и направляющему (1,2,3).

x 2	y 3		z 4	или x 2 t, y 3 2t, z 4 3t

1	2	3

Задача 4. Построить уравнение прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей.

2x 3y 5z 6 0 и x 5y 7z 10 0 .

Векторное произведение нормалей здесь (-4, 19,13). Чтобы взять произвольную точку из пересечения, можно положить z = 0 и решить систему, вычислив x, y. Получим (0,-2,0).

Отв.

y 2

или x 4t, y 2 19t, z 13t

Задача 5. Доказать, что прямая

z 1

пересекает ось О z и

найти точку пересечения. Отв. (0,0,1).

Задача 6. Найти угол между прямой

x 1

y 1

z 2

плоскостью x 2 y z 0

Направляющий (2,3,1) нормаль плоскости (1,2,1) . Скал. произв. 9.


Модули 14 и			6 .
		9
Угол	90 arccos
Угол	90 arccos

				84

Задача 7. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами А(0,-2,3),

В(3,1,3), С (-3,-1,0).

Реш. Направляющие АВ и АС это (3,3,0) и (-3,1,-3). Векторное произведение (-9,9,12).

Направляющий для прямой можно взять тогда (-3,3,4).

Канон	x	y 2		z 3	, параметрические:
	3
		3	4

x 3t, y 2 3t, z 3 4t

Задача 8. (12.22 [1]) Доказать, что две прямые в пространстве

x 3 2ty 2 3tz 6 4t

		x 5 t
и
и	y 1 4t пересекаются и найти точку

	z 4 t

пересечения.

Нужно решить систему, положив в первых равенствах t1 а во вторых t2. Получим, при каких

t1 и t2 достигается одна и та же точка. Затем подставить t1 в первые уравнения либо t2 во вторые, получим одни и те же значения для x,y,z Ответ (3,7,-6).

Задача 9. (12.34 [1]) Вычислить расстояние от точки (2,3,-1) до

прямой

x 5

z 25

в пространстве. ответ 21.

Задача 10. (12.35 [1]) Вычислить расстояние между

скрещивающимися прямыми.

x 7

y 4

z 3

x 21

y 5

z 2

Ответ 13.

Задача 11. (13.16 [1]). Доказать, что кривая

5x 2 9 y 2 30 x 18 y 9 0 - эллипс, найти центр и полуоси. Здесь

надо выделить полный квадрат, и привести к каноническому виду эллипса.

Ответ центр (3,-1), полуоси 3 и 5 .

Практика 9

Контрольная на 45 минут:

5.Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).

6.Системы уравнений, метод Гаусса

7.Собственные числа и векторы

8.Уравнения прямой и плоскости

Новая тема: предел последовательности. Примеры ре шения задач.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.02.2021530.34 Кб05887.pdf
#
05.02.2023447.49 Кб05893.pdf
#
05.02.2023444.4 Кб05894.pdf
#
05.02.2023432.93 Кб05898.pdf
#
05.02.2023239.46 Кб05905.pdf
#
05.02.2023917.83 Кб15906.pdf
#
05.02.2023647.91 Кб15909.pdf
#
05.02.2023652.02 Кб05910.pdf
#
05.02.2023334.11 Кб05921.pdf
#
05.02.2023429.77 Кб15925.pdf
#
05.02.2023309.53 Кб05926.pdf